MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmulfval 22462
Description: Functional value of the matrix vector multiplication operator. (Contributed by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmulfval.x ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mvmulfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mvmulfval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mvmulfval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mvmulfval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mvmulfval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
mvmulfval (๐œ‘ โ†’ ร— = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐œ‘   ๐‘–,๐‘€,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘—)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mvmulfval
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘œ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmulfval.x . 2 ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 df-mvmul 22461 . . . 4 maVecMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ maVecMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))))
4 fvex 6905 . . . . 5 (1st โ€˜๐‘œ) โˆˆ V
5 fvex 6905 . . . . 5 (2nd โ€˜๐‘œ) โˆˆ V
6 xpeq12 5697 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘š ร— ๐‘›) = ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)))
76oveq2d 7432 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))))
8 oveq2 7424 . . . . . . 7 (๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)))
98adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)))
10 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ))
11 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ))
1211mpteq1d 5238 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))
1312oveq2d 7432 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))) = (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))
1410, 13mpteq12dv 5234 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
157, 9, 14mpoeq123dv 7492 . . . . 5 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
164, 5, 15csbie2 3926 . . . 4 โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
17 simprl 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ๐‘Ÿ = ๐‘…)
1817fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
19 mvmulfval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2018, 19eqtr4di 2783 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
21 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
2221ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
23 mvmulfval.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
24 mvmulfval.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
25 op1stg 8003 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
2623, 24, 25syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
2726adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
2822, 27eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = ๐‘€)
29 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
3029ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
31 op2ndg 8004 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
3223, 24, 31syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
3332adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
3430, 33eqtrd 2765 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = ๐‘)
3528, 34xpeq12d 5703 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)) = (๐‘€ ร— ๐‘))
3620, 35oveq12d 7434 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
3720, 34oveq12d 7434 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) = (๐ต โ†‘m ๐‘))
38 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
3938adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
4039adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
41 mvmulfval.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4240, 41eqtr4di 2783 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
4342oveqd 7433 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))
4434, 43mpteq12dv 5234 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—))))
4517, 44oveq12d 7434 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))
4628, 45mpteq12dv 5234 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
4736, 37, 46mpoeq123dv 7492 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
4816, 47eqtrid 2777 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
49 mvmulfval.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5049elexd 3484 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
51 opex 5460 . . . 4 โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ V
5251a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ V)
53 ovex 7449 . . . . 5 (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) โˆˆ V
54 ovex 7449 . . . . 5 (๐ต โ†‘m ๐‘) โˆˆ V
5553, 54mpoex 8082 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ V
5655a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ V)
573, 48, 50, 52, 56ovmpod 7570 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
581, 57eqtrid 2777 1 (๐œ‘ โ†’ ร— = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  Vcvv 3463  โฆ‹csb 3884  โŸจcop 4630   โ†ฆ cmpt 5226   ร— cxp 5670  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆˆ cmpo 7418  1st c1st 7989  2nd c2nd 7990   โ†‘m cmap 8843  Fincfn 8962  Basecbs 17179  .rcmulr 17233   ฮฃg cgsu 17421   maVecMul cmvmul 22460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-mvmul 22461
This theorem is referenced by:  mvmulval  22463  mavmuldm  22470  mavmul0g  22473
  Copyright terms: Public domain W3C validator