MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvmulfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mvmulfval 21843
Description: Functional value of the matrix vector multiplication operator. (Contributed by AV, 23-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mvmulfval.x ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
mvmulfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
mvmulfval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mvmulfval.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
mvmulfval.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
mvmulfval.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
mvmulfval (๐œ‘ โ†’ ร— = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐œ‘   ๐‘–,๐‘€,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘–,๐‘,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘…,๐‘–,๐‘—,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘–
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘–,๐‘—)   ยท (๐‘—)   ร— (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)   ๐‘‰(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem mvmulfval
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘œ ๐‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvmulfval.x . 2 ร— = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)
2 df-mvmul 21842 . . . 4 maVecMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
32a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ maVecMul = (๐‘Ÿ โˆˆ V, ๐‘œ โˆˆ V โ†ฆ โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))))
4 fvex 6852 . . . . 5 (1st โ€˜๐‘œ) โˆˆ V
5 fvex 6852 . . . . 5 (2nd โ€˜๐‘œ) โˆˆ V
6 xpeq12 5656 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘š ร— ๐‘›) = ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)))
76oveq2d 7367 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))))
8 oveq2 7359 . . . . . . 7 (๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)))
98adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) = ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)))
10 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ))
11 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ))
1211mpteq1d 5198 . . . . . . . 8 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))
1312oveq2d 7367 . . . . . . 7 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))) = (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))
1410, 13mpteq12dv 5194 . . . . . 6 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
157, 9, 14mpoeq123dv 7426 . . . . 5 ((๐‘š = (1st โ€˜๐‘œ) โˆง ๐‘› = (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
164, 5, 15csbie2 3895 . . . 4 โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
17 simprl 769 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ๐‘Ÿ = ๐‘…)
1817fveq2d 6843 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
19 mvmulfval.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
2018, 19eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = ๐ต)
21 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
2221ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
23 mvmulfval.m . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Fin)
24 mvmulfval.n . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
25 op1stg 7925 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
2623, 24, 25syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘€)
2822, 27eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (1st โ€˜๐‘œ) = ๐‘€)
29 fveq2 6839 . . . . . . . . 9 (๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
3029ad2antll 727 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ))
31 op2ndg 7926 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ Fin) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
3223, 24, 31syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = ๐‘)
3430, 33eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (2nd โ€˜๐‘œ) = ๐‘)
3528, 34xpeq12d 5662 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ)) = (๐‘€ ร— ๐‘))
3620, 35oveq12d 7369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))) = (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)))
3720, 34oveq12d 7369 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) = (๐ต โ†‘m ๐‘))
38 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
4039adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
41 mvmulfval.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
4240, 41eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = ยท )
4342oveqd 7368 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)) = ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))
4434, 43mpteq12dv 5194 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))) = (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—))))
4517, 44oveq12d 7369 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))
4628, 45mpteq12dv 5194 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—))))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—))))))
4736, 37, 46mpoeq123dv 7426 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ((1st โ€˜๐‘œ) ร— (2nd โ€˜๐‘œ))), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (2nd โ€˜๐‘œ)) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ (1st โ€˜๐‘œ) โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ (2nd โ€˜๐‘œ) โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
4816, 47eqtrid 2789 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ÿ = ๐‘… โˆง ๐‘œ = โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ)) โ†’ โฆ‹(1st โ€˜๐‘œ) / ๐‘šโฆŒโฆ‹(2nd โ€˜๐‘œ) / ๐‘›โฆŒ(๐‘ฅ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m (๐‘š ร— ๐‘›)), ๐‘ฆ โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†‘m ๐‘›) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘š โ†ฆ (๐‘Ÿ ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘› โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—)(.rโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
49 mvmulfval.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
5049elexd 3463 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
51 opex 5419 . . . 4 โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ V
5251a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ โˆˆ V)
53 ovex 7384 . . . . 5 (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)) โˆˆ V
54 ovex 7384 . . . . 5 (๐ต โ†‘m ๐‘) โˆˆ V
5553, 54mpoex 8004 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ V
5655a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))) โˆˆ V)
573, 48, 50, 52, 56ovmpod 7501 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘€, ๐‘โŸฉ) = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
581, 57eqtrid 2789 1 (๐œ‘ โ†’ ร— = (๐‘ฅ โˆˆ (๐ต โ†‘m (๐‘€ ร— ๐‘)), ๐‘ฆ โˆˆ (๐ต โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘– โˆˆ ๐‘€ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘–๐‘ฅ๐‘—) ยท (๐‘ฆโ€˜๐‘—)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  Vcvv 3443  โฆ‹csb 3853  โŸจcop 4590   โ†ฆ cmpt 5186   ร— cxp 5629  โ€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   โˆˆ cmpo 7353  1st c1st 7911  2nd c2nd 7912   โ†‘m cmap 8723  Fincfn 8841  Basecbs 17043  .rcmulr 17094   ฮฃg cgsu 17282   maVecMul cmvmul 21841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-mvmul 21842
This theorem is referenced by:  mvmulval  21844  mavmuldm  21851  mavmul0g  21854
  Copyright terms: Public domain W3C validator