Theorem tglineneq 29113

Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
tglineneq	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tglineinteq.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolne1 29093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	tglinerflx1 29101	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
11		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
12	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		tglineinteq.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
17	1, 3, 2, 12, 13, 15, 16	tglngne 29013	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
18	17	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
19	18	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
20	11, 19	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21		nelne1 3053	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
22	10, 20, 21	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
23	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		pm2.46 896	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
28	8, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
29	28	neqned 2963	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
31	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
33	1, 2, 3, 23, 25, 31, 32	tglinerflx1 29101	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
34		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
35	33, 34	eleqtrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
36	1, 3, 2, 23, 26, 24, 35	tglngne 29013	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
37	1, 2, 3, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36	lnrot1 29091	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	orcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
39	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
40	38, 39	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
41	40	neqned 2963	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
42	22, 41	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  TarskiGcstrkg 28889  Itvcitv 28895  LineGclng 28896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-trkgc 28910  df-trkgb 28911  df-trkgcb 28912  df-trkg 28915

This theorem is used by:  tglineinteq  29114  perpneq  29189  prlngsymquadlem  29441  quadcgrprlng  29444