Theorem tglineneq 28670

Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
tglineneq	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tglineinteq.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolne1 28651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	tglinerflx1 28659	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
11		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
12	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		tglineinteq.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
17	1, 3, 2, 12, 13, 15, 16	tglngne 28576	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
18	17	adantlr 714	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
19	18	neneqd 2951	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
20	11, 19	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21		nelne1 3045	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
22	10, 20, 21	syl2an2r 684	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
23	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	7	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	5	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		pm2.46 881	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
29	28	neqned 2953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	29	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
31	14	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
33	1, 2, 3, 23, 25, 31, 32	tglinerflx1 28659	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
35	33, 34	eleqtrrd 2847	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
36	1, 3, 2, 23, 26, 24, 35	tglngne 28576	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
37	1, 2, 3, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36	lnrot1 28649	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	orcd 872	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
39	8	ad2antrr 725	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
40	38, 39	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
41	40	neqned 2953	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
42	22, 41	pm2.61dane 3035	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  TarskiGcstrkg 28453  Itvcitv 28459  LineGclng 28460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-trkgc 28474  df-trkgb 28475  df-trkgcb 28476  df-trkg 28479

This theorem is referenced by:  tglineinteq  28671  perpneq  28740