Theorem tglineneq 26430

Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
tglineneq	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tglineinteq.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolne1 26411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	tglinerflx1 26419	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
11		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
12	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		tglineinteq.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
17	1, 3, 2, 12, 13, 15, 16	tglngne 26336	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
18	17	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
19	18	neneqd 3021	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
20	11, 19	pm2.65da 815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21		nelne1 3113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
22	10, 20, 21	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
23	4	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	7	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	5	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		pm2.46 879	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
29	28	neqned 3023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	29	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
31	14	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32		simplr 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
33	1, 2, 3, 23, 25, 31, 32	tglinerflx1 26419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
34		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
35	33, 34	eleqtrrd 2916	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
36	1, 3, 2, 23, 26, 24, 35	tglngne 26336	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
37	1, 2, 3, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36	lnrot1 26409	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	orcd 869	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
39	8	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
40	38, 39	pm2.65da 815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
41	40	neqned 3023	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
42	22, 41	pm2.61dane 3104	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  TarskiGcstrkg 26216  Itvcitv 26222  LineGclng 26223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-trkgc 26234  df-trkgb 26235  df-trkgcb 26236  df-trkg 26239

This theorem is referenced by:  tglineinteq  26431  perpneq  26500