Theorem tglineneq 29128

Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
tglineneq	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tglineinteq.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolne1 29108	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	tglinerflx1 29116	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
11		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
12	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		tglineinteq.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
17	1, 3, 2, 12, 13, 15, 16	tglngne 29028	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
18	17	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
19	18	neneqd 2964	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
20	11, 19	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21		nelne1 3056	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
22	10, 20, 21	syl2an2r 698	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
23	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	7	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	5	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		pm2.46 896	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
28	8, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
29	28	neqned 2966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	29	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
31	14	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
33	1, 2, 3, 23, 25, 31, 32	tglinerflx1 29116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
34		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
35	33, 34	eleqtrrd 2867	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
36	1, 3, 2, 23, 26, 24, 35	tglngne 29028	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
37	1, 2, 3, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36	lnrot1 29106	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	orcd 887	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
39	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
40	38, 39	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
41	40	neqned 2966	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
42	22, 41	pm2.61dane 3046	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  TarskiGcstrkg 28904  Itvcitv 28910  LineGclng 28911

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-trkgc 28925  df-trkgb 28926  df-trkgcb 28927  df-trkg 28930

This theorem is used by:  tglineinteq  29129  perpneq  29204  prlngsymquadlem  29456  quadcgrprlng  29459