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Theorem tglineneq 28442
Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a (𝜑𝐴𝑃)
tglineinteq.b (𝜑𝐵𝑃)
tglineinteq.c (𝜑𝐶𝑃)
tglineinteq.d (𝜑𝐷𝑃)
tglineinteq.e (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
Assertion
Ref Expression
tglineneq (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglineintmo.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineintmo.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tglineinteq.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 tglineinteq.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 tglineinteq.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
8 tglineinteq.e . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ncolne1 28423 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9tglinerflx1 28431 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
11 simplr 768 . . . 4 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
124adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
137adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝑃)
14 tglineinteq.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑃)
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷𝑃)
16 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
171, 3, 2, 12, 13, 15, 16tglngne 28348 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
1817adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
1918neneqd 2941 . . . 4 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
2011, 19pm2.65da 816 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21 nelne1 3035 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
2210, 20, 21syl2an2r 684 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
234ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
246ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵𝑃)
257ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝑃)
265ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴𝑃)
27 pm2.46 881 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
288, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
2928neqned 2943 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
3029ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵𝐶)
3114ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷𝑃)
32 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
331, 2, 3, 23, 25, 31, 32tglinerflx1 28431 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
34 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
3533, 34eleqtrrd 2832 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
361, 3, 2, 23, 26, 24, 35tglngne 28348 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴𝐵)
371, 2, 3, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36lnrot1 28421 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
3837orcd 872 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
398ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
4038, 39pm2.65da 816 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
4140neqned 2943 . 2 ((𝜑𝐶𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
4222, 41pm2.61dane 3025 1 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  TarskiGcstrkg 28225  Itvcitv 28231  LineGclng 28232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-trkgc 28246  df-trkgb 28247  df-trkgcb 28248  df-trkg 28251
This theorem is referenced by:  tglineinteq  28443  perpneq  28512
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