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Theorem tglineneq 26427
Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a (𝜑𝐴𝑃)
tglineinteq.b (𝜑𝐵𝑃)
tglineinteq.c (𝜑𝐶𝑃)
tglineinteq.d (𝜑𝐷𝑃)
tglineinteq.e (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
Assertion
Ref Expression
tglineneq (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglineintmo.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineintmo.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tglineinteq.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
6 tglineinteq.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑃)
7 tglineinteq.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑃)
8 tglineinteq.e . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ncolne1 26408 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9tglinerflx1 26416 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
11 simplr 768 . . . 4 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
124adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
137adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝑃)
14 tglineinteq.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑃)
1514adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷𝑃)
16 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
171, 3, 2, 12, 13, 15, 16tglngne 26333 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
1817adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
1918neneqd 3018 . . . 4 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
2011, 19pm2.65da 816 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21 nelne1 3109 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
2210, 20, 21syl2an2r 684 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
234ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
246ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵𝑃)
257ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝑃)
265ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴𝑃)
27 pm2.46 880 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
288, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
2928neqned 3020 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
3029ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵𝐶)
3114ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷𝑃)
32 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
331, 2, 3, 23, 25, 31, 32tglinerflx1 26416 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
34 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
3533, 34eleqtrrd 2919 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
361, 3, 2, 23, 26, 24, 35tglngne 26333 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴𝐵)
371, 2, 3, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36lnrot1 26406 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
3837orcd 870 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
398ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
4038, 39pm2.65da 816 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
4140neqned 3020 . 2 ((𝜑𝐶𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
4222, 41pm2.61dane 3100 1 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3013  cfv 6336  (class class class)co 7138  Basecbs 16472  TarskiGcstrkg 26213  Itvcitv 26219  LineGclng 26220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-trkgc 26231  df-trkgb 26232  df-trkgcb 26233  df-trkg 26236
This theorem is referenced by:  tglineinteq  26428  perpneq  26497
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