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Theorem tglineneq 25963
Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglineintmo.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a (𝜑𝐴𝑃)
tglineinteq.b (𝜑𝐵𝑃)
tglineinteq.c (𝜑𝐶𝑃)
tglineinteq.d (𝜑𝐷𝑃)
tglineinteq.e (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
Assertion
Ref Expression
tglineneq (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq
StepHypRef Expression
1 tglineintmo.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tglineintmo.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3 tglineintmo.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4 tglineintmo.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 tglineinteq.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
6 tglineinteq.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
7 tglineinteq.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
8 tglineinteq.e . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ncolne1 25944 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9tglinerflx1 25952 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
1110adantr 474 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
12 simplr 785 . . . 4 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
134adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
147adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝑃)
15 tglineinteq.d . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝑃)
1615adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷𝑃)
17 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
181, 3, 2, 13, 14, 16, 17tglngne 25869 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
1918adantlr 706 . . . . 5 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
2019neneqd 3004 . . . 4 (((𝜑𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
2112, 20pm2.65da 851 . . 3 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
22 nelne1 3095 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
2311, 21, 22syl2anc 579 . 2 ((𝜑𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
244ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
256ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵𝑃)
267ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝑃)
275ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴𝑃)
28 pm2.46 911 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
298, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
3029neqned 3006 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
3130ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵𝐶)
3215ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷𝑃)
33 simplr 785 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶𝐷)
341, 2, 3, 24, 26, 32, 33tglinerflx1 25952 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
35 simpr 479 . . . . . . 7 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
3634, 35eleqtrrd 2909 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
371, 3, 2, 24, 27, 25, 36tglngne 25869 . . . . . 6 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴𝐵)
381, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 31, 36, 37lnrot1 25942 . . . . 5 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
3938orcd 904 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
408ad2antrr 717 . . . 4 (((𝜑𝐶𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
4139, 40pm2.65da 851 . . 3 ((𝜑𝐶𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
4241neqned 3006 . 2 ((𝜑𝐶𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
4323, 42pm2.61dane 3086 1 (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  TarskiGcstrkg 25749  Itvcitv 25755  LineGclng 25756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-fv 6135  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-trkgc 25767  df-trkgb 25768  df-trkgcb 25769  df-trkg 25772
This theorem is referenced by:  tglineinteq  25964  perpneq  26033
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