Theorem tglineneq 28624

Description: Given three non-colinear points, build two different lines. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglineintmo.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglineintmo.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglineintmo.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglineintmo.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglineinteq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tglineinteq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tglineinteq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tglineinteq.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tglineinteq.e	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
tglineneq	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Proof of Theorem tglineneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglineintmo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglineintmo.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglineintmo.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglineintmo.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tglineinteq.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		tglineinteq.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		tglineinteq.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		tglineinteq.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ncolne1 28605	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	tglinerflx1 28613	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
11		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 = 𝐷)
12	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
14		tglineinteq.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
17	1, 3, 2, 12, 13, 15, 16	tglngne 28530	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
18	17	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
19	18	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) ∧ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ 𝐶 = 𝐷)
20	11, 19	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
21		nelne1 3022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∧ ¬ 𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
22	10, 20, 21	syl2an2r 685	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
23	4	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
24	6	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
25	7	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
26	5	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
27		pm2.46 882	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶) → ¬ 𝐵 = 𝐶)
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 = 𝐶)
29	28	neqned 2932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
31	14	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
32		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
33	1, 2, 3, 23, 25, 31, 32	tglinerflx1 28613	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐶𝐿𝐷))
34		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
35	33, 34	eleqtrrd 2831	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
36	1, 3, 2, 23, 26, 24, 35	tglngne 28530	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ≠ 𝐵)
37	1, 2, 3, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36	lnrot1 28603	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶))
38	37	orcd 873	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
39	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷)) → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
40	38, 39	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ¬ (𝐴𝐿𝐵) = (𝐶𝐿𝐷))
41	40	neqned 2932	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))
42	22, 41	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐿𝐵) ≠ (𝐶𝐿𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  TarskiGcstrkg 28407  Itvcitv 28413  LineGclng 28414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-trkgc 28428  df-trkgb 28429  df-trkgcb 28430  df-trkg 28433

This theorem is referenced by:  tglineinteq  28625  perpneq  28694