MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcopyeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trgcopyeulem 28813
Description: Lemma for trgcopyeu 28814. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcopy.m = (dist‘𝐺)
trgcopy.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
trgcopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
trgcopy.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
trgcopy.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (𝜑𝐴𝑃)
trgcopy.b (𝜑𝐵𝑃)
trgcopy.c (𝜑𝐶𝑃)
trgcopy.d (𝜑𝐷𝑃)
trgcopy.e (𝜑𝐸𝑃)
trgcopy.f (𝜑𝐹𝑃)
trgcopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
trgcopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
trgcopyeulem.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
trgcopyeulem.x (𝜑𝑋𝑃)
trgcopyeulem.y (𝜑𝑌𝑃)
trgcopyeulem.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
trgcopyeulem.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
trgcopyeulem.3 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
trgcopyeulem.4 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
Assertion
Ref Expression
trgcopyeulem (𝜑𝑋 = 𝑌)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐵,𝑎,𝑏,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐸,𝑎,𝑏,𝑡   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡   𝐾,𝑎   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑡,𝑏)

Proof of Theorem trgcopyeulem
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 trgcopy.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 trgcopy.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 trgcopy.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 trgcopy.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 trgcopy.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 trgcopy.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 trgcopy.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 trgcopy.1 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
101, 5, 3, 4, 6, 7, 8, 9ncoltgdim2 28573 . 2 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
11 eqid 2737 . 2 ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))
12 trgcopy.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
13 trgcopy.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
14 trgcopy.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
15 trgcopy.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
161, 3, 5, 4, 12, 13, 14, 15ncolne1 28633 . . 3 (𝜑𝐷𝐸)
171, 3, 5, 4, 12, 13, 16tgelrnln 28638 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
18 trgcopyeulem.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
19 trgcopyeulem.y . 2 (𝜑𝑌𝑃)
20 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
214ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2217ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
23 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
241, 5, 3, 21, 22, 23tglnpt 28557 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑃)
25 eqid 2737 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑡) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑡)
261, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 19lmicl 28794 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2726ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2818ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑃)
2912ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝑃)
3013ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝑃)
31 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
3216ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝐸)
3332necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝐷)
341, 3, 5, 21, 30, 29, 24, 33, 23lncom 28630 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷))
3534orcd 874 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
361, 5, 3, 21, 30, 29, 24, 35colrot1 28567 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝑡) ∨ 𝐷 = 𝑡))
37 trgcopyeulem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
381, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp3 28530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑋 𝐷))
391, 2, 3, 4, 7, 8, 18, 12, 38tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑋))
40 trgcopyeulem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
411, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp3 28530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑌 𝐷))
421, 2, 3, 4, 7, 8, 19, 12, 41tgcgrcomlr 28488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑌))
4339, 42eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 𝑌))
441, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 19lmiiso 28805 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 𝑌))
451, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx1 28641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
461, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 45lmicinv 28801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) = 𝐷)
4746oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4843, 44, 473eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4948ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
501, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp2 28529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑋))
511, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp2 28529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑌))
5250, 51eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 𝑌))
531, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 19lmiiso 28805 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 𝑌))
541, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx2 28642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
551, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 54lmicinv 28801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) = 𝐸)
5655oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5752, 53, 563eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
591, 5, 3, 21, 29, 30, 24, 31, 28, 27, 2, 32, 36, 49, 58lncgr 28577 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 𝑋) = (𝑡 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
60 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
611, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 59, 60ismir 28667 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
6261eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑋)
631, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 62mircom 28671 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
6463eqcomd 2743 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))
6510ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
661, 2, 3, 21, 65, 28, 27, 20, 24ismidb 28786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) ↔ (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡))
6764, 66mpbid 232 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡)
6867, 23eqeltrd 2841 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
69 trgcopyeulem.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
70 trgcopyeulem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
71 trgcopyeulem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
721, 3, 5, 4, 17, 18, 69, 14, 71hpgcom 28775 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
731, 3, 5, 4, 17, 19, 69, 14, 70, 18, 72hpgtr 28776 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
741, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 14, 70hpgne1 28769 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
751, 2, 3, 5, 4, 10, 17, 69, 11, 19, 74lmiopp 28810 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
761, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 18, 26, 75lnopp2hpgb 28771 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋))
7773, 76mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
781, 2, 3, 69, 18, 26islnopp 28747 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
7977, 78mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
8079simprd 495 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
8168, 80r19.29a 3162 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
8221adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8322adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
841, 2, 3, 69, 5, 17, 4, 18, 26, 77oppne3 28751 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
851, 3, 5, 4, 18, 26, 84tgelrnln 28638 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8685ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8786adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8884ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
891, 3, 5, 21, 28, 27, 24, 88, 60btwnlng1 28627 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9023, 89elind 4200 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9190adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9254ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
931, 3, 5, 4, 18, 26, 84tglinerflx1 28641 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9493ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
95 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑡)
9679simplld 768 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
9796ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
98 nelne2 3040 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝑡𝑋)
9923, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑋)
10099necomd 2996 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑡)
101100adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑡)
10264oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10358, 102eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
104103adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10530adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑃)
10624adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡𝑃)
10728adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑃)
1081, 2, 3, 5, 20, 82, 105, 106, 107israg 28705 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
109104, 108mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → ⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1101, 2, 3, 5, 82, 83, 87, 91, 92, 94, 95, 101, 109ragperp 28725 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
11121adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11222adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
11386adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
11490adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
11545ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
11693ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
117 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑡)
118100adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑡)
11964oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12049, 119eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
121120adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12229adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑃)
12324adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡𝑃)
12428adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑃)
1251, 2, 3, 5, 20, 111, 122, 123, 124israg 28705 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
126121, 125mpbird 257 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → ⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1271, 2, 3, 5, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 126ragperp 28725 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
128 neneor 3042 . . . . . . . 8 (𝐸𝐷 → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
12933, 128syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
130110, 127, 129mpjaodan 961 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
131130orcd 874 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
132131, 80r19.29a 3162 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
1331, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 26islmib 28795 . . . 4 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) ↔ ((𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
13481, 132, 133mpbir2and 713 . . 3 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋))
135134eqcomd 2743 . 2 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
1361, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 19, 135lmieq 28799 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  cin 3950   class class class wbr 5143  {copab 5205  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  2c2 12321  ⟨“cs3 14881  Basecbs 17247  distcds 17306  TarskiGcstrkg 28435  DimTarskiGcstrkgld 28439  Itvcitv 28441  LineGclng 28442  cgrGccgrg 28518  hlGchlg 28608  pInvGcmir 28660  ∟Gcrag 28701  ⟂Gcperpg 28703  hpGchpg 28765  midGcmid 28780  lInvGclmi 28781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28456  df-trkgb 28457  df-trkgcb 28458  df-trkgld 28460  df-trkg 28461  df-cgrg 28519  df-leg 28591  df-hlg 28609  df-mir 28661  df-rag 28702  df-perpg 28704  df-hpg 28766  df-mid 28782  df-lmi 28783
This theorem is referenced by:  trgcopyeu  28814  acopyeu  28842
  Copyright terms: Public domain W3C validator