MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcopyeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trgcopyeulem 27747
Description: Lemma for trgcopyeu 27748. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcopy.m = (dist‘𝐺)
trgcopy.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
trgcopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
trgcopy.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
trgcopy.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (𝜑𝐴𝑃)
trgcopy.b (𝜑𝐵𝑃)
trgcopy.c (𝜑𝐶𝑃)
trgcopy.d (𝜑𝐷𝑃)
trgcopy.e (𝜑𝐸𝑃)
trgcopy.f (𝜑𝐹𝑃)
trgcopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
trgcopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
trgcopyeulem.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
trgcopyeulem.x (𝜑𝑋𝑃)
trgcopyeulem.y (𝜑𝑌𝑃)
trgcopyeulem.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
trgcopyeulem.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
trgcopyeulem.3 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
trgcopyeulem.4 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
Assertion
Ref Expression
trgcopyeulem (𝜑𝑋 = 𝑌)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐵,𝑎,𝑏,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐸,𝑎,𝑏,𝑡   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡   𝐾,𝑎   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑡,𝑏)

Proof of Theorem trgcopyeulem
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 trgcopy.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 trgcopy.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 trgcopy.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 trgcopy.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 trgcopy.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 trgcopy.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 trgcopy.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 trgcopy.1 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
101, 5, 3, 4, 6, 7, 8, 9ncoltgdim2 27507 . 2 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
11 eqid 2736 . 2 ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))
12 trgcopy.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
13 trgcopy.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
14 trgcopy.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
15 trgcopy.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
161, 3, 5, 4, 12, 13, 14, 15ncolne1 27567 . . 3 (𝜑𝐷𝐸)
171, 3, 5, 4, 12, 13, 16tgelrnln 27572 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
18 trgcopyeulem.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
19 trgcopyeulem.y . 2 (𝜑𝑌𝑃)
20 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
214ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2217ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
23 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
241, 5, 3, 21, 22, 23tglnpt 27491 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑃)
25 eqid 2736 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑡) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑡)
261, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 19lmicl 27728 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2818ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑃)
2912ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝑃)
3013ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝑃)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
3216ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝐸)
3332necomd 2999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝐷)
341, 3, 5, 21, 30, 29, 24, 33, 23lncom 27564 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷))
3534orcd 871 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
361, 5, 3, 21, 30, 29, 24, 35colrot1 27501 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝑡) ∨ 𝐷 = 𝑡))
37 trgcopyeulem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
381, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp3 27464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑋 𝐷))
391, 2, 3, 4, 7, 8, 18, 12, 38tgcgrcomlr 27422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑋))
40 trgcopyeulem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
411, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp3 27464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑌 𝐷))
421, 2, 3, 4, 7, 8, 19, 12, 41tgcgrcomlr 27422 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑌))
4339, 42eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 𝑌))
441, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 19lmiiso 27739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 𝑌))
451, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx1 27575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
461, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 45lmicinv 27735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) = 𝐷)
4746oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4843, 44, 473eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
501, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp2 27463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑋))
511, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp2 27463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑌))
5250, 51eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 𝑌))
531, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 19lmiiso 27739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 𝑌))
541, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx2 27576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
551, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 54lmicinv 27735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) = 𝐸)
5655oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5752, 53, 563eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5857ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
591, 5, 3, 21, 29, 30, 24, 31, 28, 27, 2, 32, 36, 49, 58lncgr 27511 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 𝑋) = (𝑡 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
60 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
611, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 59, 60ismir 27601 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
6261eqcomd 2742 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑋)
631, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 62mircom 27605 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
6463eqcomd 2742 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))
6510ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
661, 2, 3, 21, 65, 28, 27, 20, 24ismidb 27720 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) ↔ (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡))
6764, 66mpbid 231 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡)
6867, 23eqeltrd 2838 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
69 trgcopyeulem.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
70 trgcopyeulem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
71 trgcopyeulem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
721, 3, 5, 4, 17, 18, 69, 14, 71hpgcom 27709 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
731, 3, 5, 4, 17, 19, 69, 14, 70, 18, 72hpgtr 27710 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
741, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 14, 70hpgne1 27703 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
751, 2, 3, 5, 4, 10, 17, 69, 11, 19, 74lmiopp 27744 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
761, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 18, 26, 75lnopp2hpgb 27705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋))
7773, 76mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
781, 2, 3, 69, 18, 26islnopp 27681 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
7977, 78mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
8079simprd 496 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
8168, 80r19.29a 3159 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
8221adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8322adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
841, 2, 3, 69, 5, 17, 4, 18, 26, 77oppne3 27685 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
851, 3, 5, 4, 18, 26, 84tgelrnln 27572 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8685ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8786adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8884ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
891, 3, 5, 21, 28, 27, 24, 88, 60btwnlng1 27561 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9023, 89elind 4154 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9190adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9254ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
931, 3, 5, 4, 18, 26, 84tglinerflx1 27575 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9493ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
95 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑡)
9679simplld 766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
9796ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
98 nelne2 3042 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝑡𝑋)
9923, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑋)
10099necomd 2999 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑡)
101100adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑡)
10264oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10358, 102eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
104103adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10530adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑃)
10624adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡𝑃)
10728adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑃)
1081, 2, 3, 5, 20, 82, 105, 106, 107israg 27639 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
109104, 108mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → ⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1101, 2, 3, 5, 82, 83, 87, 91, 92, 94, 95, 101, 109ragperp 27659 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
11121adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11222adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
11386adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
11490adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
11545ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
11693ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
117 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑡)
118100adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑡)
11964oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12049, 119eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
121120adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12229adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑃)
12324adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡𝑃)
12428adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑃)
1251, 2, 3, 5, 20, 111, 122, 123, 124israg 27639 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
126121, 125mpbird 256 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → ⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1271, 2, 3, 5, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 126ragperp 27659 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
128 neneor 3044 . . . . . . . 8 (𝐸𝐷 → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
12933, 128syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
130110, 127, 129mpjaodan 957 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
131130orcd 871 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
132131, 80r19.29a 3159 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
1331, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 26islmib 27729 . . . 4 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) ↔ ((𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
13481, 132, 133mpbir2and 711 . . 3 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋))
135134eqcomd 2742 . 2 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
1361, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 19, 135lmieq 27733 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cdif 3907  cin 3909   class class class wbr 5105  {copab 5167  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  2c2 12208  ⟨“cs3 14731  Basecbs 17083  distcds 17142  TarskiGcstrkg 27369  DimTarskiGcstrkgld 27373  Itvcitv 27375  LineGclng 27376  cgrGccgrg 27452  hlGchlg 27542  pInvGcmir 27594  ∟Gcrag 27635  ⟂Gcperpg 27637  hpGchpg 27699  midGcmid 27714  lInvGclmi 27715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-s1 14484  df-s2 14737  df-s3 14738  df-trkgc 27390  df-trkgb 27391  df-trkgcb 27392  df-trkgld 27394  df-trkg 27395  df-cgrg 27453  df-leg 27525  df-hlg 27543  df-mir 27595  df-rag 27636  df-perpg 27638  df-hpg 27700  df-mid 27716  df-lmi 27717
This theorem is referenced by:  trgcopyeu  27748  acopyeu  27776
  Copyright terms: Public domain W3C validator