Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trgcopyeulem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trgcopyeulem 26603
 Description: Lemma for trgcopyeu 26604. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
trgcopy.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
trgcopy.m = (dist‘𝐺)
trgcopy.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
trgcopy.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
trgcopy.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
trgcopy.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
trgcopy.a (𝜑𝐴𝑃)
trgcopy.b (𝜑𝐵𝑃)
trgcopy.c (𝜑𝐶𝑃)
trgcopy.d (𝜑𝐷𝑃)
trgcopy.e (𝜑𝐸𝑃)
trgcopy.f (𝜑𝐹𝑃)
trgcopy.1 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
trgcopy.2 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
trgcopy.3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐷 𝐸))
trgcopyeulem.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
trgcopyeulem.x (𝜑𝑋𝑃)
trgcopyeulem.y (𝜑𝑌𝑃)
trgcopyeulem.1 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
trgcopyeulem.2 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
trgcopyeulem.3 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
trgcopyeulem.4 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
Assertion
Ref Expression
trgcopyeulem (𝜑𝑋 = 𝑌)
Distinct variable groups:   ,𝑎,𝑏,𝑡   𝐴,𝑎,𝑏,𝑡   𝐵,𝑎,𝑏,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐸,𝑎,𝑏,𝑡   𝐹,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑎,𝑏,𝑡   𝐾,𝑎   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑡,𝑏)

Proof of Theorem trgcopyeulem
StepHypRef Expression
1 trgcopy.p . 2 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 trgcopy.m . 2 = (dist‘𝐺)
3 trgcopy.i . 2 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 trgcopy.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 trgcopy.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
6 trgcopy.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 trgcopy.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 trgcopy.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
9 trgcopy.1 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐴 ∈ (𝐵𝐿𝐶) ∨ 𝐵 = 𝐶))
101, 5, 3, 4, 6, 7, 8, 9ncoltgdim2 26363 . 2 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
11 eqid 2801 . 2 ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸)) = ((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))
12 trgcopy.d . . 3 (𝜑𝐷𝑃)
13 trgcopy.e . . 3 (𝜑𝐸𝑃)
14 trgcopy.f . . . 4 (𝜑𝐹𝑃)
15 trgcopy.2 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝐷 ∈ (𝐸𝐿𝐹) ∨ 𝐸 = 𝐹))
161, 3, 5, 4, 12, 13, 14, 15ncolne1 26423 . . 3 (𝜑𝐷𝐸)
171, 3, 5, 4, 12, 13, 16tgelrnln 26428 . 2 (𝜑 → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
18 trgcopyeulem.x . 2 (𝜑𝑋𝑃)
19 trgcopyeulem.y . 2 (𝜑𝑌𝑃)
20 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
214ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2217ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
23 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
241, 5, 3, 21, 22, 23tglnpt 26347 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑃)
25 eqid 2801 . . . . . . . . 9 ((pInvG‘𝐺)‘𝑡) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑡)
261, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 19lmicl 26584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2726ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ 𝑃)
2818ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑃)
2912ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝑃)
3013ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝑃)
31 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (cgrG‘𝐺) = (cgrG‘𝐺)
3216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐷𝐸)
3332necomd 3045 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐸𝐷)
341, 3, 5, 21, 30, 29, 24, 33, 23lncom 26420 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷))
3534orcd 870 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 ∈ (𝐸𝐿𝐷) ∨ 𝐸 = 𝐷))
361, 5, 3, 21, 30, 29, 24, 35colrot1 26357 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝑡) ∨ 𝐷 = 𝑡))
37 trgcopyeulem.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
381, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp3 26320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑋 𝐷))
391, 2, 3, 4, 7, 8, 18, 12, 38tgcgrcomlr 26278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑋))
40 trgcopyeulem.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑌”⟩)
411, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp3 26320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐶 𝐴) = (𝑌 𝐷))
421, 2, 3, 4, 7, 8, 19, 12, 41tgcgrcomlr 26278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 𝐶) = (𝐷 𝑌))
4339, 42eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 𝑌))
441, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 19lmiiso 26595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 𝑌))
451, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx1 26431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
461, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 12, 45lmicinv 26591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) = 𝐷)
4746oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐷) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4843, 44, 473eqtr2d 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
501, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 18, 37cgr3simp2 26319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑋))
511, 2, 3, 31, 4, 8, 6, 7, 12, 13, 19, 40cgr3simp2 26319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 𝐶) = (𝐸 𝑌))
5250, 51eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 𝑌))
531, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 19lmiiso 26595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 𝑌))
541, 3, 5, 4, 12, 13, 16tglinerflx2 26432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
551, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 13, 54lmicinv 26591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) = 𝐸)
5655oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝐸) (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5752, 53, 563eqtr2d 2842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
591, 5, 3, 21, 29, 30, 24, 31, 28, 27, 2, 32, 36, 49, 58lncgr 26367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑡 𝑋) = (𝑡 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
60 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
611, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 59, 60ismir 26457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
6261eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑋)
631, 2, 3, 5, 20, 21, 24, 25, 27, 62mircom 26461 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
6463eqcomd 2807 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))
6510ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝐺DimTarskiG≥2)
661, 2, 3, 21, 65, 28, 27, 20, 24ismidb 26576 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋) ↔ (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡))
6764, 66mpbid 235 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = 𝑡)
6867, 23eqeltrd 2893 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
69 trgcopyeulem.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝐷𝐿𝐸))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
70 trgcopyeulem.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
71 trgcopyeulem.3 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝐹)
721, 3, 5, 4, 17, 18, 69, 14, 71hpgcom 26565 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
731, 3, 5, 4, 17, 19, 69, 14, 70, 18, 72hpgtr 26566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋)
741, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 14, 70hpgne1 26559 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
751, 2, 3, 5, 4, 10, 17, 69, 11, 19, 74lmiopp 26600 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
761, 3, 5, 69, 4, 17, 19, 18, 26, 75lnopp2hpgb 26561 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))𝑋))
7773, 76mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
781, 2, 3, 69, 18, 26islnopp 26537 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋𝑂(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ↔ ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
7977, 78mpbid 235 . . . . . 6 (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
8079simprd 499 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
8168, 80r19.29a 3251 . . . 4 (𝜑 → (𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸))
8221adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8322adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
841, 2, 3, 69, 5, 17, 4, 18, 26, 77oppne3 26541 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
851, 3, 5, 4, 18, 26, 84tgelrnln 26428 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8786adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
8884ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋 ≠ (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
891, 3, 5, 21, 28, 27, 24, 88, 60btwnlng1 26417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9023, 89elind 4124 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9190adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
9254ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
931, 3, 5, 4, 18, 26, 84tglinerflx1 26431 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
9493ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
95 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑡)
9679simplld 767 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
9796ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
98 nelne2 3087 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) → 𝑡𝑋)
9923, 97, 98syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑡𝑋)
10099necomd 3045 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → 𝑋𝑡)
101100adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑡)
10264oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10358, 102eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
104103adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
10530adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝐸𝑃)
10624adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑡𝑃)
10728adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → 𝑋𝑃)
1081, 2, 3, 5, 20, 82, 105, 106, 107israg 26495 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐸 𝑋) = (𝐸 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
109104, 108mpbird 260 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → ⟨“𝐸𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1101, 2, 3, 5, 82, 83, 87, 91, 92, 94, 95, 101, 109ragperp 26515 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐸𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
11121adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
11222adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸) ∈ ran 𝐿)
11386adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ ran 𝐿)
11490adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡 ∈ ((𝐷𝐿𝐸) ∩ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))))
11545ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷 ∈ (𝐷𝐿𝐸))
11693ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
117 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑡)
118100adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑡)
11964oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12049, 119eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
121120adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋)))
12229adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝐷𝑃)
12324adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑡𝑃)
12428adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → 𝑋𝑃)
1251, 2, 3, 5, 20, 111, 122, 123, 124israg 26495 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺) ↔ (𝐷 𝑋) = (𝐷 (((pInvG‘𝐺)‘𝑡)‘𝑋))))
126121, 125mpbird 260 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → ⟨“𝐷𝑡𝑋”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
1271, 2, 3, 5, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 126ragperp 26515 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) ∧ 𝐷𝑡) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
128 neneor 3089 . . . . . . . 8 (𝐸𝐷 → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
12933, 128syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐸𝑡𝐷𝑡))
130110, 127, 129mpjaodan 956 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → (𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
131130orcd 870 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ (𝐷𝐿𝐸)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋𝐼(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))) → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
132131, 80r19.29a 3251 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))
1331, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 26islmib 26585 . . . 4 (𝜑 → ((((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) ↔ ((𝑋(midG‘𝐺)(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∈ (𝐷𝐿𝐸) ∧ ((𝐷𝐿𝐸)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿(((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)) ∨ 𝑋 = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌)))))
13481, 132, 133mpbir2and 712 . . 3 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋))
135134eqcomd 2807 . 2 (𝜑 → (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑋) = (((lInvG‘𝐺)‘(𝐷𝐿𝐸))‘𝑌))
1361, 2, 3, 4, 10, 11, 5, 17, 18, 19, 135lmieq 26589 1 (𝜑𝑋 = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∃wrex 3110   ∖ cdif 3881   ∩ cin 3883   class class class wbr 5033  {copab 5095  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  2c2 11684  ⟨“cs3 14199  Basecbs 16479  distcds 16570  TarskiGcstrkg 26228  DimTarskiG≥cstrkgld 26232  Itvcitv 26234  LineGclng 26235  cgrGccgrg 26308  hlGchlg 26398  pInvGcmir 26450  ∟Gcrag 26491  ⟂Gcperpg 26493  hpGchpg 26555  midGcmid 26570  lInvGclmi 26571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-trkgc 26246  df-trkgb 26247  df-trkgcb 26248  df-trkgld 26250  df-trkg 26251  df-cgrg 26309  df-leg 26381  df-hlg 26399  df-mir 26451  df-rag 26492  df-perpg 26494  df-hpg 26556  df-mid 26572  df-lmi 26573 This theorem is referenced by:  trgcopyeu  26604  acopyeu  26632
 Copyright terms: Public domain W3C validator