MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem3 10117
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 10070 . . . . . . . . . 10 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2 addnqf 10027 . . . . . . . . . . . . 13 +Q :(Q × Q)⟶Q
32fdmi 6235 . . . . . . . . . . . 12 dom +Q = (Q × Q)
4 0nnq 10003 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ∅ ∈ Q
53, 4ndmovrcl 7022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
65simpld 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑦Q)
7 ltanq 10050 . . . . . . . . . 10 (𝑦Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
81, 6, 73syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9 prcdnq 10072 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
108, 9sylbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1110impancom 443 . . . . . . 7 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1211anim2d 605 . . . . . 6 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
1312eximdv 2012 . . . . 5 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14 ltexprlem.1 . . . . . 6 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
1514abeq2i 2878 . . . . 5 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16 vex 3353 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
17 oveq2 6854 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
1817eleq1d 2829 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
1918anbi2d 622 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
2019exbidv 2016 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
2116, 20, 14elab2 3511 . . . . 5 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
2213, 15, 213imtr4g 287 . . . 4 ((𝐵P𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
2322ex 401 . . 3 (𝐵P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥𝐶𝑧𝐶)))
2423com23 86 . 2 (𝐵P → (𝑥𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
2524alrimdv 2024 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥𝑧𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wal 1650   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  {cab 2751   class class class wbr 4811   × cxp 5277  (class class class)co 6846  Qcnq 9931   +Q cplq 9934   <Q cltq 9937  Pcnp 9938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-omul 7773  df-er 7951  df-ni 9951  df-pli 9952  df-mi 9953  df-lti 9954  df-plpq 9987  df-ltpq 9989  df-enq 9990  df-nq 9991  df-erq 9992  df-plq 9993  df-1nq 9995  df-ltnq 9997  df-np 10060
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10119
  Copyright terms: Public domain W3C validator