Theorem ltexprlem3 10991

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem3	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2		addnqf 10901	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
3	2	fdmi 6699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
4		0nnq 10877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
5	3, 4	ndmovrcl 7575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
6	5	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑦 ∈ Q)
7		ltanq 10924	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
8	1, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9		prcdnq 10946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
10	8, 9	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
11	10	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
12	11	anim2d 612	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
13	12	eximdv 1917	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
15	14	eqabri 2871	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16		vex 3451	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		oveq2 7395	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
18	17	eleq1d 2813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
19	18	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
20	19	exbidv 1921	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
21	16, 20, 14	elab2 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
22	13, 15, 21	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶))
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
24	23	com23 86	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
25	24	alrimdv 1929	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707   class class class wbr 5107   × cxp 5636  (class class class)co 7387  Qcnq 10805   +_Q cplq 10808   <_Q cltq 10811  Pcnp 10812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-ltpq 10863  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-1nq 10869  df-ltnq 10871  df-np 10934

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10993