Theorem ltexprlem3 11019

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem3	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10972	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2		addnqf 10929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
3	2	fdmi 6715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
4		0nnq 10905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
5	3, 4	ndmovrcl 7594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
6	5	simpld 499	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑦 ∈ Q)
7		ltanq 10952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
8	1, 6, 7	3syl 19	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9		prcdnq 10974	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
10	8, 9	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
11	10	impancom 456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
12	11	anim2d 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
13	12	eximdv 1944	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
15	14	eqabri 2911	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
18	17	eleq1d 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
19	18	anbi2d 641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
20	19	exbidv 1948	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
21	16, 20, 14	elab2 3650	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
22	13, 15, 21	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶))
23	22	ex 417	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
24	23	com23 87	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
25	24	alrimdv 1956	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1565   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747   class class class wbr 5110   × cxp 5657  (class class class)co 7408  Qcnq 10833   +_Q cplq 10836   <_Q cltq 10839  Pcnp 10840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ni 10853  df-pli 10854  df-mi 10855  df-lti 10856  df-plpq 10889  df-ltpq 10891  df-enq 10892  df-nq 10893  df-erq 10894  df-plq 10895  df-1nq 10897  df-ltnq 10899  df-np 10962

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11021