Theorem ltexprlem3 10952

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem3	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2		addnqf 10862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
3	2	fdmi 6673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
4		0nnq 10838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
5	3, 4	ndmovrcl 7546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
6	5	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑦 ∈ Q)
7		ltanq 10885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
8	1, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9		prcdnq 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
10	8, 9	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
11	10	impancom 451	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
12	11	anim2d 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
13	12	eximdv 1919	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
15	14	eqabri 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16		vex 3434	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		oveq2 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
18	17	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
19	18	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
20	19	exbidv 1923	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
21	16, 20, 14	elab2 3626	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
22	13, 15, 21	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶))
23	22	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
24	23	com23 86	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
25	24	alrimdv 1931	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  {cab 2715   class class class wbr 5086   × cxp 5622  (class class class)co 7360  Qcnq 10766   +_Q cplq 10769   <_Q cltq 10772  Pcnp 10773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-ni 10786  df-pli 10787  df-mi 10788  df-lti 10789  df-plpq 10822  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-erq 10827  df-plq 10828  df-1nq 10830  df-ltnq 10832  df-np 10895

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10954