Theorem ltexprlem3 10449

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem3	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 10402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
2		addnqf 10359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
3	2	fdmi 6498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
4		0nnq 10335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
5	3, 4	ndmovrcl 7314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
6	5	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑦 ∈ Q)
7		ltanq 10382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
8	1, 6, 7	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
9		prcdnq 10404	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
10	8, 9	sylbid 243	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
11	10	impancom 455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
12	11	anim2d 614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
13	12	eximdv 1918	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
14		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
15	14	abeq2i 2925	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
16		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		oveq2 7143	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
18	17	eleq1d 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
19	18	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
20	19	exbidv 1922	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
21	16, 20, 14	elab2 3618	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
22	13, 15, 21	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑧 <Q 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶))
23	22	ex 416	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑧 <Q 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
24	23	com23 86	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))
25	24	alrimdv 1930	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑥 → 𝑧 ∈ 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2776   class class class wbr 5030   × cxp 5517  (class class class)co 7135  Qcnq 10263   +_Q cplq 10266   <_Q cltq 10269  Pcnp 10270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-ni 10283  df-pli 10284  df-mi 10285  df-lti 10286  df-plpq 10319  df-ltpq 10321  df-enq 10322  df-nq 10323  df-erq 10324  df-plq 10325  df-1nq 10327  df-ltnq 10329  df-np 10392

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10451