Theorem ltexprlem7 11080

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem7	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	ltexprlem5 11078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐶 ∈ P)
3		ltaddpr 11072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐶))
4		addclpr 11056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
5		ltprord 11068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
6	4, 5	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶))
8	7	pssssd 4110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
9	8	sseld 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
10	9	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
11	10	com4r 94	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
12	11	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
13		prnmadd 11035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
15		elprnq 11029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q)
16		addnqf 10986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
17	16	fdmi 6748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
18		0nnq 10962	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
19	17, 18	ndmovrcl 7619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
21	20	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ Q)
22		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑣 ∈ V
23	22	prlem934 11071	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
25		prub 11032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q 𝑤))
26		ltexnq 11013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
28	25, 27	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
30	29	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
31		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑧 ∈ V
32		vex 3482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑥 ∈ V
33		addcomnq 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)
34		addassnq 10996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ))
35	31, 22, 32, 33, 34	caov32 7660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣)
36		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣) = (𝑤 +Q 𝑣))
37	35, 36	eqtrid 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = (𝑤 +Q 𝑣))
38	37	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → (((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
39	38	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
40		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ V
41		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
42	41	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
43		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥))
44	43	eleq1d 2824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
45	42, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
46	40, 45	spcev 3606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
47	1	eqabri 2883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
49	39, 48	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
50		df-plp 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ +P = (𝑥 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑥 ∃𝑣 ∈ 𝑤 𝑧 = (𝑓 +Q 𝑣)})
51		addclnq 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑓 +Q 𝑣) ∈ Q)
52	50, 51	genpprecl 11039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
53	49, 52	sylan2i 606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
54	53	exp4d 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 → (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
55	54	imp42 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶))
56		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
57	56	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
58	55, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))
59	58	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
60	59	exlimdv 1931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
61	30, 60	syl6d 75	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
62	24, 61	rexlimddv 3159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
63	62	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
65	21, 64	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
66	65	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
67	66	exlimdv 1931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
68	14, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
69	68	com4t 93	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
70	69	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
71	12, 70	pm2.61i 182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
72	2, 71	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
73	72	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
74	73	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
75	74	pm2.43d 53	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
76	75	imp31 417	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
77	76	ssrdv 4001	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106  {cab 2712  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964   class class class wbr 5148   × cxp 5687  (class class class)co 7431  Qcnq 10890   +_Q cplq 10893   <_Q cltq 10896  Pcnp 10897   +_P cpp 10899  <_P cltp 10901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955  df-ltnq 10956  df-np 11019  df-plp 11021  df-ltp 11023

This theorem is referenced by:  ltexpri  11081