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Theorem ltexprlem7 10201
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21ltexprlem5 10199 . . . . . . 7 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
3 ltaddpr 10193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐶))
4 addclpr 10177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P𝐶P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
5 ltprord 10189 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
64, 5syldan 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝐶P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
73, 6mpbid 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶))
87pssssd 3926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
98sseld 3820 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝐶P) → (𝑤𝐴𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
1092a1d 26 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵 → (𝑤𝐴𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
1110com4r 94 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
1211expd 406 . . . . . . . 8 (𝑤𝐴 → (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
13 prnmadd 10156 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵P𝑤𝐵) → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)
1413ex 403 . . . . . . . . . . 11 (𝐵P → (𝑤𝐵 → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
15 elprnq 10150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q)
16 addnqf 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +Q :(Q × Q)⟶Q
1716fdmi 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom +Q = (Q × Q)
18 0nnq 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∅ ∈ Q
1917, 18ndmovrcl 7099 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q → (𝑤Q𝑣Q))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤Q𝑣Q))
2120simpld 490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → 𝑤Q)
22 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑣 ∈ V
2322prlem934 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴P → ∃𝑧𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
2423adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴P𝐶P) → ∃𝑧𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
25 prub 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (¬ 𝑤𝐴𝑧 <Q 𝑤))
26 ltexnq 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2726adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2825, 27sylibd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2928ex 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
3029ad2ant2r 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
31 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
32 vex 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑥 ∈ V
33 addcomnq 10110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)
34 addassnq 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ))
3531, 22, 32, 33, 34caov32 7140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣)
36 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣) = (𝑤 +Q 𝑣))
3735, 36syl5eq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = (𝑤 +Q 𝑣))
3837eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → (((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
3938biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
40 ovex 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 +Q 𝑣) ∈ V
41 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
4241notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (¬ 𝑦𝐴 ↔ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
43 oveq1 6931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥))
4443eleq1d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4542, 44anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
4640, 45spcev 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
471abeq2i 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4846, 47sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐶)
4939, 48sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑥𝐶)
50 df-plp 10142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 +P = (𝑥P, 𝑤P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑓𝑥𝑣𝑤 𝑧 = (𝑓 +Q 𝑣)})
51 addclnq 10104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓Q𝑣Q) → (𝑓 +Q 𝑣) ∈ Q)
5250, 51genpprecl 10160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴P𝐶P) → ((𝑧𝐴𝑥𝐶) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5349, 52sylan2i 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴P𝐶P) → ((𝑧𝐴 ∧ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5453exp4d 426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴P𝐶P) → (𝑧𝐴 → (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 → (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
5554imp42 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶))
56 eleq1 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5756ad2antrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5855, 57mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))
5958exp32 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6059exlimdv 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6130, 60syl6d 75 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6224, 61rexlimddv 3218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P𝐶P) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6362com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6463adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6521, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6665ex 403 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵P → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6766exlimdv 1976 . . . . . . . . . . 11 (𝐵P → (∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6814, 67syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝐵P → (𝑤𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6968com4t 93 . . . . . . . . 9 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7069expd 406 . . . . . . . 8 𝑤𝐴 → (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7112, 70pm2.61i 177 . . . . . . 7 (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
722, 71syl5 34 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝐵P𝐴𝐵) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7372expd 406 . . . . 5 (𝐴P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7473com34 91 . . . 4 (𝐴P → (𝐵P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7574pm2.43d 53 . . 3 (𝐴P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7675imp31 410 . 2 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
7776ssrdv 3827 1 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wex 1823  wcel 2107  {cab 2763  wrex 3091  wss 3792  wpss 3793   class class class wbr 4888   × cxp 5355  (class class class)co 6924  Qcnq 10011   +Q cplq 10014   <Q cltq 10017  Pcnp 10018   +P cpp 10020  <P cltp 10022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-er 8028  df-ni 10031  df-pli 10032  df-mi 10033  df-lti 10034  df-plpq 10067  df-mpq 10068  df-ltpq 10069  df-enq 10070  df-nq 10071  df-erq 10072  df-plq 10073  df-mq 10074  df-1nq 10075  df-rq 10076  df-ltnq 10077  df-np 10140  df-plp 10142  df-ltp 10144
This theorem is referenced by:  ltexpri  10202
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