Theorem ltexprlem7 11111

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem7	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	ltexprlem5 11109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐶 ∈ P)
3		ltaddpr 11103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐶))
4		addclpr 11087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
5		ltprord 11099	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
6	4, 5	syldan 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶))
8	7	pssssd 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
9	8	sseld 4007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
10	9	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
11	10	com4r 94	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
12	11	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
13		prnmadd 11066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)
14	13	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
15		elprnq 11060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q)
16		addnqf 11017	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
17	16	fdmi 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
18		0nnq 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
19	17, 18	ndmovrcl 7636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
21	20	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ Q)
22		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑣 ∈ V
23	22	prlem934 11102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
25		prub 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q 𝑤))
26		ltexnq 11044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
28	25, 27	sylibd 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
29	28	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
30	29	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
31		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑧 ∈ V
32		vex 3492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑥 ∈ V
33		addcomnq 11020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)
34		addassnq 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ))
35	31, 22, 32, 33, 34	caov32 7677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣)
36		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣) = (𝑤 +Q 𝑣))
37	35, 36	eqtrid 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = (𝑤 +Q 𝑣))
38	37	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → (((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
39	38	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
40		ovex 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ V
41		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
42	41	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
43		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥))
44	43	eleq1d 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
45	42, 44	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
46	40, 45	spcev 3619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
47	1	eqabri 2888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
49	39, 48	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
50		df-plp 11052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ +P = (𝑥 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑥 ∃𝑣 ∈ 𝑤 𝑧 = (𝑓 +Q 𝑣)})
51		addclnq 11014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑓 +Q 𝑣) ∈ Q)
52	50, 51	genpprecl 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
53	49, 52	sylan2i 605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
54	53	exp4d 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 → (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
55	54	imp42 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶))
56		eleq1 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
57	56	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
58	55, 57	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))
59	58	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
60	59	exlimdv 1932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
61	30, 60	syl6d 75	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
62	24, 61	rexlimddv 3167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
63	62	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
64	63	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
65	21, 64	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
66	65	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
67	66	exlimdv 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
68	14, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
69	68	com4t 93	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
70	69	expd 415	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
71	12, 70	pm2.61i 182	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
72	2, 71	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
73	72	expd 415	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
74	73	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
75	74	pm2.43d 53	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
76	75	imp31 417	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
77	76	ssrdv 4014	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977   class class class wbr 5166   × cxp 5698  (class class class)co 7448  Qcnq 10921   +_Q cplq 10924   <_Q cltq 10927  Pcnp 10928   +_P cpp 10930  <_P cltp 10932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ni 10941  df-pli 10942  df-mi 10943  df-lti 10944  df-plpq 10977  df-mpq 10978  df-ltpq 10979  df-enq 10980  df-nq 10981  df-erq 10982  df-plq 10983  df-mq 10984  df-1nq 10985  df-rq 10986  df-ltnq 10987  df-np 11050  df-plp 11052  df-ltp 11054

This theorem is referenced by:  ltexpri  11112