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Theorem ltexprlem7 10067
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21ltexprlem5 10065 . . . . . . 7 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
3 ltaddpr 10059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐶))
4 addclpr 10043 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P𝐶P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
5 ltprord 10055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
64, 5syldan 573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝐶P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
73, 6mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶))
87pssssd 3855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝐶P) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
98sseld 3752 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝐶P) → (𝑤𝐴𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
1092a1d 26 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵 → (𝑤𝐴𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
1110com4r 94 . . . . . . . . 9 (𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
1211expd 400 . . . . . . . 8 (𝑤𝐴 → (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
13 prnmadd 10022 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵P𝑤𝐵) → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)
1413ex 397 . . . . . . . . . . 11 (𝐵P → (𝑤𝐵 → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
15 elprnq 10016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q)
16 addnqf 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +Q :(Q × Q)⟶Q
1716fdmi 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom +Q = (Q × Q)
18 0nnq 9949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ ∅ ∈ Q
1917, 18ndmovrcl 6968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q → (𝑤Q𝑣Q))
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤Q𝑣Q))
2120simpld 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → 𝑤Q)
22 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑣 ∈ V
2322prlem934 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴P → ∃𝑧𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
2423adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴P𝐶P) → ∃𝑧𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
25 prub 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (¬ 𝑤𝐴𝑧 <Q 𝑤))
26 ltexnq 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2726adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2825, 27sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑤Q) → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
2928ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴P𝑧𝐴) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
3029ad2ant2r 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
31 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑧 ∈ V
32 vex 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑥 ∈ V
33 addcomnq 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)
34 addassnq 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ))
3531, 22, 32, 33, 34caov32 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣)
36 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣) = (𝑤 +Q 𝑣))
3735, 36syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = (𝑤 +Q 𝑣))
3837eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → (((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
3938biimpar 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
40 ovex 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 +Q 𝑣) ∈ V
41 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦𝐴 ↔ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
4241notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (¬ 𝑦𝐴 ↔ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
43 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥))
4443eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4542, 44anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
4640, 45spcev 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
471abeq2i 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
4846, 47sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐶)
4939, 48sylan2 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑥𝐶)
50 df-plp 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 +P = (𝑥P, 𝑤P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑓𝑥𝑣𝑤 𝑧 = (𝑓 +Q 𝑣)})
51 addclnq 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑓Q𝑣Q) → (𝑓 +Q 𝑣) ∈ Q)
5250, 51genpprecl 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴P𝐶P) → ((𝑧𝐴𝑥𝐶) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5349, 52sylan2i 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴P𝐶P) → ((𝑧𝐴 ∧ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5453exp4d 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴P𝐶P) → (𝑧𝐴 → (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 → (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
5554imp42 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶))
56 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5756ad2antrl 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
5855, 57mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))
5958exp32 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6059exlimdv 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6130, 60syl6d 75 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝐶P) ∧ (𝑧𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6224, 61rexlimddv 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P𝐶P) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6362com14 96 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6463adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤Q → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6521, 64mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
6665ex 397 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵P → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6766exlimdv 2013 . . . . . . . . . . 11 (𝐵P → (∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6814, 67syld 47 . . . . . . . . . 10 (𝐵P → (𝑤𝐵 → (¬ 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
6968com4t 93 . . . . . . . . 9 𝑤𝐴 → ((𝐴P𝐶P) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7069expd 400 . . . . . . . 8 𝑤𝐴 → (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7112, 70pm2.61i 176 . . . . . . 7 (𝐴P → (𝐶P → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
722, 71syl5 34 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝐵P𝐴𝐵) → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7372expd 400 . . . . 5 (𝐴P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝐵P → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7473com34 91 . . . 4 (𝐴P → (𝐵P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
7574pm2.43d 53 . . 3 (𝐴P → (𝐵P → (𝐴𝐵 → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
7675imp31 404 . 2 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑤𝐵𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
7776ssrdv 3759 1 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  {cab 2757  wrex 3062  wss 3724  wpss 3725   class class class wbr 4787   × cxp 5248  (class class class)co 6794  Qcnq 9877   +Q cplq 9880   <Q cltq 9883  Pcnp 9884   +P cpp 9886  <P cltp 9888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-oadd 7718  df-omul 7719  df-er 7897  df-ni 9897  df-pli 9898  df-mi 9899  df-lti 9900  df-plpq 9933  df-mpq 9934  df-ltpq 9935  df-enq 9936  df-nq 9937  df-erq 9938  df-plq 9939  df-mq 9940  df-1nq 9941  df-rq 9942  df-ltnq 9943  df-np 10006  df-plp 10008  df-ltp 10010
This theorem is referenced by:  ltexpri  10068
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