Theorem ltexprlem7 10464

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem7	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem7

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	ltexprlem5 10462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐶 ∈ P)
3		ltaddpr 10456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐶))
4		addclpr 10440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
5		ltprord 10452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
6	4, 5	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶)))
7	3, 6	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊊ (𝐴 +P 𝐶))
8	7	pssssd 4074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))
9	8	sseld 3966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
10	9	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
11	10	com4r 94	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
12	11	expd 418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
13		prnmadd 10419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐵) → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)
14	13	ex 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → ∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
15		elprnq 10413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q)
16		addnqf 10370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
17	16	fdmi 6524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
18		0nnq 10346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
19	17, 18	ndmovrcl 7334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ Q → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q))
21	20	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → 𝑤 ∈ Q)
22		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝑣 ∈ V
23	22	prlem934 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ P → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
24	23	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)
25		prub 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → 𝑧 <Q 𝑤))
26		ltexnq 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
27	26	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (𝑧 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
28	25, 27	sylibd 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ Q) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤))
29	28	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
30	29	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤)))
31		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑧 ∈ V
32		vex 3497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑥 ∈ V
33		addcomnq 10373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑓 +Q 𝑔) = (𝑔 +Q 𝑓)
34		addassnq 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑓 +Q 𝑔) +Q ℎ) = (𝑓 +Q (𝑔 +Q ℎ))
35	31, 22, 32, 33, 34	caov32 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣)
36		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) +Q 𝑣) = (𝑤 +Q 𝑣))
37	35, 36	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) = (𝑤 +Q 𝑣))
38	37	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → (((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))
39	38	biimpar 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
40		ovex 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ V
41		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
42	41	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴))
43		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → (𝑦 +Q 𝑥) = ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥))
44	43	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
45	42, 44	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 = (𝑧 +Q 𝑣) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵)))
46	40, 45	spcev 3607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
47	1	abeq2i 2948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
48	46, 47	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑣) +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐶)
49	39, 48	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐶)
50		df-plp 10405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ +P = (𝑥 ∈ P, 𝑤 ∈ P ↦ {𝑧 ∣ ∃𝑓 ∈ 𝑥 ∃𝑣 ∈ 𝑤 𝑧 = (𝑓 +Q 𝑣)})
51		addclnq 10367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑓 ∈ Q ∧ 𝑣 ∈ Q) → (𝑓 +Q 𝑣) ∈ Q)
52	50, 51	genpprecl 10423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
53	49, 52	sylan2i 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵))) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
54	53	exp4d 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴 → (((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
55	54	imp42 429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → (𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶))
56		eleq1 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
57	56	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → ((𝑧 +Q 𝑥) ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
58	55, 57	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) ∧ ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵)) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))
59	58	exp32 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → ((𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
60	59	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (∃𝑥(𝑧 +Q 𝑥) = 𝑤 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
61	30, 60	syl6d 75	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝑧 +Q 𝑣) ∈ 𝐴)) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
62	24, 61	rexlimddv 3291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
63	62	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
64	63	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (𝑤 ∈ Q → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
65	21, 64	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵) → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))
66	65	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
67	66	exlimdv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑣(𝑤 +Q 𝑣) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
68	14, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
69	68	com4t 93	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
70	69	expd 418	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
71	12, 70	pm2.61i 184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐶 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
72	2, 71	syl5 34	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
73	72	expd 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
74	73	com34 91	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶))))))
75	74	pm2.43d 53	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))))
76	75	imp31 420	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝑤 ∈ 𝐵 → 𝑤 ∈ (𝐴 +P 𝐶)))
77	76	ssrdv 3973	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐵 ⊆ (𝐴 +P 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {cab 2799  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936   ⊊ wpss 3937   class class class wbr 5066   × cxp 5553  (class class class)co 7156  Qcnq 10274   +_Q cplq 10277   <_Q cltq 10280  Pcnp 10281   +_P cpp 10283  <_P cltp 10285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-ni 10294  df-pli 10295  df-mi 10296  df-lti 10297  df-plpq 10330  df-mpq 10331  df-ltpq 10332  df-enq 10333  df-nq 10334  df-erq 10335  df-plq 10336  df-mq 10337  df-1nq 10338  df-rq 10339  df-ltnq 10340  df-np 10403  df-plp 10405  df-ltp 10407

This theorem is referenced by:  ltexpri  10465