Theorem ltbtwnnq 10975

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10923	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5740	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 494	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4		ltexnq 10972	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵))
5		eleq1 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q ↔ 𝐵 ∈ Q))
6	5	biimparc 478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q)
7		addnqf 10945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6728	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
12	11	simprd 494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
13		nsmallnq 10974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
14	11	simpld 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
15	1	brel 5740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
16	15	simpld 493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
17		ltaddnq 10971	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
18	14, 16, 17	syl2an 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
19		ltanq 10968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦)))
20	19	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
21	14, 20	sylan 578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
22		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
23	21, 22	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
24		ovex 7444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 +Q 𝑧) ∈ V
25		breq2 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
26		breq1 5150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
27	25, 26	anbi12d 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
28	24, 27	spcev 3595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	18, 23, 28	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
30	29	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	30	exlimdv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	13, 31	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	12, 32	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
34	33	ex 411	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
35	34	exlimdv 1934	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
36	4, 35	sylbid 239	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
37	3, 36	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
38		ltsonq 10966	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
39	38, 1	sotri 6127	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
40	39	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
41	37, 40	impbii 208	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  ∃wex 1779   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147   × cxp 5673  (class class class)co 7411  Qcnq 10849   +_Q cplq 10852   <_Q cltq 10855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915

This theorem is referenced by:  nqpr  11011  reclem2pr  11045