Theorem ltbtwnnq 10892

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10840	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5683	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4		ltexnq 10889	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵))
5		eleq1 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q ↔ 𝐵 ∈ Q))
6	5	biimparc 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q)
7		addnqf 10862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6666	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
12	11	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
13		nsmallnq 10891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
14	11	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
15	1	brel 5683	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
16	15	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
17		ltaddnq 10888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
18	14, 16, 17	syl2an 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
19		ltanq 10885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦)))
20	19	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
21	14, 20	sylan 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
22		simplr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
23	21, 22	breqtrd 5098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
24		ovex 7389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 +Q 𝑧) ∈ V
25		breq2 5076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
26		breq1 5075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
27	25, 26	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
28	24, 27	spcev 3544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	18, 23, 28	syl2anc 590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
30	29	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	30	exlimdv 1940	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	13, 31	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	12, 32	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
34	33	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
35	34	exlimdv 1940	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
36	4, 35	sylbid 241	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
37	3, 36	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
38		ltsonq 10883	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
39	38, 1	sotri 6077	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
40	39	exlimiv 1937	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
41	37, 40	impbii 210	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072   × cxp 5616  (class class class)co 7356  Qcnq 10766   +_Q cplq 10769   <_Q cltq 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ni 10786  df-pli 10787  df-mi 10788  df-lti 10789  df-plpq 10822  df-mpq 10823  df-ltpq 10824  df-enq 10825  df-nq 10826  df-erq 10827  df-plq 10828  df-mq 10829  df-1nq 10830  df-rq 10831  df-ltnq 10832

This theorem is referenced by:  nqpr  10928  reclem2pr  10962