| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | ltrelnq 10966 | . . . . 5
⊢ 
<Q ⊆ (Q ×
Q) | 
| 2 | 1 | brel 5750 | . . . 4
⊢ (𝐴 <Q
𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈
Q)) | 
| 3 | 2 | simprd 495 | . . 3
⊢ (𝐴 <Q
𝐵 → 𝐵 ∈ Q) | 
| 4 |  | ltexnq 11015 | . . . 4
⊢ (𝐵 ∈ Q →
(𝐴
<Q 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)) | 
| 5 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 +Q
𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q ↔
𝐵 ∈
Q)) | 
| 6 | 5 | biimparc 479 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑦) ∈
Q) | 
| 7 |  | addnqf 10988 | . . . . . . . . . . 11
⊢ 
+Q :(Q ×
Q)⟶Q | 
| 8 | 7 | fdmi 6747 | . . . . . . . . . 10
⊢ dom
+Q = (Q ×
Q) | 
| 9 |  | 0nnq 10964 | . . . . . . . . . 10
⊢  ¬
∅ ∈ Q | 
| 10 | 8, 9 | ndmovrcl 7619 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 +Q
𝑦) ∈ Q
→ (𝐴 ∈
Q ∧ 𝑦
∈ Q)) | 
| 11 | 6, 10 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈
Q)) | 
| 12 | 11 | simprd 495 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → 𝑦 ∈ Q) | 
| 13 |  | nsmallnq 11017 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ Q →
∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦) | 
| 14 | 11 | simpld 494 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 ∈ Q) | 
| 15 | 1 | brel 5750 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 <Q
𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧
𝑦 ∈
Q)) | 
| 16 | 15 | simpld 494 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 <Q
𝑦 → 𝑧 ∈ Q) | 
| 17 |  | ltaddnq 11014 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧
𝑧 ∈ Q)
→ 𝐴
<Q (𝐴 +Q 𝑧)) | 
| 18 | 14, 16, 17 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q
𝑧)) | 
| 19 |  | ltanq 11011 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝐴 ∈ Q →
(𝑧
<Q 𝑦 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q
(𝐴
+Q 𝑦))) | 
| 20 | 19 | biimpa 476 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧
𝑧
<Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q
(𝐴
+Q 𝑦)) | 
| 21 | 14, 20 | sylan 580 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q
(𝐴
+Q 𝑦)) | 
| 22 |  | simplr 769 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) | 
| 23 | 21, 22 | breqtrd 5169 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q
𝐵) | 
| 24 |  | ovex 7464 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐴 +Q
𝑧) ∈
V | 
| 25 |  | breq2 5147 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q
𝑧))) | 
| 26 |  | breq1 5146 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q
𝐵)) | 
| 27 | 25, 26 | anbi12d 632 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q
𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q
𝐵))) | 
| 28 | 24, 27 | spcev 3606 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 <Q
(𝐴
+Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q
𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)) | 
| 29 | 18, 23, 28 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)) | 
| 30 | 29 | ex 412 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))) | 
| 31 | 30 | exlimdv 1933 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))) | 
| 32 | 13, 31 | syl5 34 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))) | 
| 33 | 12, 32 | mpd 15 | . . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧
(𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)) | 
| 34 | 33 | ex 412 | . . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ Q →
((𝐴
+Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))) | 
| 35 | 34 | exlimdv 1933 | . . . 4
⊢ (𝐵 ∈ Q →
(∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))) | 
| 36 | 4, 35 | sylbid 240 | . . 3
⊢ (𝐵 ∈ Q →
(𝐴
<Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))) | 
| 37 | 3, 36 | mpcom 38 | . 2
⊢ (𝐴 <Q
𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)) | 
| 38 |  | ltsonq 11009 | . . . 4
⊢ 
<Q Or Q | 
| 39 | 38, 1 | sotri 6147 | . . 3
⊢ ((𝐴 <Q
𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵) | 
| 40 | 39 | exlimiv 1930 | . 2
⊢
(∃𝑥(𝐴 <Q
𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵) | 
| 41 | 37, 40 | impbii 209 | 1
⊢ (𝐴 <Q
𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)) |