Theorem ltbtwnnq 10992

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10940	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5719	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4		ltexnq 10989	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵))
5		eleq1 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q ↔ 𝐵 ∈ Q))
6	5	biimparc 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q)
7		addnqf 10962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
12	11	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
13		nsmallnq 10991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
14	11	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
15	1	brel 5719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
16	15	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
17		ltaddnq 10988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
18	14, 16, 17	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
19		ltanq 10985	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦)))
20	19	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
21	14, 20	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
22		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
23	21, 22	breqtrd 5145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
24		ovex 7438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 +Q 𝑧) ∈ V
25		breq2 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
26		breq1 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
27	25, 26	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
28	24, 27	spcev 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	18, 23, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
30	29	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	30	exlimdv 1933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	13, 31	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	12, 32	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
34	33	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
35	34	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
36	4, 35	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
37	3, 36	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
38		ltsonq 10983	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
39	38, 1	sotri 6116	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
40	39	exlimiv 1930	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
41	37, 40	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   × cxp 5652  (class class class)co 7405  Qcnq 10866   +_Q cplq 10869   <_Q cltq 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-ni 10886  df-pli 10887  df-mi 10888  df-lti 10889  df-plpq 10922  df-mpq 10923  df-ltpq 10924  df-enq 10925  df-nq 10926  df-erq 10927  df-plq 10928  df-mq 10929  df-1nq 10930  df-rq 10931  df-ltnq 10932

This theorem is referenced by:  nqpr  11028  reclem2pr  11062