Theorem ltbtwnnq 10991

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 10939	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5724	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4		ltexnq 10988	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵))
5		eleq1 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q ↔ 𝐵 ∈ Q))
6	5	biimparc 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q)
7		addnqf 10961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6718	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7604	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
11	6, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
12	11	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
13		nsmallnq 10990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
14	11	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
15	1	brel 5724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
16	15	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
17		ltaddnq 10987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
18	14, 16, 17	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
19		ltanq 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦)))
20	19	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
21	14, 20	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
22		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
23	21, 22	breqtrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
24		ovex 7450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 +Q 𝑧) ∈ V
25		breq2 5111	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
26		breq1 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
27	25, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
28	24, 27	spcev 3563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	18, 23, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
30	29	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	30	exlimdv 1966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	13, 31	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	12, 32	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
34	33	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
35	34	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
36	4, 35	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
37	3, 36	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
38		ltsonq 10982	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
39	38, 1	sotri 6125	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
40	39	exlimiv 1963	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
41	37, 40	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   × cxp 5657  (class class class)co 7417  Qcnq 10865   +_Q cplq 10868   <_Q cltq 10871

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-ni 10885  df-pli 10886  df-mi 10887  df-lti 10888  df-plpq 10921  df-mpq 10922  df-ltpq 10923  df-enq 10924  df-nq 10925  df-erq 10926  df-plq 10927  df-mq 10928  df-1nq 10929  df-rq 10930  df-ltnq 10931

This theorem is used by:  nqpr  11027  reclem2pr  11061