Theorem ltbtwnnq 11073

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnq	⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltbtwnnq

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 11021	. . . . 5 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
2	1	brel 5719	. . . 4 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
3	2	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
4		ltexnq 11070	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵))
5		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q ↔ 𝐵 ∈ Q))
6	5	biimparc 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q)
7		addnqf 11043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6729	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 11019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7614	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 +Q 𝑦) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
11	6, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
12	11	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
13		nsmallnq 11072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Q → ∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦)
14	11	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
15	1	brel 5719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → (𝑧 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q))
16	15	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ Q)
17		ltaddnq 11069	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
18	14, 16, 17	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧))
19		ltanq 11066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑦 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦)))
20	19	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
21	14, 20	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q (𝐴 +Q 𝑦))
22		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵)
23	21, 22	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)
24		ovex 7460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 +Q 𝑧) ∈ V
25		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧)))
26		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → (𝑥 <Q 𝐵 ↔ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵))
27	25, 26	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐴 +Q 𝑧) → ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) ↔ (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵)))
28	24, 27	spcev 3563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑧) ∧ (𝐴 +Q 𝑧) <Q 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
29	18, 23, 28	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) ∧ 𝑧 <Q 𝑦) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
30	29	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
31	30	exlimdv 1967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (∃𝑧 𝑧 <Q 𝑦 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
32	13, 31	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → (𝑦 ∈ Q → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
33	12, 32	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ (𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵) → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
34	33	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Q → ((𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
35	34	exlimdv 1967	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (∃𝑦(𝐴 +Q 𝑦) = 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
36	4, 35	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Q → (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵)))
37	3, 36	mpcom 39	. 2 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))
38		ltsonq 11064	. . . 4 ⊢ <Q Or Q
39	38, 1	sotri 6126	. . 3 ⊢ ((𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
40	39	exlimiv 1964	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
41	37, 40	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 <Q 𝑥 ∧ 𝑥 <Q 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105   × cxp 5652  (class class class)co 7427  Qcnq 10947   +_Q cplq 10950   <_Q cltq 10953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8728  df-ni 10967  df-pli 10968  df-mi 10969  df-lti 10970  df-plpq 11003  df-mpq 11004  df-ltpq 11005  df-enq 11006  df-nq 11007  df-erq 11008  df-plq 11009  df-mq 11010  df-1nq 11011  df-rq 11012  df-ltnq 11013

This theorem is used by:  nqpr  11109  reclem2pr  11143