Theorem mappsrpr 10722

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
mappsrpr.2	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
mappsrpr	⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Proof of Theorem mappsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-m1r 10676	. . . 4 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
2	1	breq1i 5060	. . 3 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
3		ltsrpr 10691	. . 3 ⊢ ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
4	2, 3	bitri 278	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5		mappsrpr.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
6		ltasr 10714	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
8		ltrelpr 10612	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
9	8	brel 5614	. . . 4 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P))
10		dmplp 10626	. . . . . 6 ⊢ dom +P = (P × P)
11		0npr 10606	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
12	10, 11	ndmovrcl 7394	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
13	12	simprd 499	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → 𝐴 ∈ P)
14	9, 13	simpl2im 507	. . 3 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
15		1pr 10629	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16		addclpr 10632	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
18		ltaddpr 10648	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
19	17, 18	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
20	14, 19	impbii 212	. 2 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ P)
21	4, 7, 20	3bitr3i 304	1 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2110  ⟨cop 4547   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  [cec 8389  Pcnp 10473  1_Pc1p 10474   +_P cpp 10475  <_P cltp 10477   ~_R cer 10478  Rcnr 10479  -1_Rcm1r 10482   +_R cplr 10483   <_R cltr 10485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-ec 8393  df-qs 8397  df-ni 10486  df-pli 10487  df-mi 10488  df-lti 10489  df-plpq 10522  df-mpq 10523  df-ltpq 10524  df-enq 10525  df-nq 10526  df-erq 10527  df-plq 10528  df-mq 10529  df-1nq 10530  df-rq 10531  df-ltnq 10532  df-np 10595  df-1p 10596  df-plp 10597  df-ltp 10599  df-enr 10669  df-nr 10670  df-plr 10671  df-ltr 10673  df-m1r 10676

This theorem is referenced by:  map2psrpr  10724  supsrlem  10725