MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappsrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mappsrpr 11148
Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mappsrpr.2 𝐶R
Assertion
Ref Expression
mappsrpr ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴P)

Proof of Theorem mappsrpr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 11102 . . . 4 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
21breq1i 5150 . . 3 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
3 ltsrpr 11117 . . 3 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
42, 3bitri 275 . 2 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5 mappsrpr.2 . . 3 𝐶R
6 ltasr 11140 . . 3 (𝐶R → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
75, 6ax-mp 5 . 2 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
8 ltrelpr 11038 . . . . 5 <P ⊆ (P × P)
98brel 5750 . . . 4 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P))
10 dmplp 11052 . . . . . 6 dom +P = (P × P)
11 0npr 11032 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ P
1210, 11ndmovrcl 7619 . . . . 5 (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → ((1P +P 1P) ∈ P𝐴P))
1312simprd 495 . . . 4 (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P𝐴P)
149, 13simpl2im 503 . . 3 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → 𝐴P)
15 1pr 11055 . . . . 5 1PP
16 addclpr 11058 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
1715, 15, 16mp2an 692 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
18 ltaddpr 11074 . . . 4 (((1P +P 1P) ∈ P𝐴P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
1917, 18mpan 690 . . 3 (𝐴P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
2014, 19impbii 209 . 2 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ 𝐴P)
214, 7, 203bitr3i 301 1 ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wcel 2108  cop 4632   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  [cec 8743  Pcnp 10899  1Pc1p 10900   +P cpp 10901  <P cltp 10903   ~R cer 10904  Rcnr 10905  -1Rcm1r 10908   +R cplr 10909   <R cltr 10911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-ni 10912  df-pli 10913  df-mi 10914  df-lti 10915  df-plpq 10948  df-mpq 10949  df-ltpq 10950  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-plq 10954  df-mq 10955  df-1nq 10956  df-rq 10957  df-ltnq 10958  df-np 11021  df-1p 11022  df-plp 11023  df-ltp 11025  df-enr 11095  df-nr 11096  df-plr 11097  df-ltr 11099  df-m1r 11102
This theorem is referenced by:  map2psrpr  11150  supsrlem  11151
  Copyright terms: Public domain W3C validator