MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappsrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mappsrpr 11138
Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mappsrpr.2 𝐶R
Assertion
Ref Expression
mappsrpr ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴P)

Proof of Theorem mappsrpr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 11092 . . . 4 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
21breq1i 5156 . . 3 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
3 ltsrpr 11107 . . 3 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
42, 3bitri 274 . 2 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5 mappsrpr.2 . . 3 𝐶R
6 ltasr 11130 . . 3 (𝐶R → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
75, 6ax-mp 5 . 2 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
8 ltrelpr 11028 . . . . 5 <P ⊆ (P × P)
98brel 5743 . . . 4 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P))
10 dmplp 11042 . . . . . 6 dom +P = (P × P)
11 0npr 11022 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ P
1210, 11ndmovrcl 7607 . . . . 5 (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → ((1P +P 1P) ∈ P𝐴P))
1312simprd 494 . . . 4 (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P𝐴P)
149, 13simpl2im 502 . . 3 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → 𝐴P)
15 1pr 11045 . . . . 5 1PP
16 addclpr 11048 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
1715, 15, 16mp2an 690 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
18 ltaddpr 11064 . . . 4 (((1P +P 1P) ∈ P𝐴P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
1917, 18mpan 688 . . 3 (𝐴P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
2014, 19impbii 208 . 2 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ 𝐴P)
214, 7, 203bitr3i 300 1 ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2098  cop 4636   class class class wbr 5149  (class class class)co 7419  [cec 8723  Pcnp 10889  1Pc1p 10890   +P cpp 10891  <P cltp 10893   ~R cer 10894  Rcnr 10895  -1Rcm1r 10898   +R cplr 10899   <R cltr 10901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-ni 10902  df-pli 10903  df-mi 10904  df-lti 10905  df-plpq 10938  df-mpq 10939  df-ltpq 10940  df-enq 10941  df-nq 10942  df-erq 10943  df-plq 10944  df-mq 10945  df-1nq 10946  df-rq 10947  df-ltnq 10948  df-np 11011  df-1p 11012  df-plp 11013  df-ltp 11015  df-enr 11085  df-nr 11086  df-plr 11087  df-ltr 11089  df-m1r 11092
This theorem is referenced by:  map2psrpr  11140  supsrlem  11141
  Copyright terms: Public domain W3C validator