Theorem mappsrpr 11146

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
mappsrpr.2	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
mappsrpr	⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Proof of Theorem mappsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-m1r 11100	. . . 4 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
2	1	breq1i 5155	. . 3 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
3		ltsrpr 11115	. . 3 ⊢ ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
4	2, 3	bitri 275	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5		mappsrpr.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
6		ltasr 11138	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
8		ltrelpr 11036	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
9	8	brel 5754	. . . 4 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P))
10		dmplp 11050	. . . . . 6 ⊢ dom +P = (P × P)
11		0npr 11030	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
12	10, 11	ndmovrcl 7619	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
13	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → 𝐴 ∈ P)
14	9, 13	simpl2im 503	. . 3 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
15		1pr 11053	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16		addclpr 11056	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
17	15, 15, 16	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
18		ltaddpr 11072	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
19	17, 18	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
20	14, 19	impbii 209	. 2 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ P)
21	4, 7, 20	3bitr3i 301	1 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  [cec 8742  Pcnp 10897  1_Pc1p 10898   +_P cpp 10899  <_P cltp 10901   ~_R cer 10902  Rcnr 10903  -1_Rcm1r 10906   +_R cplr 10907   <_R cltr 10909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955  df-ltnq 10956  df-np 11019  df-1p 11020  df-plp 11021  df-ltp 11023  df-enr 11093  df-nr 11094  df-plr 11095  df-ltr 11097  df-m1r 11100

This theorem is referenced by:  map2psrpr  11148  supsrlem  11149