Theorem mappsrpr 11088

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
mappsrpr.2	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
mappsrpr	⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Proof of Theorem mappsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-m1r 11042	. . . 4 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
2	1	breq1i 5116	. . 3 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
3		ltsrpr 11057	. . 3 ⊢ ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
4	2, 3	bitri 278	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5		mappsrpr.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
6		ltasr 11080	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
8		ltrelpr 10978	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
9	8	brel 5726	. . . 4 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P))
10		dmplp 10992	. . . . . 6 ⊢ dom +P = (P × P)
11		0npr 10972	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
12	10, 11	ndmovrcl 7596	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
13	12	simprd 500	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → 𝐴 ∈ P)
14	9, 13	simpl2im 512	. . 3 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
15		1pr 10995	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16		addclpr 10998	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
17	15, 15, 16	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
18		ltaddpr 11014	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
19	17, 18	mpan 702	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
20	14, 19	impbii 212	. 2 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ P)
21	4, 7, 20	3bitr3i 304	1 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  [cec 8688  Pcnp 10839  1_Pc1p 10840   +_P cpp 10841  <_P cltp 10843   ~_R cer 10844  Rcnr 10845  -1_Rcm1r 10848   +_R cplr 10849   <_R cltr 10851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-ni 10852  df-pli 10853  df-mi 10854  df-lti 10855  df-plpq 10888  df-mpq 10889  df-ltpq 10890  df-enq 10891  df-nq 10892  df-erq 10893  df-plq 10894  df-mq 10895  df-1nq 10896  df-rq 10897  df-ltnq 10898  df-np 10961  df-1p 10962  df-plp 10963  df-ltp 10965  df-enr 11035  df-nr 11036  df-plr 11037  df-ltr 11039  df-m1r 11042

This theorem is referenced by:  map2psrpr  11090  supsrlem  11091