MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mappsrpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mappsrpr 10182
Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
mappsrpr.2 𝐶R
Assertion
Ref Expression
mappsrpr ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴P)

Proof of Theorem mappsrpr
StepHypRef Expression
1 df-m1r 10137 . . . 4 -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
21breq1i 4816 . . 3 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
3 ltsrpr 10151 . . 3 ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
42, 3bitri 266 . 2 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5 mappsrpr.2 . . 3 𝐶R
6 ltasr 10174 . . 3 (𝐶R → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
75, 6ax-mp 5 . 2 (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
8 ltrelpr 10073 . . . . . 6 <P ⊆ (P × P)
98brel 5336 . . . . 5 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P))
109simprd 489 . . . 4 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P)
11 dmplp 10087 . . . . . 6 dom +P = (P × P)
12 0npr 10067 . . . . . 6 ¬ ∅ ∈ P
1311, 12ndmovrcl 7018 . . . . 5 (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → ((1P +P 1P) ∈ P𝐴P))
1413simprd 489 . . . 4 (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P𝐴P)
1510, 14syl 17 . . 3 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → 𝐴P)
16 1pr 10090 . . . . 5 1PP
17 addclpr 10093 . . . . 5 ((1PP ∧ 1PP) → (1P +P 1P) ∈ P)
1816, 16, 17mp2an 683 . . . 4 (1P +P 1P) ∈ P
19 ltaddpr 10109 . . . 4 (((1P +P 1P) ∈ P𝐴P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
2018, 19mpan 681 . . 3 (𝐴P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
2115, 20impbii 200 . 2 ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ 𝐴P)
224, 7, 213bitr3i 292 1 ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wcel 2155  cop 4340   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  [cec 7945  Pcnp 9934  1Pc1p 9935   +P cpp 9936  <P cltp 9938   ~R cer 9939  Rcnr 9940  -1Rcm1r 9943   +R cplr 9944   <R cltr 9946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-ni 9947  df-pli 9948  df-mi 9949  df-lti 9950  df-plpq 9983  df-mpq 9984  df-ltpq 9985  df-enq 9986  df-nq 9987  df-erq 9988  df-plq 9989  df-mq 9990  df-1nq 9991  df-rq 9992  df-ltnq 9993  df-np 10056  df-1p 10057  df-plp 10058  df-ltp 10060  df-enr 10130  df-nr 10131  df-plr 10132  df-ltr 10134  df-m1r 10137
This theorem is referenced by:  map2psrpr  10184  supsrlem  10185
  Copyright terms: Public domain W3C validator