Theorem mappsrpr 11066

Description: Mapping from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
mappsrpr.2	⊢ 𝐶 ∈ R

Assertion

Ref	Expression
mappsrpr	⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Proof of Theorem mappsrpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-m1r 11020	. . . 4 ⊢ -1R = [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R
2	1	breq1i 5107	. . 3 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ [⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )
3		ltsrpr 11035	. . 3 ⊢ ([⟨1P, (1P +P 1P)⟩] ~R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
4	2, 3	bitri 277	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
5		mappsrpr.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ R
6		ltasr 11058	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ R → (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R )))
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ (-1R <R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ↔ (𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ))
8		ltrelpr 10956	. . . . 5 ⊢ <P ⊆ (P × P)
9	8	brel 5712	. . . 4 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ ((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P))
10		dmplp 10970	. . . . . 6 ⊢ dom +P = (P × P)
11		0npr 10950	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
12	10, 11	ndmovrcl 7582	. . . . 5 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → ((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
13	12	simprd 499	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) +P 𝐴) ∈ P → 𝐴 ∈ P)
14	9, 13	simpl2im 511	. . 3 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) → 𝐴 ∈ P)
15		1pr 10973	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
16		addclpr 10976	. . . . 5 ⊢ ((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (1P +P 1P) ∈ P)
17	15, 15, 16	mp2an 702	. . . 4 ⊢ (1P +P 1P) ∈ P
18		ltaddpr 10992	. . . 4 ⊢ (((1P +P 1P) ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
19	17, 18	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → (1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴))
20	14, 19	impbii 211	. 2 ⊢ ((1P +P 1P)<P ((1P +P 1P) +P 𝐴) ↔ 𝐴 ∈ P)
21	4, 7, 20	3bitr3i 303	1 ⊢ ((𝐶 +R -1R) <R (𝐶 +R [⟨𝐴, 1P⟩] ~R ) ↔ 𝐴 ∈ P)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  [cec 8676  Pcnp 10817  1_Pc1p 10818   +_P cpp 10819  <_P cltp 10821   ~_R cer 10822  Rcnr 10823  -1_Rcm1r 10826   +_R cplr 10827   <_R cltr 10829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-ni 10830  df-pli 10831  df-mi 10832  df-lti 10833  df-plpq 10866  df-mpq 10867  df-ltpq 10868  df-enq 10869  df-nq 10870  df-erq 10871  df-plq 10872  df-mq 10873  df-1nq 10874  df-rq 10875  df-ltnq 10876  df-np 10939  df-1p 10940  df-plp 10941  df-ltp 10943  df-enr 11013  df-nr 11014  df-plr 11015  df-ltr 11017  df-m1r 11020

This theorem is referenced by:  map2psrpr  11068  supsrlem  11069