Theorem recclnq 10951

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidnq 10950	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) = 1Q)
2		1nq 10913	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
3	1, 2	eqeltrdi 2877	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) ∈ Q)
4		mulnqf 10934	. . . . 5 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
5	4	fdmi 6718	. . . 4 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
6		0nnq 10909	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
7	5, 6	ndmovrcl 7597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐴) ∈ Q))
8	3, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐴) ∈ Q))
9	8	simprd 500	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   × cxp 5660  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Qcnq 10837  1_Qc1q 10838   ·_Q cmq 10841  *_Qcrq 10842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-ni 10857  df-mi 10859  df-lti 10860  df-mpq 10894  df-enq 10896  df-nq 10897  df-erq 10898  df-mq 10900  df-1nq 10901  df-rq 10902

This theorem is referenced by:  recrecnq  10952  dmrecnq  10953  halfnq  10961  ltrnq  10964  mulclprlem  11004  prlem934  11018  prlem936  11032  reclem2pr  11033  reclem3pr  11034  reclem4pr  11035