Theorem recclnq 10723

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidnq 10722	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) = 1Q)
2		1nq 10685	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
3	1, 2	eqeltrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) ∈ Q)
4		mulnqf 10706	. . . . 5 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
5	4	fdmi 6610	. . . 4 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
6		0nnq 10681	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
7	5, 6	ndmovrcl 7452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐴) ∈ Q))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐴) ∈ Q))
9	8	simprd 496	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110   × cxp 5588  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Qcnq 10609  1_Qc1q 10610   ·_Q cmq 10613  *_Qcrq 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-ni 10629  df-mi 10631  df-lti 10632  df-mpq 10666  df-enq 10668  df-nq 10669  df-erq 10670  df-mq 10672  df-1nq 10673  df-rq 10674

This theorem is referenced by:  recrecnq  10724  dmrecnq  10725  halfnq  10733  ltrnq  10736  mulclprlem  10776  prlem934  10790  prlem936  10804  reclem2pr  10805  reclem3pr  10806  reclem4pr  10807