Theorem recclnq 10875

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Proof of Theorem recclnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidnq 10874	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) = 1Q)
2		1nq 10837	. . . 4 ⊢ 1Q ∈ Q
3	1, 2	eqeltrdi 2842	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) ∈ Q)
4		mulnqf 10858	. . . . 5 ⊢ ·Q :(Q × Q)⟶Q
5	4	fdmi 6671	. . . 4 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
6		0nnq 10833	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
7	5, 6	ndmovrcl 7542	. . 3 ⊢ ((𝐴 ·Q (*Q‘𝐴)) ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐴) ∈ Q))
8	3, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ (*Q‘𝐴) ∈ Q))
9	8	simprd 495	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (*Q‘𝐴) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   × cxp 5620  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Qcnq 10761  1_Qc1q 10762   ·_Q cmq 10765  *_Qcrq 10766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ni 10781  df-mi 10783  df-lti 10784  df-mpq 10818  df-enq 10820  df-nq 10821  df-erq 10822  df-mq 10824  df-1nq 10825  df-rq 10826

This theorem is referenced by:  recrecnq  10876  dmrecnq  10877  halfnq  10885  ltrnq  10888  mulclprlem  10928  prlem934  10942  prlem936  10956  reclem2pr  10957  reclem3pr  10958  reclem4pr  10959