Theorem addcanpr 11061

Description: Addition cancellation law for positive reals. Proposition 9-3.5(vi) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 9-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
addcanpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addclpr 11033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐵) ∈ P)
2		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ↔ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P))
3		dmplp 11027	. . . . . 6 ⊢ dom +P = (P × P)
4		0npr 11007	. . . . . 6 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
5	3, 4	ndmovrcl 7601	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +P 𝐶) ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P))
6	2, 5	biimtrdi 252	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P)))
7	1, 6	syl5com 31	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P)))
8		ltapr 11060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵<P 𝐶 ↔ (𝐴 +P 𝐵)<P (𝐴 +P 𝐶)))
9		ltapr 11060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐶<P 𝐵 ↔ (𝐴 +P 𝐶)<P (𝐴 +P 𝐵)))
10	8, 9	orbi12d 917	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ P → ((𝐵<P 𝐶 ∨ 𝐶<P 𝐵) ↔ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐴 +P 𝐶) ∨ (𝐴 +P 𝐶)<P (𝐴 +P 𝐵))))
11	10	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ P → (¬ (𝐵<P 𝐶 ∨ 𝐶<P 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐴 +P 𝐶) ∨ (𝐴 +P 𝐶)<P (𝐴 +P 𝐵))))
12	11	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P)) → (¬ (𝐵<P 𝐶 ∨ 𝐶<P 𝐵) ↔ ¬ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐴 +P 𝐶) ∨ (𝐴 +P 𝐶)<P (𝐴 +P 𝐵))))
13		ltsopr 11047	. . . . . . 7 ⊢ <P Or P
14		sotrieq 5613	. . . . . . 7 ⊢ ((<P Or P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵<P 𝐶 ∨ 𝐶<P 𝐵)))
15	13, 14	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵<P 𝐶 ∨ 𝐶<P 𝐵)))
16	15	ad2ant2l 745	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ ¬ (𝐵<P 𝐶 ∨ 𝐶<P 𝐵)))
17		addclpr 11033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)
18		sotrieq 5613	. . . . . . 7 ⊢ ((<P Or P ∧ ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐴 +P 𝐶) ∨ (𝐴 +P 𝐶)<P (𝐴 +P 𝐵))))
19	13, 18	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ∧ (𝐴 +P 𝐶) ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐴 +P 𝐶) ∨ (𝐴 +P 𝐶)<P (𝐴 +P 𝐵))))
20	1, 17, 19	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P)) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) ↔ ¬ ((𝐴 +P 𝐵)<P (𝐴 +P 𝐶) ∨ (𝐴 +P 𝐶)<P (𝐴 +P 𝐵))))
21	12, 16, 20	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P)) → (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶)))
22	21	exbiri 810	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
23	7, 22	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → 𝐵 = 𝐶)))
24	23	pm2.43d 53	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝐴 +P 𝐵) = (𝐴 +P 𝐶) → 𝐵 = 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142   Or wor 5583  (class class class)co 7414  Pcnp 10874   +_P cpp 10876  <_P cltp 10878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ni 10887  df-pli 10888  df-mi 10889  df-lti 10890  df-plpq 10923  df-mpq 10924  df-ltpq 10925  df-enq 10926  df-nq 10927  df-erq 10928  df-plq 10929  df-mq 10930  df-1nq 10931  df-rq 10932  df-ltnq 10933  df-np 10996  df-plp 10998  df-ltp 11000

This theorem is referenced by:  enrer  11078  mulcmpblnr  11086  mulgt0sr  11120