Theorem ltaddpr2 10649

Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpr2	⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Proof of Theorem ltaddpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ↔ 𝐶 ∈ P))
2		dmplp 10626	. . . 4 ⊢ dom +P = (P × P)
3		0npr 10606	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
4	2, 3	ndmovrcl 7394	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
5	1, 4	syl6bir 257	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐶 ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)))
6		ltaddpr 10648	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐵))
7		breq2 5057	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐵) ↔ 𝐴<P 𝐶))
8	6, 7	syl5ib 247	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P 𝐶))
9	5, 8	syldc 48	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  Pcnp 10473   +_P cpp 10475  <_P cltp 10477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-ni 10486  df-pli 10487  df-mi 10488  df-lti 10489  df-plpq 10522  df-mpq 10523  df-ltpq 10524  df-enq 10525  df-nq 10526  df-erq 10527  df-plq 10528  df-mq 10529  df-1nq 10530  df-rq 10531  df-ltnq 10532  df-np 10595  df-plp 10597  df-ltp 10599

This theorem is referenced by:  mulgt0sr  10719