Theorem ltaddpr2 10929

Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpr2	⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Proof of Theorem ltaddpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2816	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ↔ 𝐶 ∈ P))
2		dmplp 10906	. . . 4 ⊢ dom +P = (P × P)
3		0npr 10886	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
4	2, 3	ndmovrcl 7535	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
5	1, 4	biimtrrdi 254	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐶 ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)))
6		ltaddpr 10928	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐵))
7		breq2 5096	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐵) ↔ 𝐴<P 𝐶))
8	6, 7	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P 𝐶))
9	5, 8	syldc 48	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  Pcnp 10753   +_P cpp 10755  <_P cltp 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-ni 10766  df-pli 10767  df-mi 10768  df-lti 10769  df-plpq 10802  df-mpq 10803  df-ltpq 10804  df-enq 10805  df-nq 10806  df-erq 10807  df-plq 10808  df-mq 10809  df-1nq 10810  df-rq 10811  df-ltnq 10812  df-np 10875  df-plp 10877  df-ltp 10879

This theorem is referenced by:  mulgt0sr  10999