Theorem ltaddpr2 10944

Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpr2	⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Proof of Theorem ltaddpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ↔ 𝐶 ∈ P))
2		dmplp 10921	. . . 4 ⊢ dom +P = (P × P)
3		0npr 10901	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
4	2, 3	ndmovrcl 7542	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
5	1, 4	biimtrrdi 254	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐶 ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)))
6		ltaddpr 10943	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐵))
7		breq2 5100	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐵) ↔ 𝐴<P 𝐶))
8	6, 7	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P 𝐶))
9	5, 8	syldc 48	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  Pcnp 10768   +_P cpp 10770  <_P cltp 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-ni 10781  df-pli 10782  df-mi 10783  df-lti 10784  df-plpq 10817  df-mpq 10818  df-ltpq 10819  df-enq 10820  df-nq 10821  df-erq 10822  df-plq 10823  df-mq 10824  df-1nq 10825  df-rq 10826  df-ltnq 10827  df-np 10890  df-plp 10892  df-ltp 10894

This theorem is referenced by:  mulgt0sr  11014