Theorem ltaddpr2 10964

Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpr2	⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Proof of Theorem ltaddpr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2816	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P ↔ 𝐶 ∈ P))
2		dmplp 10941	. . . 4 ⊢ dom +P = (P × P)
3		0npr 10921	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ P
4	2, 3	ndmovrcl 7555	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
5	1, 4	biimtrrdi 254	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐶 ∈ P → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)))
6		ltaddpr 10963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P (𝐴 +P 𝐵))
7		breq2 5106	. . 3 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → (𝐴<P (𝐴 +P 𝐵) ↔ 𝐴<P 𝐶))
8	6, 7	imbitrid 244	. 2 ⊢ ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → 𝐴<P 𝐶))
9	5, 8	syldc 48	1 ⊢ (𝐶 ∈ P → ((𝐴 +P 𝐵) = 𝐶 → 𝐴<P 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  Pcnp 10788   +_P cpp 10790  <_P cltp 10792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-ni 10801  df-pli 10802  df-mi 10803  df-lti 10804  df-plpq 10837  df-mpq 10838  df-ltpq 10839  df-enq 10840  df-nq 10841  df-erq 10842  df-plq 10843  df-mq 10844  df-1nq 10845  df-rq 10846  df-ltnq 10847  df-np 10910  df-plp 10912  df-ltp 10914

This theorem is referenced by:  mulgt0sr  11034