MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsmallnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsmallnq 10392
Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nsmallnq (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq
StepHypRef Expression
1 halfnq 10391 . 2 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2 eleq1a 2888 . . . . 5 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3 addnqf 10363 . . . . . . . 8 +Q :(Q × Q)⟶Q
43fdmi 6502 . . . . . . 7 dom +Q = (Q × Q)
5 0nnq 10339 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ Q
64, 5ndmovrcl 7318 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥Q𝑥Q))
7 ltaddnq 10389 . . . . . 6 ((𝑥Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
92, 8syl6 35 . . . 4 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10 breq2 5037 . . . 4 ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
119, 10mpbidi 244 . . 3 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q 𝐴))
1211eximdv 1918 . 2 (𝐴Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
131, 12mpd 15 1 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112   class class class wbr 5033   × cxp 5521  (class class class)co 7139  Qcnq 10267   +Q cplq 10270   <Q cltq 10273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ni 10287  df-pli 10288  df-mi 10289  df-lti 10290  df-plpq 10323  df-mpq 10324  df-ltpq 10325  df-enq 10326  df-nq 10327  df-erq 10328  df-plq 10329  df-mq 10330  df-1nq 10331  df-rq 10332  df-ltnq 10333
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  10393  nqpr  10429  reclem2pr  10463
  Copyright terms: Public domain W3C validator