Theorem nsmallnq 10928

Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnq 10927	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		eleq1a 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3		addnqf 10899	. . . . . . . 8 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
4	3	fdmi 6697	. . . . . . 7 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
5		0nnq 10875	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
6	4, 5	ndmovrcl 7576	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
7		ltaddnq 10925	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
9	2, 8	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10		breq2 5101	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
11	9, 10	mpbidi 243	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
12	11	eximdv 1936	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
13	1, 12	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097   × cxp 5641  (class class class)co 7390  Qcnq 10803   +_Q cplq 10806   <_Q cltq 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-ni 10823  df-pli 10824  df-mi 10825  df-lti 10826  df-plpq 10859  df-mpq 10860  df-ltpq 10861  df-enq 10862  df-nq 10863  df-erq 10864  df-plq 10865  df-mq 10866  df-1nq 10867  df-rq 10868  df-ltnq 10869

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  10929  nqpr  10965  reclem2pr  10999