Theorem nsmallnq 11063

Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnq 11062	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		eleq1a 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3		addnqf 11034	. . . . . . . 8 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
4	3	fdmi 6722	. . . . . . 7 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
5		0nnq 11010	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
6	4, 5	ndmovrcl 7608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
7		ltaddnq 11060	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
9	2, 8	syl6 36	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10		breq2 5107	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
11	9, 10	mpbidi 244	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
12	11	eximdv 1950	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
13	1, 12	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   × cxp 5649  (class class class)co 7421  Qcnq 10938   +_Q cplq 10941   <_Q cltq 10944

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-ni 10958  df-pli 10959  df-mi 10960  df-lti 10961  df-plpq 10994  df-mpq 10995  df-ltpq 10996  df-enq 10997  df-nq 10998  df-erq 10999  df-plq 11000  df-mq 11001  df-1nq 11002  df-rq 11003  df-ltnq 11004

This theorem is used by:  ltbtwnnq  11064  nqpr  11100  reclem2pr  11134