Theorem nsmallnq 10969

Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nsmallnq	⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnq 10968	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2		eleq1a 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3		addnqf 10940	. . . . . . . 8 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
4	3	fdmi 6727	. . . . . . 7 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
5		0nnq 10916	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
6	4, 5	ndmovrcl 7590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
7		ltaddnq 10966	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
9	2, 8	syl6 35	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10		breq2 5152	. . . 4 ⊢ ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
11	9, 10	mpbidi 240	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → 𝑥 <Q 𝐴))
12	11	eximdv 1921	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
13	1, 12	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148   × cxp 5674  (class class class)co 7406  Qcnq 10844   +_Q cplq 10847   <_Q cltq 10850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-ni 10864  df-pli 10865  df-mi 10866  df-lti 10867  df-plpq 10900  df-mpq 10901  df-ltpq 10902  df-enq 10903  df-nq 10904  df-erq 10905  df-plq 10906  df-mq 10907  df-1nq 10908  df-rq 10909  df-ltnq 10910

This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  10970  nqpr  11006  reclem2pr  11040