MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsmallnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsmallnq 10974
Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nsmallnq (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq
StepHypRef Expression
1 halfnq 10973 . 2 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2 eleq1a 2822 . . . . 5 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3 addnqf 10945 . . . . . . . 8 +Q :(Q × Q)⟶Q
43fdmi 6723 . . . . . . 7 dom +Q = (Q × Q)
5 0nnq 10921 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ Q
64, 5ndmovrcl 7590 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥Q𝑥Q))
7 ltaddnq 10971 . . . . . 6 ((𝑥Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
92, 8syl6 35 . . . 4 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10 breq2 5145 . . . 4 ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
119, 10mpbidi 240 . . 3 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q 𝐴))
1211eximdv 1912 . 2 (𝐴Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
131, 12mpd 15 1 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098   class class class wbr 5141   × cxp 5667  (class class class)co 7405  Qcnq 10849   +Q cplq 10852   <Q cltq 10855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  10975  nqpr  11011  reclem2pr  11045
  Copyright terms: Public domain W3C validator