MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsmallnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsmallnq 10920
Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nsmallnq (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq
StepHypRef Expression
1 halfnq 10919 . 2 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2 eleq1a 2833 . . . . 5 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3 addnqf 10891 . . . . . . . 8 +Q :(Q × Q)⟶Q
43fdmi 6685 . . . . . . 7 dom +Q = (Q × Q)
5 0nnq 10867 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ Q
64, 5ndmovrcl 7545 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥Q𝑥Q))
7 ltaddnq 10917 . . . . . 6 ((𝑥Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
92, 8syl6 35 . . . 4 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10 breq2 5114 . . . 4 ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
119, 10mpbidi 240 . . 3 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q 𝐴))
1211eximdv 1921 . 2 (𝐴Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
131, 12mpd 15 1 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107   class class class wbr 5110   × cxp 5636  (class class class)co 7362  Qcnq 10795   +Q cplq 10798   <Q cltq 10801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  10921  nqpr  10957  reclem2pr  10991
  Copyright terms: Public domain W3C validator