MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsmallnq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsmallnq 10387
Description: The is no smallest positive fraction. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nsmallnq (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nsmallnq
StepHypRef Expression
1 halfnq 10386 . 2 (𝐴Q → ∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴)
2 eleq1a 2905 . . . . 5 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q))
3 addnqf 10358 . . . . . . . 8 +Q :(Q × Q)⟶Q
43fdmi 6517 . . . . . . 7 dom +Q = (Q × Q)
5 0nnq 10334 . . . . . . 7 ¬ ∅ ∈ Q
64, 5ndmovrcl 7323 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑥Q𝑥Q))
7 ltaddnq 10384 . . . . . 6 ((𝑥Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((𝑥 +Q 𝑥) ∈ Q𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥))
92, 8syl6 35 . . . 4 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥)))
10 breq2 5061 . . . 4 ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → (𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑥) ↔ 𝑥 <Q 𝐴))
119, 10mpbidi 242 . . 3 (𝐴Q → ((𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴𝑥 <Q 𝐴))
1211eximdv 1909 . 2 (𝐴Q → (∃𝑥(𝑥 +Q 𝑥) = 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴))
131, 12mpd 15 1 (𝐴Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105   class class class wbr 5057   × cxp 5546  (class class class)co 7145  Qcnq 10262   +Q cplq 10265   <Q cltq 10268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-rq 10327  df-ltnq 10328
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  10388  nqpr  10424  reclem2pr  10458
  Copyright terms: Public domain W3C validator