Theorem ltexprlem2 11033

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem2	⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊊ Q)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	eqabri 2907	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3		elprnq 10987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
4		addnqf 10944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
5	4	fdmi 6721	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
6		0nnq 10920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
7	5, 6	ndmovrcl 7602	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
8	3, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
9		ltaddnq 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
10	9	ancoms 464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
11		addcomnq 10947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
12	10, 11	breqtrdi 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		prcdnq 10989	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵))
14	12, 13	syl5 35	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 ∈ 𝐵))
15	8, 14	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵))
17	16	adantld 496	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
18	17	exlimdv 1966	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	2, 18	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	ssrdv 3944	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊆ 𝐵)
21		prpssnq 10986	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ⊊ Q)
22	20, 21	sspsstrd 4067	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊊ Q)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ⊊ wpss 3907   class class class wbr 5111   × cxp 5661  (class class class)co 7416  Qcnq 10848   +_Q cplq 10851   <_Q cltq 10854  Pcnp 10855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ni 10868  df-pli 10869  df-mi 10870  df-lti 10871  df-plpq 10904  df-mpq 10905  df-ltpq 10906  df-enq 10907  df-nq 10908  df-erq 10909  df-plq 10910  df-mq 10911  df-1nq 10912  df-ltnq 10914  df-np 10977

This theorem is used by:  ltexprlem5  11036