MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem2 11075
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem2 (𝐵P𝐶Q)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem2
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21eqabri 2883 . . . 4 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3 elprnq 11029 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
4 addnqf 10986 . . . . . . . . . . 11 +Q :(Q × Q)⟶Q
54fdmi 6748 . . . . . . . . . 10 dom +Q = (Q × Q)
6 0nnq 10962 . . . . . . . . . 10 ¬ ∅ ∈ Q
75, 6ndmovrcl 7619 . . . . . . . . 9 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
83, 7syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦Q𝑥Q))
9 ltaddnq 11012 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥Q𝑦Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
109ancoms 458 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
11 addcomnq 10989 . . . . . . . . . 10 (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
1210, 11breqtrdi 5189 . . . . . . . . 9 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13 prcdnq 11031 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥) → 𝑥𝐵))
1412, 13syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑥𝐵))
158, 14mpd 15 . . . . . . 7 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵)
1615ex 412 . . . . . 6 (𝐵P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵𝑥𝐵))
1716adantld 490 . . . . 5 (𝐵P → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵))
1817exlimdv 1931 . . . 4 (𝐵P → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥𝐵))
192, 18biimtrid 242 . . 3 (𝐵P → (𝑥𝐶𝑥𝐵))
2019ssrdv 4001 . 2 (𝐵P𝐶𝐵)
21 prpssnq 11028 . 2 (𝐵P𝐵Q)
2220, 21sspsstrd 4121 1 (𝐵P𝐶Q)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {cab 2712  wpss 3964   class class class wbr 5148   × cxp 5687  (class class class)co 7431  Qcnq 10890   +Q cplq 10893   <Q cltq 10896  Pcnp 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-ltnq 10956  df-np 11019
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11078
  Copyright terms: Public domain W3C validator