Theorem ltexprlem2 11036

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem2	⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊊ Q)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	eqabri 2876	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3		elprnq 10990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
4		addnqf 10947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
5	4	fdmi 6729	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
6		0nnq 10923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
7	5, 6	ndmovrcl 7597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
8	3, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
9		ltaddnq 10973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
10	9	ancoms 458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑥 +Q 𝑦))
11		addcomnq 10950	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑥)
12	10, 11	breqtrdi 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		prcdnq 10992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑥 <Q (𝑦 +Q 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵))
14	12, 13	syl5 34	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑥 ∈ 𝐵))
15	8, 14	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
16	15	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝐵))
17	16	adantld 490	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
18	17	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵))
19	2, 18	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐵))
20	19	ssrdv 3988	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊆ 𝐵)
21		prpssnq 10989	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐵 ⊊ Q)
22	20, 21	sspsstrd 4108	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → 𝐶 ⊊ Q)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  {cab 2708   ⊊ wpss 3949   class class class wbr 5148   × cxp 5674  (class class class)co 7412  Qcnq 10851   +_Q cplq 10854   <_Q cltq 10857  Pcnp 10858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-ni 10871  df-pli 10872  df-mi 10873  df-lti 10874  df-plpq 10907  df-mpq 10908  df-ltpq 10909  df-enq 10910  df-nq 10911  df-erq 10912  df-plq 10913  df-mq 10914  df-1nq 10915  df-ltnq 10917  df-np 10980

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11039