MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem6 10158
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem6
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21ltexprlem5 10157 . . . . 5 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
3 df-plp 10100 . . . . . 6 +P = (𝑧P, 𝑦P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔𝑧𝑦 𝑓 = (𝑔 +Q )})
4 addclnq 10062 . . . . . 6 ((𝑔QQ) → (𝑔 +Q ) ∈ Q)
53, 4genpelv 10117 . . . . 5 ((𝐴P𝐶P) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
62, 5sylan2 582 . . . 4 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
71abeq2i 2930 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
8 elprnq 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
9 addnqf 10065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 +Q :(Q × Q)⟶Q
109fdmi 6276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom +Q = (Q × Q)
11 0nnq 10041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ¬ ∅ ∈ Q
1210, 11ndmovrcl 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
1312simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑦Q)
148, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑦Q)
15 prub 10111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝑦Q) → (¬ 𝑦𝐴𝑤 <Q 𝑦))
1614, 15sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴𝑤 <Q 𝑦))
1712simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑥Q)
18 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
19 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ V
20 ltanq 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢Q → (𝑧 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 +Q 𝑧) <Q (𝑢 +Q 𝑣)))
21 vex 3405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
22 addcomnq 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 +Q 𝑣) = (𝑣 +Q 𝑧)
2318, 19, 20, 21, 22caovord2 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥Q → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
248, 17, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
25 prcdnq 10110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2624, 25sylbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2726adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2816, 27syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2928exp32 409 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P𝑤𝐴) → (𝐵P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑦𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3029com34 91 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝑤𝐴) → (𝐵P → (¬ 𝑦𝐴 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3130imp4b 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝐵P) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3231exlimdv 2024 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝐵P) → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
337, 32syl5bi 233 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝐵P) → (𝑥𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3433exp31 408 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝑤𝐴 → (𝐵P → (𝑥𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3534com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐴P → (𝐵P → (𝑤𝐴 → (𝑥𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3635imp43 416 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑤𝐴𝑥𝐶)) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
37 eleq1 2884 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → (𝑧𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3837biimparc 467 . . . . . . . 8 (((𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧𝐵)
3936, 38sylan 571 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑤𝐴𝑥𝐶)) ∧ 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧𝐵)
4039exp31 408 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑤𝐴𝑥𝐶) → (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧𝐵)))
4140rexlimdvv 3236 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧𝐵))
4241adantrr 699 . . . 4 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧𝐵))
436, 42sylbid 231 . . 3 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) → 𝑧𝐵))
4443ssrdv 3815 . 2 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
4544anassrs 455 1 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  {cab 2803  wrex 3108  wss 3780  wpss 3781   class class class wbr 4855   × cxp 5322  (class class class)co 6884  Qcnq 9969   +Q cplq 9972   <Q cltq 9975  Pcnp 9976   +P cpp 9978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-oadd 7810  df-omul 7811  df-er 7989  df-ni 9989  df-pli 9990  df-mi 9991  df-lti 9992  df-plpq 10025  df-mpq 10026  df-ltpq 10027  df-enq 10028  df-nq 10029  df-erq 10030  df-plq 10031  df-mq 10032  df-1nq 10033  df-ltnq 10035  df-np 10098  df-plp 10100
This theorem is referenced by:  ltexpri  10160
  Copyright terms: Public domain W3C validator