MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltexprlem6 10655
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem6 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem6
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
21ltexprlem5 10654 . . . . 5 ((𝐵P𝐴𝐵) → 𝐶P)
3 df-plp 10597 . . . . . 6 +P = (𝑧P, 𝑦P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔𝑧𝑦 𝑓 = (𝑔 +Q )})
4 addclnq 10559 . . . . . 6 ((𝑔QQ) → (𝑔 +Q ) ∈ Q)
53, 4genpelv 10614 . . . . 5 ((𝐴P𝐶P) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
62, 5sylan2 596 . . . 4 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
71abeq2i 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
8 elprnq 10605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
9 addnqf 10562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 +Q :(Q × Q)⟶Q
109fdmi 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom +Q = (Q × Q)
11 0nnq 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ¬ ∅ ∈ Q
1210, 11ndmovrcl 7394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
1312simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑦Q)
148, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑦Q)
15 prub 10608 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝑦Q) → (¬ 𝑦𝐴𝑤 <Q 𝑦))
1614, 15sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴𝑤 <Q 𝑦))
1712simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑥Q)
18 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑤 ∈ V
19 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ V
20 ltanq 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢Q → (𝑧 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 +Q 𝑧) <Q (𝑢 +Q 𝑣)))
21 vex 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ∈ V
22 addcomnq 10565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 +Q 𝑣) = (𝑣 +Q 𝑧)
2318, 19, 20, 21, 22caovord2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥Q → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
248, 17, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
25 prcdnq 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2624, 25sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2726adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2816, 27syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
2928exp32 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P𝑤𝐴) → (𝐵P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑦𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3029com34 91 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝑤𝐴) → (𝐵P → (¬ 𝑦𝐴 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3130imp4b 425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝐵P) → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3231exlimdv 1941 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝐵P) → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
337, 32syl5bi 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑤𝐴) ∧ 𝐵P) → (𝑥𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3433exp31 423 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝑤𝐴 → (𝐵P → (𝑥𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3534com23 86 . . . . . . . . 9 (𝐴P → (𝐵P → (𝑤𝐴 → (𝑥𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
3635imp43 431 . . . . . . . 8 (((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑤𝐴𝑥𝐶)) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
37 eleq1 2825 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → (𝑧𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
3837biimparc 483 . . . . . . . 8 (((𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧𝐵)
3936, 38sylan 583 . . . . . . 7 ((((𝐴P𝐵P) ∧ (𝑤𝐴𝑥𝐶)) ∧ 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧𝐵)
4039exp31 423 . . . . . 6 ((𝐴P𝐵P) → ((𝑤𝐴𝑥𝐶) → (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧𝐵)))
4140rexlimdvv 3212 . . . . 5 ((𝐴P𝐵P) → (∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧𝐵))
4241adantrr 717 . . . 4 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (∃𝑤𝐴𝑥𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧𝐵))
436, 42sylbid 243 . . 3 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) → 𝑧𝐵))
4443ssrdv 3907 . 2 ((𝐴P ∧ (𝐵P𝐴𝐵)) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
4544anassrs 471 1 (((𝐴P𝐵P) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2110  {cab 2714  wrex 3062  wss 3866  wpss 3867   class class class wbr 5053   × cxp 5549  (class class class)co 7213  Qcnq 10466   +Q cplq 10469   <Q cltq 10472  Pcnp 10473   +P cpp 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-ni 10486  df-pli 10487  df-mi 10488  df-lti 10489  df-plpq 10522  df-mpq 10523  df-ltpq 10524  df-enq 10525  df-nq 10526  df-erq 10527  df-plq 10528  df-mq 10529  df-1nq 10530  df-ltnq 10532  df-np 10595  df-plp 10597
This theorem is referenced by:  ltexpri  10657
  Copyright terms: Public domain W3C validator