Theorem ltexprlem6 10994

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem6	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem6

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	ltexprlem5 10993	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐶 ∈ P)
3		df-plp 10936	. . . . . 6 ⊢ +P = (𝑧 ∈ P, 𝑦 ∈ P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑧 ∃ℎ ∈ 𝑦 𝑓 = (𝑔 +Q ℎ)})
4		addclnq 10898	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 +Q ℎ) ∈ Q)
5	3, 4	genpelv 10953	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
6	2, 5	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
7	1	eqabri 2871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
8		elprnq 10944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
9		addnqf 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
10	9	fdmi 6699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
11		0nnq 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
12	10, 11	ndmovrcl 7575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
13	12	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑦 ∈ Q)
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
15		prub 10947	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 <Q 𝑦))
16	14, 15	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 <Q 𝑦))
17	12	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
18		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑤 ∈ V
19		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		ltanq 10924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 +Q 𝑧) <Q (𝑢 +Q 𝑣)))
21		vex 3451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑥 ∈ V
22		addcomnq 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 +Q 𝑣) = (𝑣 +Q 𝑧)
23	18, 19, 20, 21, 22	caovord2 7601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
24	8, 17, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
25		prcdnq 10946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
26	24, 25	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
27	26	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
28	16, 27	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
29	28	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
30	29	com34 91	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ P → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
31	30	imp4b 421	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ P) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
32	31	exlimdv 1933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
33	7, 32	biimtrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
34	33	exp31 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
35	34	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
36	35	imp43 427	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
37		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
38	37	biimparc 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
39	36, 38	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40	39	exp31 419	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)))
41	40	rexlimdvv 3193	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵))
42	41	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵))
43	6, 42	sylbid 240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) → 𝑧 ∈ 𝐵))
44	43	ssrdv 3952	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
45	44	anassrs 467	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  {cab 2707  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915   class class class wbr 5107   × cxp 5636  (class class class)co 7387  Qcnq 10805   +_Q cplq 10808   <_Q cltq 10811  Pcnp 10812   +_P cpp 10814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-ni 10825  df-pli 10826  df-mi 10827  df-lti 10828  df-plpq 10861  df-mpq 10862  df-ltpq 10863  df-enq 10864  df-nq 10865  df-erq 10866  df-plq 10867  df-mq 10868  df-1nq 10869  df-ltnq 10871  df-np 10934  df-plp 10936

This theorem is referenced by:  ltexpri  10996