Theorem ltexprlem6 11025

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem6	⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem6

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
2	1	ltexprlem5 11024	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐶 ∈ P)
3		df-plp 10967	. . . . . 6 ⊢ +P = (𝑧 ∈ P, 𝑦 ∈ P ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑔 ∈ 𝑧 ∃ℎ ∈ 𝑦 𝑓 = (𝑔 +Q ℎ)})
4		addclnq 10929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 ∈ Q ∧ ℎ ∈ Q) → (𝑔 +Q ℎ) ∈ Q)
5	3, 4	genpelv 10984	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐶 ∈ P) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
6	2, 5	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) ↔ ∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)))
7	1	eqabri 2911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
8		elprnq 10975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
9		addnqf 10932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
10	9	fdmi 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
11		0nnq 10908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
12	10, 11	ndmovrcl 7597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
13	12	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑦 ∈ Q)
14	8, 13	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ Q)
15		prub 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ Q) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 <Q 𝑦))
16	14, 15	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑤 <Q 𝑦))
17	12	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → 𝑥 ∈ Q)
18		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑤 ∈ V
19		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑦 ∈ V
20		ltanq 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑢 ∈ Q → (𝑧 <Q 𝑣 ↔ (𝑢 +Q 𝑧) <Q (𝑢 +Q 𝑣)))
21		vex 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 𝑥 ∈ V
22		addcomnq 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 +Q 𝑣) = (𝑣 +Q 𝑧)
23	18, 19, 20, 21, 22	caovord2 7623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ Q → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
24	8, 17, 23	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥)))
25		prcdnq 10977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ((𝑤 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑥) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
26	24, 25	sylbid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
27	26	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (𝑤 <Q 𝑦 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
28	16, 27	syld 48	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
29	28	exp32 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ P → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
30	29	com34 92	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐵 ∈ P → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
31	30	imp4b 426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ P) → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
32	31	exlimdv 1960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
33	7, 32	biimtrid 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
34	33	exp31 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
35	34	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐵 ∈ P → (𝑤 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))))
36	35	imp43 432	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) → (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)
37		eleq1 2857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → (𝑧 ∈ 𝐵 ↔ (𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
38	37	biimparc 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑤 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
39	36, 38	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40	39	exp31 424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵)))
41	40	rexlimdvv 3227	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵))
42	41	adantrr 729	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (∃𝑤 ∈ 𝐴 ∃𝑥 ∈ 𝐶 𝑧 = (𝑤 +Q 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐵))
43	6, 42	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴 +P 𝐶) → 𝑧 ∈ 𝐵))
44	43	ssrdv 3951	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵)) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)
45	44	anassrs 472	1 ⊢ (((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → (𝐴 +P 𝐶) ⊆ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3913   ⊊ wpss 3914   class class class wbr 5113   × cxp 5660  (class class class)co 7411  Qcnq 10836   +_Q cplq 10839   <_Q cltq 10842  Pcnp 10843   +_P cpp 10845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-ni 10856  df-pli 10857  df-mi 10858  df-lti 10859  df-plpq 10892  df-mpq 10893  df-ltpq 10894  df-enq 10895  df-nq 10896  df-erq 10897  df-plq 10898  df-mq 10899  df-1nq 10900  df-ltnq 10902  df-np 10965  df-plp 10967

This theorem is referenced by:  ltexpri  11027