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Theorem ltexprlem4 10142
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 10098 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2 df-rex 3102 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
31, 2sylib 209 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4 ltrelnq 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 5368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑤Q))
65simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7 addnqf 10051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom +Q = (Q × Q)
9 0nnq 10027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ ∈ Q
108, 9ndmovrcl 7046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑥Q))
12 ltaddnq 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13 ltsonq 10072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q Or Q
1413, 4sotri 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1512, 14sylan 571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦Q𝑥Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1611, 15mpancom 671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤𝑦 <Q 𝑤)
174brel 5368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑤Q))
1817simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 <Q 𝑤𝑤Q)
19 ltexnq 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2019biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2118, 20mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23 eqcom 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2423exbii 1933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2522, 24sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
2625ancri 541 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
2726anim2i 605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28 an12 627 . . . . . . . . . . . 12 ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
2927, 28sylibr 225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30 19.41v 2040 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3129, 30sylibr 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3231eximi 1919 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33 excom 2209 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3432, 33sylibr 225 . . . . . . . 8 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35 ovex 6902 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36 eleq1 2873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37 breq2 4848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
3836, 37anbi12d 618 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
3935, 38ceqsexv 3436 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40 ltanq 10074 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
418, 4, 9, 40ndmovordi 7051 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
4241anim2i 605 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4339, 42sylbi 208 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4443eximi 1919 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
453, 34, 443syl 18 . . . . . . 7 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4645anim2i 605 . . . . . 6 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4746an12s 631 . . . . 5 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
48 19.42v 2044 . . . . 5 (∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4947, 48sylibr 225 . . . 4 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
5049ex 399 . . 3 (𝐵P → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
5150eximdv 2008 . 2 (𝐵P → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
52 ltexprlem.1 . . 3 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
5352abeq2i 2919 . 2 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54 vex 3394 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
55 oveq2 6878 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
5655eleq1d 2870 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
5756anbi2d 616 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5857exbidv 2012 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5954, 58, 52elab2 3549 . . . . . 6 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6059anbi1i 612 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61 19.41v 2040 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62 anass 456 . . . . . 6 (((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6362exbii 1933 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6460, 61, 633bitr2i 290 . . . 4 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6564exbii 1933 . . 3 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
66 excom 2209 . . 3 (∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6765, 66bitr4i 269 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6851, 53, 673imtr4g 287 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  {cab 2792  wrex 3097   class class class wbr 4844   × cxp 5309  (class class class)co 6870  Qcnq 9955   +Q cplq 9958   <Q cltq 9961  Pcnp 9962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-ni 9975  df-pli 9976  df-mi 9977  df-lti 9978  df-plpq 10011  df-mpq 10012  df-ltpq 10013  df-enq 10014  df-nq 10015  df-erq 10016  df-plq 10017  df-mq 10018  df-1nq 10019  df-ltnq 10021  df-np 10084
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10143
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