Theorem ltexprlem4 11080

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 11036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2		df-rex 3070	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
3	1, 2	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4		ltrelnq 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 5749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
6	5	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7		addnqf 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
12		ltaddnq 11015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		ltsonq 11010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ <Q Or Q
14	13, 4	sotri 6146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
15	12, 14	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
16	11, 15	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → 𝑦 <Q 𝑤)
17	4	brel 5749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
18	17	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → 𝑤 ∈ Q)
19		ltexnq 11016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
20	19	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
21	18, 20	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
24	23	exbii 1847	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
25	22, 24	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
26	25	ancri 549	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
27	26	anim2i 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28		an12 645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
29	27, 28	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30		19.41v 1948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
31	29, 30	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
32	31	eximi 1834	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33		excom 2161	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
34	32, 33	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35		ovex 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37		breq2 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
38	36, 37	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
39	35, 38	ceqsexv 3531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40		ltanq 11012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
41	8, 4, 9, 40	ndmovordi 7625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
42	41	anim2i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
43	39, 42	sylbi 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
44	43	eximi 1834	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
45	3, 34, 44	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
46	45	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
47	46	an12s 649	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
48		19.42v 1952	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
49	47, 48	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
51	50	eximdv 1916	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
52		ltexprlem.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
53	52	eqabri 2884	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54		vex 3483	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
55		oveq2 7440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
56	55	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
57	56	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
58	57	exbidv 1920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
59	54, 58, 52	elab2 3681	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
60	59	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61		19.41v 1948	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62		anass 468	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
63	62	exbii 1847	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
64	60, 61, 63	3bitr2i 299	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
65	64	exbii 1847	. . 3 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
66		excom 2161	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
67	65, 66	bitr4i 278	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
68	51, 53, 67	3imtr4g 296	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  {cab 2713  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142   × cxp 5682  (class class class)co 7432  Qcnq 10893   +_Q cplq 10896   <_Q cltq 10899  Pcnp 10900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-ni 10913  df-pli 10914  df-mi 10915  df-lti 10916  df-plpq 10949  df-mpq 10950  df-ltpq 10951  df-enq 10952  df-nq 10953  df-erq 10954  df-plq 10955  df-mq 10956  df-1nq 10957  df-ltnq 10959  df-np 11022

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11081