Theorem ltexprlem4 10806

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 10762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2		df-rex 3072	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
3	1, 2	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4		ltrelnq 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
6	5	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7		addnqf 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
12		ltaddnq 10741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		ltsonq 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ <Q Or Q
14	13, 4	sotri 6031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
15	12, 14	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
16	11, 15	mpancom 685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → 𝑦 <Q 𝑤)
17	4	brel 5653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
18	17	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → 𝑤 ∈ Q)
19		ltexnq 10742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
20	19	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
21	18, 20	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
24	23	exbii 1854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
25	22, 24	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
26	25	ancri 550	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
27	26	anim2i 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28		an12 642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
29	27, 28	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30		19.41v 1957	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
31	29, 30	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
32	31	eximi 1841	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33		excom 2166	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
34	32, 33	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35		ovex 7305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37		breq2 5083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
38	36, 37	anbi12d 631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
39	35, 38	ceqsexv 3478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40		ltanq 10738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
41	8, 4, 9, 40	ndmovordi 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
42	41	anim2i 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
43	39, 42	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
44	43	eximi 1841	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
45	3, 34, 44	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
46	45	anim2i 617	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
47	46	an12s 646	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
48		19.42v 1961	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
49	47, 48	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
50	49	ex 413	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
51	50	eximdv 1924	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
52		ltexprlem.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
53	52	abeq2i 2877	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54		vex 3435	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
55		oveq2 7280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
56	55	eleq1d 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
57	56	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
58	57	exbidv 1928	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
59	54, 58, 52	elab2 3615	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
60	59	anbi1i 624	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61		19.41v 1957	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62		anass 469	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
63	62	exbii 1854	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
64	60, 61, 63	3bitr2i 299	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
65	64	exbii 1854	. . 3 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
66		excom 2166	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
67	65, 66	bitr4i 277	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
68	51, 53, 67	3imtr4g 296	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110  {cab 2717  ∃wrex 3067   class class class wbr 5079   × cxp 5588  (class class class)co 7272  Qcnq 10619   +_Q cplq 10622   <_Q cltq 10625  Pcnp 10626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pr 5356  ax-un 7583

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-oadd 8293  df-omul 8294  df-er 8490  df-ni 10639  df-pli 10640  df-mi 10641  df-lti 10642  df-plpq 10675  df-mpq 10676  df-ltpq 10677  df-enq 10678  df-nq 10679  df-erq 10680  df-plq 10681  df-mq 10682  df-1nq 10683  df-ltnq 10685  df-np 10748

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10807