Theorem ltexprlem4 10142

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 10098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2		df-rex 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
3	1, 2	sylib 209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4		ltrelnq 10029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
6	5	simpld 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7		addnqf 10051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
12		ltaddnq 10077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		ltsonq 10072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ <Q Or Q
14	13, 4	sotri 5734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
15	12, 14	sylan 571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
16	11, 15	mpancom 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → 𝑦 <Q 𝑤)
17	4	brel 5368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
18	17	simprd 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → 𝑤 ∈ Q)
19		ltexnq 10078	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
20	19	biimpd 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
21	18, 20	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23		eqcom 2813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
24	23	exbii 1933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
25	22, 24	sylibr 225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
26	25	ancri 541	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
27	26	anim2i 605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28		an12 627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
29	27, 28	sylibr 225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30		19.41v 2040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
31	29, 30	sylibr 225	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
32	31	eximi 1919	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33		excom 2209	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
34	32, 33	sylibr 225	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35		ovex 6902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36		eleq1 2873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37		breq2 4848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
38	36, 37	anbi12d 618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
39	35, 38	ceqsexv 3436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40		ltanq 10074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
41	8, 4, 9, 40	ndmovordi 7051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
42	41	anim2i 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
43	39, 42	sylbi 208	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
44	43	eximi 1919	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
45	3, 34, 44	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
46	45	anim2i 605	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
47	46	an12s 631	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
48		19.42v 2044	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
49	47, 48	sylibr 225	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
50	49	ex 399	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
51	50	eximdv 2008	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
52		ltexprlem.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
53	52	abeq2i 2919	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54		vex 3394	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
55		oveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
56	55	eleq1d 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
57	56	anbi2d 616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
58	57	exbidv 2012	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
59	54, 58, 52	elab2 3549	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
60	59	anbi1i 612	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61		19.41v 2040	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62		anass 456	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
63	62	exbii 1933	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
64	60, 61, 63	3bitr2i 290	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
65	64	exbii 1933	. . 3 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
66		excom 2209	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
67	65, 66	bitr4i 269	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
68	51, 53, 67	3imtr4g 287	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1637  ∃wex 1859   ∈ wcel 2156  {cab 2792  ∃wrex 3097   class class class wbr 4844   × cxp 5309  (class class class)co 6870  Qcnq 9955   +_Q cplq 9958   <_Q cltq 9961  Pcnp 9962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-ni 9975  df-pli 9976  df-mi 9977  df-lti 9978  df-plpq 10011  df-mpq 10012  df-ltpq 10013  df-enq 10014  df-nq 10015  df-erq 10016  df-plq 10017  df-mq 10018  df-1nq 10019  df-ltnq 10021  df-np 10084

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10143