Theorem ltexprlem4 11034

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 10990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2		df-rex 3072	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
3	1, 2	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4		ltrelnq 10921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 5742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
6	5	simpld 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7		addnqf 10943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 10919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7593	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
11	6, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
12		ltaddnq 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		ltsonq 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ <Q Or Q
14	13, 4	sotri 6129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
15	12, 14	sylan 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
16	11, 15	mpancom 687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → 𝑦 <Q 𝑤)
17	4	brel 5742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
18	17	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → 𝑤 ∈ Q)
19		ltexnq 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
20	19	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
21	18, 20	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
22	16, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23		eqcom 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
24	23	exbii 1851	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
25	22, 24	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
26	25	ancri 551	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
27	26	anim2i 618	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28		an12 644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
29	27, 28	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30		19.41v 1954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
31	29, 30	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
32	31	eximi 1838	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33		excom 2163	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
34	32, 33	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35		ovex 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37		breq2 5153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
38	36, 37	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
39	35, 38	ceqsexv 3526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40		ltanq 10966	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
41	8, 4, 9, 40	ndmovordi 7598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
42	41	anim2i 618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
43	39, 42	sylbi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
44	43	eximi 1838	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
45	3, 34, 44	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
46	45	anim2i 618	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
47	46	an12s 648	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
48		19.42v 1958	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
49	47, 48	sylibr 233	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
50	49	ex 414	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
51	50	eximdv 1921	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
52		ltexprlem.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
53	52	eqabri 2878	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54		vex 3479	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
55		oveq2 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
56	55	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
57	56	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
58	57	exbidv 1925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
59	54, 58, 52	elab2 3673	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
60	59	anbi1i 625	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61		19.41v 1954	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62		anass 470	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
63	62	exbii 1851	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
64	60, 61, 63	3bitr2i 299	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
65	64	exbii 1851	. . 3 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
66		excom 2163	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
67	65, 66	bitr4i 278	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
68	51, 53, 67	3imtr4g 296	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∃wrex 3071   class class class wbr 5149   × cxp 5675  (class class class)co 7409  Qcnq 10847   +_Q cplq 10850   <_Q cltq 10853  Pcnp 10854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ni 10867  df-pli 10868  df-mi 10869  df-lti 10870  df-plpq 10903  df-mpq 10904  df-ltpq 10905  df-enq 10906  df-nq 10907  df-erq 10908  df-plq 10909  df-mq 10910  df-1nq 10911  df-ltnq 10913  df-np 10976

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11035