Theorem ltexprlem4 11163

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4	⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 11119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2		df-rex 3091	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
3	1, 2	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4		ltrelnq 11050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 5723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
6	5	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7		addnqf 11072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +Q :(Q × Q)⟶Q
8	7	fdmi 6751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
9		0nnq 11048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
10	8, 9	ndmovrcl 7639	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
11	6, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q))
12		ltaddnq 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13		ltsonq 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ <Q Or Q
14	13, 4	sotri 6139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
15	12, 14	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑥 ∈ Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
16	11, 15	mpancom 701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → 𝑦 <Q 𝑤)
17	4	brel 5723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦 ∈ Q ∧ 𝑤 ∈ Q))
18	17	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → 𝑤 ∈ Q)
19		ltexnq 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
20	19	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
21	18, 20	mpcom 39	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
22	16, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
24	23	exbii 1881	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
25	22, 24	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
26	25	ancri 559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
27	26	anim2i 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28		an12 658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
29	27, 28	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30		19.41v 1984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
32	31	eximi 1868	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33		excom 2202	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
34	32, 33	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑤(𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35		ovex 7484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36		eleq1 2852	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤 ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37		breq2 5112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
38	36, 37	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
39	35, 38	ceqsexv 3502	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40		ltanq 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
41	8, 4, 9, 40	ndmovordi 7644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
42	41	anim2i 629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
43	39, 42	sylbi 220	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
44	43	eximi 1868	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤 ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
45	3, 34, 44	3syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
46	45	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
47	46	an12s 662	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
48		19.42v 1988	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
49	47, 48	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
50	49	ex 418	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ P → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
51	50	eximdv 1952	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ P → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧))))
52		ltexprlem.1	. . 3 ⊢ 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
53	52	eqabri 2906	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54		vex 3458	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
55		oveq2 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
56	55	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
57	56	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
58	57	exbidv 1956	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
59	54, 58, 52	elab2 3639	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
60	59	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61		19.41v 1984	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62		anass 474	. . . . . 6 ⊢ (((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
63	62	exbii 1881	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦((¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
64	60, 61, 63	3bitr2i 302	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
65	64	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
66		excom 2202	. . 3 ⊢ (∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
67	65, 66	bitr4i 281	. 2 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦∃𝑧(¬ 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))
68	51, 53, 67	3imtr4g 299	1 ⊢ (𝐵 ∈ P → (𝑥 ∈ 𝐶 → ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 <Q 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  {cab 2741  ∃wrex 3090   class class class wbr 5108   × cxp 5656  (class class class)co 7451  Qcnq 10976   +_Q cplq 10979   <_Q cltq 10982  Pcnp 10983

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-ni 10996  df-pli 10997  df-mi 10998  df-lti 10999  df-plpq 11032  df-mpq 11033  df-ltpq 11034  df-enq 11035  df-nq 11036  df-erq 11037  df-plq 11038  df-mq 11039  df-1nq 11040  df-ltnq 11042  df-np 11105

This theorem is used by:  ltexprlem5  11164