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Theorem ltexprlem4 10982
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 10938 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2 df-rex 3075 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
31, 2sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4 ltrelnq 10869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑤Q))
65simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7 addnqf 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom +Q = (Q × Q)
9 0nnq 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ ∈ Q
108, 9ndmovrcl 7545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑥Q))
12 ltaddnq 10917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13 ltsonq 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q Or Q
1413, 4sotri 6086 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1512, 14sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦Q𝑥Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1611, 15mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤𝑦 <Q 𝑤)
174brel 5702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑤Q))
1817simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 <Q 𝑤𝑤Q)
19 ltexnq 10918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2019biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2118, 20mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2423exbii 1851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2522, 24sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
2625ancri 551 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
2726anim2i 618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28 an12 644 . . . . . . . . . . . 12 ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30 19.41v 1954 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3231eximi 1838 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33 excom 2163 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36 eleq1 2826 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37 breq2 5114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
3836, 37anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
3935, 38ceqsexv 3497 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40 ltanq 10914 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
418, 4, 9, 40ndmovordi 7550 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
4241anim2i 618 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4339, 42sylbi 216 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4443eximi 1838 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
453, 34, 443syl 18 . . . . . . 7 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4645anim2i 618 . . . . . 6 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4746an12s 648 . . . . 5 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
48 19.42v 1958 . . . . 5 (∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4947, 48sylibr 233 . . . 4 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
5049ex 414 . . 3 (𝐵P → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
5150eximdv 1921 . 2 (𝐵P → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
52 ltexprlem.1 . . 3 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
5352eqabi 2882 . 2 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54 vex 3452 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
55 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
5655eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
5756anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5857exbidv 1925 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5954, 58, 52elab2 3639 . . . . . 6 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6059anbi1i 625 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61 19.41v 1954 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62 anass 470 . . . . . 6 (((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6362exbii 1851 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6460, 61, 633bitr2i 299 . . . 4 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6564exbii 1851 . . 3 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
66 excom 2163 . . 3 (∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6765, 66bitr4i 278 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6851, 53, 673imtr4g 296 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2714  wrex 3074   class class class wbr 5110   × cxp 5636  (class class class)co 7362  Qcnq 10795   +Q cplq 10798   <Q cltq 10801  Pcnp 10802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-ltnq 10861  df-np 10924
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  10983
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