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Theorem ltexprlem4 11064
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑦)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 11020 . . . . . . . . 9 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)
2 df-rex 3060 . . . . . . . . 9 (∃𝑤𝐵 (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
31, 2sylib 217 . . . . . . . 8 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
4 ltrelnq 10951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q𝑤Q))
65simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q)
7 addnqf 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +Q :(Q × Q)⟶Q
87fdmi 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom +Q = (Q × Q)
9 0nnq 10949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ ∅ ∈ Q
108, 9ndmovrcl 7607 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ Q → (𝑦Q𝑥Q))
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑥Q))
12 ltaddnq 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑥Q) → 𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥))
13 ltsonq 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q Or Q
1413, 4sotri 6134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 <Q (𝑦 +Q 𝑥) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1512, 14sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦Q𝑥Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → 𝑦 <Q 𝑤)
1611, 15mpancom 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤𝑦 <Q 𝑤)
174brel 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 <Q 𝑤 → (𝑦Q𝑤Q))
1817simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 <Q 𝑤𝑤Q)
19 ltexnq 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2019biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤Q → (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤))
2118, 20mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
23 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2423exbii 1842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = 𝑤)
2522, 24sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → ∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧))
2625ancri 548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤))
2726anim2i 615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
28 an12 643 . . . . . . . . . . . 12 ((∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (𝑤𝐵 ∧ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
2927, 28sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
30 19.41v 1945 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ (∃𝑧 𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3231eximi 1829 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
33 excom 2151 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ∃𝑤𝑧(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . . 8 (∃𝑤(𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) → ∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)))
35 ovex 7452 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 +Q 𝑧) ∈ V
36 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → (𝑤𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
37 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
3836, 37anbi12d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) → ((𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧))))
3935, 38ceqsexv 3514 . . . . . . . . . 10 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) ↔ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
40 ltanq 10996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦Q → (𝑥 <Q 𝑧 ↔ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)))
418, 4, 9, 40ndmovordi 7612 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)
4241anim2i 615 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q (𝑦 +Q 𝑧)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4339, 42sylbi 216 . . . . . . . . 9 (∃𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4443eximi 1829 . . . . . . . 8 (∃𝑧𝑤(𝑤 = (𝑦 +Q 𝑧) ∧ (𝑤𝐵 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) <Q 𝑤)) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
453, 34, 443syl 18 . . . . . . 7 ((𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))
4645anim2i 615 . . . . . 6 ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝐵P ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4746an12s 647 . . . . 5 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
48 19.42v 1949 . . . . 5 (∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ∃𝑧((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
4947, 48sylibr 233 . . . 4 ((𝐵P ∧ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
5049ex 411 . . 3 (𝐵P → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
5150eximdv 1912 . 2 (𝐵P → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) → ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧))))
52 ltexprlem.1 . . 3 𝐶 = {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵)}
5352eqabri 2869 . 2 (𝑥𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵))
54 vex 3465 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
55 oveq2 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑧 → (𝑦 +Q 𝑥) = (𝑦 +Q 𝑧))
5655eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
5756anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5857exbidv 1916 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵)))
5954, 58, 52elab2 3668 . . . . . 6 (𝑧𝐶 ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵))
6059anbi1i 622 . . . . 5 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
61 19.41v 1945 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (∃𝑦𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧))
62 anass 467 . . . . . 6 (((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ (¬ 𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6362exbii 1842 . . . . 5 (∃𝑦((¬ 𝑦𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6460, 61, 633bitr2i 298 . . . 4 ((𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6564exbii 1842 . . 3 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
66 excom 2151 . . 3 (∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)) ↔ ∃𝑧𝑦𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6765, 66bitr4i 277 . 2 (∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧) ↔ ∃𝑦𝑧𝑦𝐴 ∧ ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐵𝑥 <Q 𝑧)))
6851, 53, 673imtr4g 295 1 (𝐵P → (𝑥𝐶 → ∃𝑧(𝑧𝐶𝑥 <Q 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2702  wrex 3059   class class class wbr 5149   × cxp 5676  (class class class)co 7419  Qcnq 10877   +Q cplq 10880   <Q cltq 10883  Pcnp 10884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ni 10897  df-pli 10898  df-mi 10899  df-lti 10900  df-plpq 10933  df-mpq 10934  df-ltpq 10935  df-enq 10936  df-nq 10937  df-erq 10938  df-plq 10939  df-mq 10940  df-1nq 10941  df-ltnq 10943  df-np 11006
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  11065
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