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Theorem gonar 33989
Description: If the "Godel-set of NAND" applied to classes is a Godel formula, the classes are also Godel formulas. Remark: The reverse is not valid for 𝐴 or 𝐵 being of the same height as the "Godel-set of NAND". (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
gonar ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem gonar
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑢 𝑣 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gonan0 33986 . . 3 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
21adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑁 ≠ ∅)
3 nnsuc 7820 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥)
4 suceq 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ∅ → suc 𝑑 = suc ∅)
54fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc ∅))
65eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅)))
75eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
85eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
97, 8anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
106, 9imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = ∅ → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))))
11 suceq 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 → suc 𝑑 = suc 𝑐)
1211fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑐))
1312eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1412eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1512eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1614, 15anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))))
1713, 16imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))))
18 suceq 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = suc 𝑐 → suc 𝑑 = suc suc 𝑐)
1918fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc suc 𝑐))
2019eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2119eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2219eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2321, 22anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐))))
2420, 23imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = suc 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
25 suceq 6383 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑥 → suc 𝑑 = suc 𝑥)
2625fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑥))
2726eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2826eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2926eleq2d 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
3028, 29anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
3127, 30imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
32 peano1 7825 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
33 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑔𝑏) ∈ V
34 isfmlasuc 33982 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ V) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
3532, 33, 34mp2an 690 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)))
36 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
37362rexbidv 3213 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
38 fmla0 33976 . . . . . . . . . . . 12 (Fmla‘∅) = {𝑥 ∈ V ∣ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗)}
3937, 38elrab2 3648 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
40 gonafv 33944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
4140el2v 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
43 goel 33941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑖𝑔𝑗) = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩)
4442, 43eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩))
45 1oex 8422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o ∈ V
46 opex 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
4745, 46opth 5433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ ↔ (1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩))
48 1n0 8434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ≠ ∅
49 eqneqall 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1o = ∅ → (1o ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5048, 49mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1o = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5247, 51sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5344, 52syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5453rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ω → (∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5554rexlimiv 3145 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5655adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5739, 56sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
59 gonafv 33944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑢𝑔𝑣) = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩)
6058, 59eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩))
6145, 46opth 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩))
62 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 ∈ V
63 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏 ∈ V
6462, 63opth 5433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣))
65 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑎 = 𝑢)
6665equcomd 2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑢 = 𝑎)
6766eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘∅)))
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑏 = 𝑣)
6968equcomd 2022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑣 = 𝑏)
7069eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑣 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)))
7167, 70anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7264, 71sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7461, 73sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
75 fmlasssuc 33983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ ω → (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅))
7632, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅)
7776sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7876sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7977, 78anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8074, 79syl6bi 252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8260, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8382rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
84 gonanegoal 33946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢
85 eqneqall 2954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → ((𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8684, 85mpi 20 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8887rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8983, 88jaod 857 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
9089rexlimiv 3145 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9157, 90jaoi 855 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9235, 91sylbi 216 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
93 gonarlem 33988 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ω → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
9410, 17, 24, 31, 92, 93finds 7835 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
9594adantr 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
96 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (Fmla‘𝑁) = (Fmla‘suc 𝑥))
9796eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9896eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9996eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
10098, 99anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
10197, 100imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑁 = suc 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
102101adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
10395, 102mpbird 256 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
104103rexlimiva 3144 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1053, 104syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
106105impancom 452 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1072, 106mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  wss 3910  c0 4282  cop 4592  suc csuc 6319  cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  1oc1o 8405  𝑔cgoe 33927  𝑔cgna 33928  𝑔cgol 33929  Fmlacfmla 33931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-map 8767  df-goel 33934  df-gona 33935  df-goal 33936  df-sat 33937  df-fmla 33939
This theorem is referenced by:  fmlasucdisj  33993
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