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Theorem gonar 35400
Description: If the "Godel-set of NAND" applied to classes is a Godel formula, the classes are also Godel formulas. Remark: The reverse is not valid for 𝐴 or 𝐵 being of the same height as the "Godel-set of NAND". (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
gonar ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem gonar
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑢 𝑣 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gonan0 35397 . . 3 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
21adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑁 ≠ ∅)
3 nnsuc 7905 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥)
4 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ∅ → suc 𝑑 = suc ∅)
54fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc ∅))
65eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅)))
75eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
85eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
97, 8anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
106, 9imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = ∅ → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))))
11 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 → suc 𝑑 = suc 𝑐)
1211fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑐))
1312eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1412eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1512eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1614, 15anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))))
1713, 16imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))))
18 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = suc 𝑐 → suc 𝑑 = suc suc 𝑐)
1918fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc suc 𝑐))
2019eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2119eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2219eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2321, 22anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐))))
2420, 23imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = suc 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
25 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑥 → suc 𝑑 = suc 𝑥)
2625fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑥))
2726eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2826eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2926eleq2d 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
3028, 29anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
3127, 30imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
32 peano1 7910 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
33 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑔𝑏) ∈ V
34 isfmlasuc 35393 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ V) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
3532, 33, 34mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)))
36 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
37362rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
38 fmla0 35387 . . . . . . . . . . . 12 (Fmla‘∅) = {𝑥 ∈ V ∣ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗)}
3937, 38elrab2 3695 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
40 gonafv 35355 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
4140el2v 3487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
43 goel 35352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑖𝑔𝑗) = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩)
4442, 43eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩))
45 1oex 8516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o ∈ V
46 opex 5469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
4745, 46opth 5481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ ↔ (1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩))
48 1n0 8526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ≠ ∅
49 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1o = ∅ → (1o ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5048, 49mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1o = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5247, 51sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5344, 52biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5453rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ω → (∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5554rexlimiv 3148 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5739, 56sylbi 217 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
59 gonafv 35355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑢𝑔𝑣) = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩)
6058, 59eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩))
6145, 46opth 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩))
62 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 ∈ V
63 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏 ∈ V
6462, 63opth 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣))
65 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑎 = 𝑢)
6665equcomd 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑢 = 𝑎)
6766eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘∅)))
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑏 = 𝑣)
6968equcomd 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑣 = 𝑏)
7069eleq1d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑣 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)))
7167, 70anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7264, 71sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7461, 73sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
75 fmlasssuc 35394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ ω → (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅))
7632, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅)
7776sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7876sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7977, 78anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8074, 79biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8260, 81sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8382rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
84 gonanegoal 35357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢
85 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → ((𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8684, 85mpi 20 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8887rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8983, 88jaod 860 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
9089rexlimiv 3148 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9157, 90jaoi 858 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9235, 91sylbi 217 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
93 gonarlem 35399 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ω → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
9410, 17, 24, 31, 92, 93finds 7918 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
9594adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
96 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (Fmla‘𝑁) = (Fmla‘suc 𝑥))
9796eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9896eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9996eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
10098, 99anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
10197, 100imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑁 = suc 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
102101adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
10395, 102mpbird 257 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
104103rexlimiva 3147 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1053, 104syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
106105impancom 451 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1072, 106mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  cop 4632  suc csuc 6386  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1oc1o 8499  𝑔cgoe 35338  𝑔cgna 35339  𝑔cgol 35340  Fmlacfmla 35342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-map 8868  df-goel 35345  df-gona 35346  df-goal 35347  df-sat 35348  df-fmla 35350
This theorem is referenced by:  fmlasucdisj  35404
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