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Theorem gonar 35380
Description: If the "Godel-set of NAND" applied to classes is a Godel formula, the classes are also Godel formulas. Remark: The reverse is not valid for 𝐴 or 𝐵 being of the same height as the "Godel-set of NAND". (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
gonar ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem gonar
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑢 𝑣 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gonan0 35377 . . 3 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
21adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑁 ≠ ∅)
3 nnsuc 7905 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥)
4 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ∅ → suc 𝑑 = suc ∅)
54fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc ∅))
65eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅)))
75eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
85eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
97, 8anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
106, 9imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = ∅ → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))))
11 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 → suc 𝑑 = suc 𝑐)
1211fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑐))
1312eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1412eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1512eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1614, 15anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))))
1713, 16imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))))
18 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = suc 𝑐 → suc 𝑑 = suc suc 𝑐)
1918fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc suc 𝑐))
2019eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2119eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2219eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2321, 22anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐))))
2420, 23imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = suc 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
25 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑥 → suc 𝑑 = suc 𝑥)
2625fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑥))
2726eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2826eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2926eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
3028, 29anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
3127, 30imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
32 peano1 7911 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
33 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑔𝑏) ∈ V
34 isfmlasuc 35373 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ V) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
3532, 33, 34mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)))
36 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
37362rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
38 fmla0 35367 . . . . . . . . . . . 12 (Fmla‘∅) = {𝑥 ∈ V ∣ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗)}
3937, 38elrab2 3698 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
40 gonafv 35335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
4140el2v 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
43 goel 35332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑖𝑔𝑗) = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩)
4442, 43eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩))
45 1oex 8515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o ∈ V
46 opex 5475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
4745, 46opth 5487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ ↔ (1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩))
48 1n0 8525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ≠ ∅
49 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1o = ∅ → (1o ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5048, 49mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1o = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5247, 51sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5344, 52biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5453rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ω → (∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5554rexlimiv 3146 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5655adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5739, 56sylbi 217 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
59 gonafv 35335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑢𝑔𝑣) = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩)
6058, 59eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩))
6145, 46opth 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩))
62 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 ∈ V
63 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏 ∈ V
6462, 63opth 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣))
65 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑎 = 𝑢)
6665equcomd 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑢 = 𝑎)
6766eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘∅)))
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑏 = 𝑣)
6968equcomd 2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑣 = 𝑏)
7069eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑣 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)))
7167, 70anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7264, 71sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7461, 73sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
75 fmlasssuc 35374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ ω → (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅))
7632, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅)
7776sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7876sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7977, 78anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8074, 79biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8260, 81sylbid 240 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8382rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
84 gonanegoal 35337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢
85 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → ((𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8684, 85mpi 20 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8887rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8983, 88jaod 859 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
9089rexlimiv 3146 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9157, 90jaoi 857 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9235, 91sylbi 217 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
93 gonarlem 35379 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ω → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
9410, 17, 24, 31, 92, 93finds 7919 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
9594adantr 480 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
96 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (Fmla‘𝑁) = (Fmla‘suc 𝑥))
9796eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9896eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9996eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
10098, 99anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
10197, 100imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑁 = suc 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
102101adantl 481 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
10395, 102mpbird 257 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
104103rexlimiva 3145 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1053, 104syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
106105impancom 451 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1072, 106mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  cop 4637  suc csuc 6388  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  1oc1o 8498  𝑔cgoe 35318  𝑔cgna 35319  𝑔cgol 35320  Fmlacfmla 35322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-map 8867  df-goel 35325  df-gona 35326  df-goal 35327  df-sat 35328  df-fmla 35330
This theorem is referenced by:  fmlasucdisj  35384
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