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Theorem gonar 34375
Description: If the "Godel-set of NAND" applied to classes is a Godel formula, the classes are also Godel formulas. Remark: The reverse is not valid for 𝐴 or 𝐵 being of the same height as the "Godel-set of NAND". (Contributed by AV, 21-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
gonar ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Distinct variable group:   𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem gonar
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑥 𝑢 𝑣 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gonan0 34372 . . 3 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
21adantl 483 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑁 ≠ ∅)
3 nnsuc 7870 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥)
4 suceq 6428 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ∅ → suc 𝑑 = suc ∅)
54fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc ∅))
65eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅)))
75eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
85eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ∅ → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
97, 8anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ∅ → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
106, 9imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑑 = ∅ → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))))
11 suceq 6428 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 → suc 𝑑 = suc 𝑐)
1211fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑐))
1312eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1412eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1512eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))
1614, 15anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))))
1713, 16imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐)))))
18 suceq 6428 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = suc 𝑐 → suc 𝑑 = suc suc 𝑐)
1918fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc suc 𝑐))
2019eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2119eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2219eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = suc 𝑐 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))
2321, 22anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = suc 𝑐 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐))))
2420, 23imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑑 = suc 𝑐 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
25 suceq 6428 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑥 → suc 𝑑 = suc 𝑥)
2625fveq2d 6893 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (Fmla‘suc 𝑑) = (Fmla‘suc 𝑥))
2726eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2826eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
2926eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
3028, 29anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
3127, 30imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑑) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑑) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑑))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
32 peano1 7876 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
33 ovex 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑎𝑔𝑏) ∈ V
34 isfmlasuc 34368 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ V) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢))))
3532, 33, 34mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)))
36 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
37362rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎𝑔𝑏) → (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
38 fmla0 34362 . . . . . . . . . . . 12 (Fmla‘∅) = {𝑥 ∈ V ∣ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑖𝑔𝑗)}
3937, 38elrab2 3686 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)))
40 gonafv 34330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
4140el2v 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
43 goel 34327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑖𝑔𝑗) = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩)
4442, 43eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩))
45 1oex 8473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1o ∈ V
46 opex 5464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑎, 𝑏⟩ ∈ V
4745, 46opth 5476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ ↔ (1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩))
48 1n0 8485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1o ≠ ∅
49 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1o = ∅ → (1o ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5048, 49mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1o = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1o = ∅ ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑖, 𝑗⟩) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5247, 51sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑖, 𝑗⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5344, 52syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5453rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ω → (∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
5554rexlimiv 3149 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5655adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ V ∧ ∃𝑖 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = (𝑖𝑔𝑗)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5739, 56sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎𝑔𝑏) = ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩)
59 gonafv 34330 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑢𝑔𝑣) = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩)
6058, 59eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ↔ ⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩))
6145, 46opth 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ ↔ (1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩))
62 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑎 ∈ V
63 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑏 ∈ V
6462, 63opth 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ ↔ (𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣))
65 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑎 = 𝑢)
6665equcomd 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑢 = 𝑎)
6766eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘∅)))
68 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑏 = 𝑣)
6968equcomd 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → 𝑣 = 𝑏)
7069eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → (𝑣 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)))
7167, 70anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎 = 𝑢𝑏 = 𝑣) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7264, 71sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7372adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1o = 1o ∧ ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑢, 𝑣⟩) → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
7461, 73sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅))))
75 fmlasssuc 34369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∅ ∈ ω → (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅))
7632, 75ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅)
7776sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7876sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7977, 78anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8074, 79syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (⟨1o, ⟨𝑎, 𝑏⟩⟩ = ⟨1o, ⟨𝑢, 𝑣⟩⟩ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8260, 81sylbid 239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → ((𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8382rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
84 gonanegoal 34332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢
85 eqneqall 2952 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → ((𝑎𝑔𝑏) ≠ ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8684, 85mpi 20 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ((𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8887rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
8983, 88jaod 858 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
9089rexlimiv 3149 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9157, 90jaoi 856 . . . . . . . . 9 (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)(𝑎𝑔𝑏) = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑖 ∈ ω (𝑎𝑔𝑏) = ∀𝑔𝑖𝑢)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
9235, 91sylbi 216 . . . . . . . 8 ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc ∅) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
93 gonarlem 34374 . . . . . . . 8 (𝑐 ∈ ω → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑐))) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑐)))))
9410, 17, 24, 31, 92, 93finds 7886 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ω → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
9594adantr 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
96 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (Fmla‘𝑁) = (Fmla‘suc 𝑥))
9796eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9896eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
9996eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑥 → (𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))
10098, 99anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥))))
10197, 100imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑁 = suc 𝑥 → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
102101adantl 483 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → (((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))) ↔ ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)))))
10395, 102mpbird 257 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑥) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
104103rexlimiva 3148 . . . 4 (∃𝑥 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑥 → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1053, 104syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ((𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
106105impancom 453 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑁 ≠ ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁))))
1072, 106mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ (𝑎𝑔𝑏) ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (Fmla‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  Vcvv 3475  wss 3948  c0 4322  cop 4634  suc csuc 6364  cfv 6541  (class class class)co 7406  ωcom 7852  1oc1o 8456  𝑔cgoe 34313  𝑔cgna 34314  𝑔cgol 34315  Fmlacfmla 34317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-map 8819  df-goel 34320  df-gona 34321  df-goal 34322  df-sat 34323  df-fmla 34325
This theorem is referenced by:  fmlasucdisj  34379
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