Theorem infpssrlem4 10259

Description: Lemma for infpssr 10261. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
infpssrlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
infpssrlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
infpssrlem.d	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
infpssrlem.e	⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
infpssrlem4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ 𝑀) → (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑁))

Proof of Theorem infpssrlem4

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = ∅ → (𝐺‘𝑐) = (𝐺‘∅))
2	1	neeq1d 2984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺‘𝑏)))
3	2	raleqbi1dv 3311	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = ∅ → (∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺‘𝑏)))
4	3	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺‘𝑏))))
5		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑑))
6	5	neeq1d 2984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)))
7	6	raleqbi1dv 3311	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)))
8	7	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))))
9		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = suc 𝑑 → (𝐺‘𝑐) = (𝐺‘suc 𝑑))
10	9	neeq1d 2984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = suc 𝑑 → ((𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)))
11	10	raleqbi1dv 3311	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = suc 𝑑 → (∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)))
12	11	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = suc 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))))
13		fveq2 6858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑀 → (𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑀))
14	13	neeq1d 2984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑀 → ((𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑏)))
15	14	raleqbi1dv 3311	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝑀 → (∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ 𝑀 (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑏)))
16	15	imbi2d 340	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝑀 → ((𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑐 (𝐺‘𝑐) ≠ (𝐺‘𝑏)) ↔ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑀 (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑏))))
17		ral0 4476	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺‘𝑏)
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑏 ∈ ∅ (𝐺‘∅) ≠ (𝐺‘𝑏))
19		infpssrlem.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)
20		f1ocnv 6812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 → ◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
21		f1of 6800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐴⟶𝐵)
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐴⟶𝐵)
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → ◡𝐹:𝐴⟶𝐵)
24		infpssrlem.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
25		infpssrlem.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
26		infpssrlem.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (rec(◡𝐹, 𝐶) ↾ ω)
27	24, 19, 25, 26	infpssrlem3 10258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝐴)
28	27	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ω) → (𝐺‘𝑑) ∈ 𝐴)
29	28	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘𝑑) ∈ 𝐴)
30	23, 29	ffvelcdmd 7057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ∈ 𝐵)
31	25	eldifbd 3927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ 𝐵)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → ¬ 𝐶 ∈ 𝐵)
33		nelne2 3023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ≠ 𝐶)
34	30, 32, 33	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ≠ 𝐶)
35	24, 19, 25, 26	infpssrlem2 10257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑑 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)))
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑑) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)))
37	24, 19, 25, 26	infpssrlem1 10256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘∅) = 𝐶)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘∅) = 𝐶)
39	34, 36, 38	3netr4d 3002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅))
40	39	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅))
41	1	neeq2d 2985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘∅)))
42	40, 41	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = ∅ → ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐)))
43	42	adantrd 491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = ∅ → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐)))
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ suc 𝑑)
45		peano2 7866	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 ∈ ω → suc 𝑑 ∈ ω)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → suc 𝑑 ∈ ω)
47		elnn 7853	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 ∈ suc 𝑑 ∧ suc 𝑑 ∈ ω) → 𝑐 ∈ ω)
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ ω)
49	48	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → 𝑐 ∈ ω)
50	49	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → 𝑐 ∈ ω)
51		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → 𝑐 ≠ ∅)
52		nnsuc 7860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ω ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏)
53	50, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → ∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏)
54		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑑 ∈ ω
55		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
56		nfra1 3261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)
57	54, 55, 56	nf3an 1901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))
58		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑐 ∈ suc 𝑑
59	57, 58	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)
60		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑏(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐)
61		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑 ∧ 𝑏 ∈ ω)) → ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → suc 𝑏 ∈ suc 𝑑)
63		nnord 7850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑑 ∈ ω → Ord 𝑑)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → Ord 𝑑)
65		ordsucelsuc 7797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (Ord 𝑑 → (𝑏 ∈ 𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ 𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
67	62, 66	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → 𝑏 ∈ 𝑑)
68	67	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → 𝑏 ∈ 𝑑)
69	68	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑 ∧ 𝑏 ∈ ω)) → 𝑏 ∈ 𝑑)
70		rsp 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏) → (𝑏 ∈ 𝑑 → (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)))
71	61, 69, 70	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑 ∧ 𝑏 ∈ ω)) → (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))
72		f1of1 6799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (◡𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ◡𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
73	19, 20, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
74	73	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ◡𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
75	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘𝑑) ∈ 𝐴)
76	27	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘𝑏) ∈ 𝐴)
77	76	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘𝑏) ∈ 𝐴)
78		f1fveq 7237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((◡𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ ((𝐺‘𝑑) ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑏) ∈ 𝐴)) → ((◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏)) ↔ (𝐺‘𝑑) = (𝐺‘𝑏)))
79	74, 75, 77, 78	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏)) ↔ (𝐺‘𝑑) = (𝐺‘𝑏)))
80	79	necon3bid 2969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ≠ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏)) ↔ (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)))
81	80	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏) → (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ≠ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏))))
82	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑑) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)))
83	24, 19, 25, 26	infpssrlem2 10257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑏) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏)))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑏) = (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏)))
85	82, 84	neeq12d 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏) ↔ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ≠ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏))))
86	85	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏) ↔ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑑)) ≠ (◡𝐹‘(𝐺‘𝑏))))
87	81, 86	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ 𝑏 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
88	87	adantrl 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑 ∧ 𝑏 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
89	88	3adantl3 1169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑 ∧ 𝑏 ∈ ω)) → ((𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
90	71, 89	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ (suc 𝑏 ∈ suc 𝑑 ∧ 𝑏 ∈ ω)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏))
91	90	expr 456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
92		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = suc 𝑏 → (𝑐 ∈ suc 𝑑 ↔ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑))
93	92	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = suc 𝑏 → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) ↔ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑)))
94		fveq2 6858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘𝑐) = (𝐺‘suc 𝑏))
95	94	neeq2d 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))
96	95	imbi2d 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = suc 𝑏 → ((𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐)) ↔ (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏))))
97	93, 96	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 = suc 𝑏 → ((((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐))) ↔ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ suc 𝑏 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘suc 𝑏)))))
98	91, 97	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = suc 𝑏 → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐))))
99	98	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝑏 ∈ ω → (𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐))))
100	59, 60, 99	rexlimd 3244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐)))
101	100	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → (∃𝑏 ∈ ω 𝑐 = suc 𝑏 → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐)))
102	53, 101	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑐 ≠ ∅ ∧ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑)) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐))
103	102	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ≠ ∅ → (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐)))
104	43, 103	pm2.61ine 3008	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) ∧ 𝑐 ∈ suc 𝑑) → (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐))
105	104	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) → ∀𝑐 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐))
106		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (𝐺‘𝑐) = (𝐺‘𝑏))
107	106	neeq2d 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐) ↔ (𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)))
108	107	cbvralvw 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑐 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑐) ↔ ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))
109	105, 108	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ω ∧ 𝜑 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))
110	109	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ω → (𝜑 → (∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏) → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))))
111	110	a2d 29	. . . . 5 ⊢ (𝑑 ∈ ω → ((𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑑 (𝐺‘𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏)) → (𝜑 → ∀𝑏 ∈ suc 𝑑(𝐺‘suc 𝑑) ≠ (𝐺‘𝑏))))
112	4, 8, 12, 16, 18, 111	finds 7872	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ω → (𝜑 → ∀𝑏 ∈ 𝑀 (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑏)))
113	112	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ω) → ∀𝑏 ∈ 𝑀 (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑏))
114		fveq2 6858	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑁 → (𝐺‘𝑏) = (𝐺‘𝑁))
115	114	neeq2d 2985	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑁 → ((𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑏) ↔ (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑁)))
116	115	rspccv 3585	. . 3 ⊢ (∀𝑏 ∈ 𝑀 (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑏) → (𝑁 ∈ 𝑀 → (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑁)))
117	113, 116	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ω) → (𝑁 ∈ 𝑀 → (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑁)))
118	117	3impia 1117	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ 𝑀) → (𝐺‘𝑀) ≠ (𝐺‘𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  Ord word 6331  suc csuc 6334  ⟶wf 6507  –1-1→wf1 6508  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  ωcom 7842  reccrdg 8377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378

This theorem is referenced by:  infpssrlem5  10260