Theorem peano2b 7823

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7822	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7789	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Lim wlim 6312  suc csuc 6313  ωcom 7806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-om 7807

This theorem is referenced by:  nnsuc  7824  peano2  7830  peano5  7833  frsuc  8366  frsucmptn  8368  nnaordi  8543  nnmsucr  8550  omsmolem  8582  php  9131  php4  9134  unblem1  9197  isfinite2  9203  inf0  9536  inf3lem1  9543  inf3lem5  9547  cantnfp1lem3  9595  cantnflem1  9604  itunisuc  10332  ituniiun  10335  indpi  10820  constrllcllem  33721  constrlccllem  33722  constrcccllem  33723  rdgeqoa  37346