Theorem peano2b 7839

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7838	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7805	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  Lim wlim 6321  suc csuc 6322  ωcom 7822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-om 7823

This theorem is referenced by:  nnsuc  7840  peano2  7846  peano5  7849  frsuc  8382  frsucmptn  8384  nnaordi  8559  nnmsucr  8566  omsmolem  8598  php  9148  php4  9151  unblem1  9215  isfinite2  9221  inf0  9550  inf3lem1  9557  inf3lem5  9561  cantnfp1lem3  9609  cantnflem1  9618  itunisuc  10348  ituniiun  10351  indpi  10836  constrllcllem  33715  constrlccllem  33716  constrcccllem  33717  rdgeqoa  37331