Theorem peano2b 7858

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7857	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7824	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  Lim wlim 6342  suc csuc 6343  ωcom 7841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-tr 5205  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-om 7842

This theorem is referenced by:  nnsuc  7859  peano2  7865  peano5  7869  frsuc  8402  frsucmptn  8404  nnaordi  8582  nnmsucr  8589  omsmolem  8621  php  9169  php4  9172  unblem1  9230  isfinite2  9236  inf0  9570  inf3lem1  9577  inf3lem5  9581  cantnfp1lem3  9629  cantnflem1  9638  itunisuc  10370  ituniiun  10373  indpi  10859  constrllcllem  34010  constrlccllem  34011  constrcccllem  34012  rdgeqoa  37825