Theorem peano2b 7881

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7880	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7847	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  Lim wlim 6365  suc csuc 6366  ωcom 7864

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-om 7865

This theorem is used by:  nnsuc  7882  peano2  7888  peano5  7892  frsuc  8426  frsucmptn  8428  nnaordi  8606  nnmsucr  8613  omsmolem  8645  php  9194  php4  9197  unblem1  9255  isfinite2  9261  inf0  9593  inf3lem1  9600  inf3lem5  9604  cantnfp1lem3  9652  cantnflem1  9661  itunisuc  10414  ituniiun  10417  indpi  10903  constrllcllem  34165  constrlccllem  34166  constrcccllem  34167  rdgeqoa  38049