Theorem peano2b 7836

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7835	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7802	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Lim wlim 6326  suc csuc 6327  ωcom 7819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5376  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-om 7820

This theorem is referenced by:  nnsuc  7837  peano2  7843  peano5  7846  frsuc  8378  frsucmptn  8380  nnaordi  8556  nnmsucr  8563  omsmolem  8595  php  9143  php4  9146  unblem1  9204  isfinite2  9210  inf0  9544  inf3lem1  9551  inf3lem5  9555  cantnfp1lem3  9603  cantnflem1  9612  itunisuc  10343  ituniiun  10346  indpi  10832  constrllcllem  33898  constrlccllem  33899  constrcccllem  33900  rdgeqoa  37688