Theorem peano2b 7835

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7834	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7801	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  Lim wlim 6326  suc csuc 6327  ωcom 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-om 7819

This theorem is referenced by:  nnsuc  7836  peano2  7842  peano5  7845  frsuc  8378  frsucmptn  8380  nnaordi  8556  nnmsucr  8563  omsmolem  8595  php  9143  php4  9146  unblem1  9204  isfinite2  9210  inf0  9542  inf3lem1  9549  inf3lem5  9553  cantnfp1lem3  9601  cantnflem1  9610  itunisuc  10341  ituniiun  10344  indpi  10830  constrllcllem  33929  constrlccllem  33930  constrcccllem  33931  rdgeqoa  37622