Theorem peano2b 7797

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7796	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7763	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105  Lim wlim 6303  suc csuc 6304  ωcom 7780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3404  df-v 3443  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-tr 5210  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-om 7781

This theorem is referenced by:  nnsuc  7798  peano2  7805  peano5  7808  peano5OLD  7809  frsuc  8338  frsucmptn  8340  nnaordi  8520  nnmsucr  8527  omsmolem  8558  php  9075  php4  9078  phpOLD  9087  unblem1  9160  isfinite2  9166  inf0  9478  inf3lem1  9485  inf3lem5  9489  cantnfp1lem3  9537  cantnflem1  9546  itunisuc  10276  ituniiun  10279  indpi  10764  rdgeqoa  35646