MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano2b 7820
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 limom 7819 . 2 Lim ω
2 limsuc 7786 . 2 (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
31, 2ax-mp 5 1 (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wcel 2107  Lim wlim 6319  suc csuc 6320  ωcom 7803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-om 7804
This theorem is referenced by:  nnsuc  7821  peano2  7828  peano5  7831  peano5OLD  7832  frsuc  8384  frsucmptn  8386  nnaordi  8566  nnmsucr  8573  omsmolem  8604  php  9157  php4  9160  phpOLD  9169  unblem1  9242  isfinite2  9248  inf0  9562  inf3lem1  9569  inf3lem5  9573  cantnfp1lem3  9621  cantnflem1  9630  itunisuc  10360  ituniiun  10363  indpi  10848  rdgeqoa  35887
  Copyright terms: Public domain W3C validator