Theorem peano2b 7874

Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)

Assertion

Ref	Expression
peano2b	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limom 7873	. 2 ⊢ Lim ω
2		limsuc 7840	. 2 ⊢ (Lim ω → (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2104  Lim wlim 6364  suc csuc 6365  ωcom 7857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-tr 5265  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-om 7858

This theorem is referenced by:  nnsuc  7875  peano2  7883  peano5  7886  peano5OLD  7887  frsuc  8439  frsucmptn  8441  nnaordi  8620  nnmsucr  8627  omsmolem  8658  php  9212  php4  9215  phpOLD  9224  unblem1  9297  isfinite2  9303  inf0  9618  inf3lem1  9625  inf3lem5  9629  cantnfp1lem3  9677  cantnflem1  9686  itunisuc  10416  ituniiun  10419  indpi  10904  rdgeqoa  36554