Theorem inf3lemd 9612

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9620 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemd	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑤)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑤)

Proof of Theorem inf3lemd

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘∅))
2		inf3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
3		inf3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
4		inf3lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		inf3lem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	inf3lemb 9610	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅
7	1, 6	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4350	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
9	7, 8	eqsstrdi 3975	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
10	9	a1d 26	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
11		nnsuc 7884	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣)
12		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
13	2, 3, 12, 5	inf3lemc 9611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) = (𝐺‘(𝐹‘𝑣)))
14	13	eleq2d 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣))))
15		vex 3455	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
16		fvex 6890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑣) ∈ V
17	2, 3, 15, 16	inf3lema 9609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) ↔ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ (𝑢 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑣)))
18	17	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑥)
19	14, 18	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑥))
20	19	ssrdv 3937	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥)
21		fveq2 6877	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝑣))
22	21	sseq1d 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥))
23	20, 22	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
24	23	rexlimiv 3157	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
25	11, 24	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
26	25	expcom 419	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
27	10, 26	pm2.61ine 3039	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413  Vcvv 3451   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  suc csuc 6357  ‘cfv 6531  ωcom 7866  reccrdg 8401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402

This theorem is used by:  inf3lem2  9614  inf3lem3  9615  inf3lem6  9618