MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lemd 9619
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9627 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lemd (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemd
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6889 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝐹𝐴) = (𝐹‘∅))
2 inf3lem.1 . . . . . 6 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
3 inf3lem.2 . . . . . 6 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
4 inf3lem.3 . . . . . 6 𝐴 ∈ V
5 inf3lem.4 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
62, 3, 4, 5inf3lemb 9617 . . . . 5 (𝐹‘∅) = ∅
71, 6eqtrdi 2789 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐹𝐴) = ∅)
8 0ss 4396 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑥
97, 8eqsstrdi 4036 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
109a1d 25 . 2 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥))
11 nnsuc 7870 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣)
12 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑣 ∈ V
132, 3, 12, 5inf3lemc 9618 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) = (𝐺‘(𝐹𝑣)))
1413eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑣))))
15 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
16 fvex 6902 . . . . . . . . . 10 (𝐹𝑣) ∈ V
172, 3, 15, 16inf3lema 9616 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑣)) ↔ (𝑢𝑥 ∧ (𝑢𝑥) ⊆ (𝐹𝑣)))
1817simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹𝑣)) → 𝑢𝑥)
1914, 18syl6bi 253 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) → 𝑢𝑥))
2019ssrdv 3988 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥)
21 fveq2 6889 . . . . . . 7 (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹𝐴) = (𝐹‘suc 𝑣))
2221sseq1d 4013 . . . . . 6 (𝐴 = suc 𝑣 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥))
2320, 22syl5ibrcom 246 . . . . 5 (𝑣 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥))
2423rexlimiv 3149 . . . 4 (∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
2511, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
2625expcom 415 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥))
2710, 26pm2.61ine 3026 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3947  wss 3948  c0 4322  cmpt 5231  cres 5678  suc csuc 6364  cfv 6541  ωcom 7852  reccrdg 8406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7409  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407
This theorem is referenced by:  inf3lem2  9621  inf3lem3  9622  inf3lem6  9625
  Copyright terms: Public domain W3C validator