Theorem inf3lemd 9512

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9520 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemd	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemd

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6817	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘∅))
2		inf3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
3		inf3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
4		inf3lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		inf3lem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	inf3lemb 9510	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅
7	1, 6	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4348	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
9	7, 8	eqsstrdi 3977	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
10	9	a1d 25	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
11		nnsuc 7809	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣)
12		vex 3438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
13	2, 3, 12, 5	inf3lemc 9511	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) = (𝐺‘(𝐹‘𝑣)))
14	13	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣))))
15		vex 3438	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
16		fvex 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑣) ∈ V
17	2, 3, 15, 16	inf3lema 9509	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) ↔ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ (𝑢 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑣)))
18	17	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑥)
19	14, 18	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑥))
20	19	ssrdv 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥)
21		fveq2 6817	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝑣))
22	21	sseq1d 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥))
23	20, 22	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
24	23	rexlimiv 3124	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
25	11, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
26	25	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
27	10, 26	pm2.61ine 3009	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3393  Vcvv 3434   ∩ cin 3899   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281   ↦ cmpt 5170   ↾ cres 5616  suc csuc 6304  ‘cfv 6477  ωcom 7791  reccrdg 8323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324

This theorem is referenced by:  inf3lem2  9514  inf3lem3  9515  inf3lem6  9518