Theorem inf3lemd 9540

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9548 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemd	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemd

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6835	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘∅))
2		inf3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
3		inf3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
4		inf3lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		inf3lem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	inf3lemb 9538	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅
7	1, 6	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4353	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
9	7, 8	eqsstrdi 3979	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
10	9	a1d 25	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
11		nnsuc 7828	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣)
12		vex 3445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
13	2, 3, 12, 5	inf3lemc 9539	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) = (𝐺‘(𝐹‘𝑣)))
14	13	eleq2d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣))))
15		vex 3445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
16		fvex 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑣) ∈ V
17	2, 3, 15, 16	inf3lema 9537	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) ↔ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ (𝑢 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑣)))
18	17	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑥)
19	14, 18	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑥))
20	19	ssrdv 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥)
21		fveq2 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝑣))
22	21	sseq1d 3966	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥))
23	20, 22	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
24	23	rexlimiv 3131	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
25	11, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
26	25	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
27	10, 26	pm2.61ine 3016	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061  {crab 3400  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286   ↦ cmpt 5180   ↾ cres 5627  suc csuc 6320  ‘cfv 6493  ωcom 7810  reccrdg 8342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343

This theorem is referenced by:  inf3lem2  9542  inf3lem3  9543  inf3lem6  9546