Theorem inf3lemd 9586

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9594 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lemd	⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lemd

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6860	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘∅))
2		inf3lem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
3		inf3lem.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
4		inf3lem.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		inf3lem.4	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ V
6	2, 3, 4, 5	inf3lemb 9584	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘∅) = ∅
7	1, 6	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) = ∅)
8		0ss 4365	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ 𝑥
9	7, 8	eqsstrdi 3993	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
10	9	a1d 25	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
11		nnsuc 7862	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣)
12		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑣 ∈ V
13	2, 3, 12, 5	inf3lemc 9585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) = (𝐺‘(𝐹‘𝑣)))
14	13	eleq2d 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) ↔ 𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣))))
15		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑢 ∈ V
16		fvex 6873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹‘𝑣) ∈ V
17	2, 3, 15, 16	inf3lema 9583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) ↔ (𝑢 ∈ 𝑥 ∧ (𝑢 ∩ 𝑥) ⊆ (𝐹‘𝑣)))
18	17	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (𝐺‘(𝐹‘𝑣)) → 𝑢 ∈ 𝑥)
19	14, 18	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝑢 ∈ (𝐹‘suc 𝑣) → 𝑢 ∈ 𝑥))
20	19	ssrdv 3954	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥)
21		fveq2 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘suc 𝑣))
22	21	sseq1d 3980	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = suc 𝑣 → ((𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹‘suc 𝑣) ⊆ 𝑥))
23	20, 22	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ω → (𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
24	23	rexlimiv 3128	. . . 4 ⊢ (∃𝑣 ∈ ω 𝐴 = suc 𝑣 → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
25	11, 24	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)
26	25	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥))
27	10, 26	pm2.61ine 3009	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3915   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298   ↦ cmpt 5190   ↾ cres 5642  suc csuc 6336  ‘cfv 6513  ωcom 7844  reccrdg 8379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380

This theorem is referenced by:  inf3lem2  9588  inf3lem3  9589  inf3lem6  9592