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Theorem goalr 35402
Description: If the "Godel-set of universal quantification" applied to a class is a Godel formula, the class is also a Godel formula. Remark: The reverse is not valid for 𝐴 being of the same height as the "Godel-set of universal quantification". (Contributed by AV, 22-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
goalr ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑖,𝑎
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem goalr
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑘 𝑢 𝑣 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 goaln0 35398 . . 3 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
21adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑁 ≠ ∅)
3 nnsuc 7905 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑛)
4 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → suc 𝑥 = suc ∅)
54fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc ∅))
65eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
75eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
86, 7imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
9 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → suc 𝑥 = suc 𝑦)
109fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc 𝑦))
1110eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦)))
1210eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦)))
1311, 12imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦))))
14 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → suc 𝑥 = suc suc 𝑦)
1514fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc suc 𝑦))
1615eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦)))
1715eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦)))
1816, 17imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦))))
19 suceq 6450 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → suc 𝑥 = suc 𝑛)
2019fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc 𝑛))
2120eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
2220eleq2d 2827 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
2321, 22imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛))))
24 peano1 7910 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
25 df-goal 35347 . . . . . . . . . . 11 𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩
26 opex 5469 . . . . . . . . . . 11 ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ ∈ V
2725, 26eqeltri 2837 . . . . . . . . . 10 𝑔𝑖𝑎 ∈ V
28 isfmlasuc 35393 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢))))
2924, 27, 28mp2an 692 . . . . . . . . 9 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢)))
30 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∀𝑔𝑖𝑎 → (𝑥 = (𝑘𝑔𝑗) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗)))
31302rexbidv 3222 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∀𝑔𝑖𝑎 → (∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑘𝑔𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗)))
32 fmla0 35387 . . . . . . . . . . . 12 (Fmla‘∅) = {𝑥 ∈ V ∣ ∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑘𝑔𝑗)}
3331, 32elrab2 3695 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V ∧ ∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗)))
3425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩)
35 goel 35352 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑘𝑔𝑗) = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩)
3634, 35eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩))
37 2oex 8517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2o ∈ V
38 opex 5469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖, 𝑎⟩ ∈ V
3937, 38opth 5481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩ ↔ (2o = ∅ ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑗⟩))
40 2on0 8522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2o ≠ ∅
41 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2o = ∅ → (2o ≠ ∅ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
4240, 41mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2o = ∅ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2o = ∅ ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑗⟩) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4439, 43sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4536, 44biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
4645rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ω → (∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
4746rexlimiv 3148 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4833, 47simplbiim 504 . . . . . . . . . 10 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
49 gonanegoal 35357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎
50 eqneqall 2951 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → ((𝑢𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5149, 50mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
5251eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5453rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
55 df-goal 35347 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑔𝑘𝑢 = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩
5625, 55eqeq12i 2755 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢 ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩)
5737, 38opth 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑢⟩))
58 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖 ∈ V
59 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑎 ∈ V
6058, 59opth 5481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑢⟩ ↔ (𝑖 = 𝑘𝑎 = 𝑢))
61 eleq1w 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘∅)))
62 fmlasssuc 35394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∅ ∈ ω → (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅))
6324, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅)
6463sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
6561, 64biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6665eqcoms 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6760, 66simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑢⟩ → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6857, 67simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6968com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7156, 70biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7271rexlimdva 3155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7354, 72jaod 860 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7473rexlimiv 3148 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7548, 74jaoi 858 . . . . . . . . 9 ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7629, 75sylbi 217 . . . . . . . 8 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
77 goalrlem 35401 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦))))
788, 13, 18, 23, 76, 77finds 7918 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
7978adantr 480 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑛) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
80 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑛 → (Fmla‘𝑁) = (Fmla‘suc 𝑛))
8180eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑛 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
8280eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑛 → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
8381, 82imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑁 = suc 𝑛 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛))))
8483adantl 481 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑛) → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛))))
8579, 84mpbird 257 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑛) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
8685rexlimiva 3147 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑛 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
873, 86syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
8887impancom 451 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑁 ≠ ∅ → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
892, 88mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  cop 4632  suc csuc 6386  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  2oc2o 8500  𝑔cgoe 35338  𝑔cgna 35339  𝑔cgol 35340  Fmlacfmla 35342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-map 8868  df-goel 35345  df-gona 35346  df-goal 35347  df-sat 35348  df-fmla 35350
This theorem is referenced by:  fmlasucdisj  35404
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