Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  goalr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem goalr 35382
Description: If the "Godel-set of universal quantification" applied to a class is a Godel formula, the class is also a Godel formula. Remark: The reverse is not valid for 𝐴 being of the same height as the "Godel-set of universal quantification". (Contributed by AV, 22-Oct-2023.)
Assertion
Ref Expression
goalr ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑁   𝑖,𝑎
Allowed substitution hint:   𝑁(𝑎)

Proof of Theorem goalr
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑘 𝑢 𝑣 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 goaln0 35378 . . 3 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑁 ≠ ∅)
21adantl 481 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑁 ≠ ∅)
3 nnsuc 7905 . . . 4 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑛)
4 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → suc 𝑥 = suc ∅)
54fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc ∅))
65eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
75eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
86, 7imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = ∅ → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))))
9 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → suc 𝑥 = suc 𝑦)
109fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc 𝑦))
1110eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦)))
1210eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦)))
1311, 12imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦))))
14 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = suc 𝑦 → suc 𝑥 = suc suc 𝑦)
1514fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = suc 𝑦 → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc suc 𝑦))
1615eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦)))
1715eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦)))
1816, 17imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = suc 𝑦 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦))))
19 suceq 6452 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → suc 𝑥 = suc 𝑛)
2019fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → (Fmla‘suc 𝑥) = (Fmla‘suc 𝑛))
2120eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
2220eleq2d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
2321, 22imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑥)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛))))
24 peano1 7911 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ ω
25 df-goal 35327 . . . . . . . . . . 11 𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩
26 opex 5475 . . . . . . . . . . 11 ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ ∈ V
2725, 26eqeltri 2835 . . . . . . . . . 10 𝑔𝑖𝑎 ∈ V
28 isfmlasuc 35373 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢))))
2924, 27, 28mp2an 692 . . . . . . . . 9 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢)))
30 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∀𝑔𝑖𝑎 → (𝑥 = (𝑘𝑔𝑗) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗)))
31302rexbidv 3220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∀𝑔𝑖𝑎 → (∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑘𝑔𝑗) ↔ ∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗)))
32 fmla0 35367 . . . . . . . . . . . 12 (Fmla‘∅) = {𝑥 ∈ V ∣ ∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω 𝑥 = (𝑘𝑔𝑗)}
3331, 32elrab2 3698 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ V ∧ ∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗)))
3425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑔𝑖𝑎 = ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩)
35 goel 35332 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝑘𝑔𝑗) = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩)
3634, 35eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩))
37 2oex 8516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2o ∈ V
38 opex 5475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑖, 𝑎⟩ ∈ V
3937, 38opth 5487 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩ ↔ (2o = ∅ ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑗⟩))
40 2on0 8521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2o ≠ ∅
41 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2o = ∅ → (2o ≠ ∅ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
4240, 41mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2o = ∅ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2o = ∅ ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑗⟩) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4439, 43sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨∅, ⟨𝑘, 𝑗⟩⟩ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4536, 44biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
4645rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ω → (∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
4746rexlimiv 3146 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑘 ∈ ω ∃𝑗 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑘𝑔𝑗) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
4833, 47simplbiim 504 . . . . . . . . . 10 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
49 gonanegoal 35337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎
50 eqneqall 2949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎 → ((𝑢𝑔𝑣) ≠ ∀𝑔𝑖𝑎𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5149, 50mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑔𝑣) = ∀𝑔𝑖𝑎𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
5251eqcoms 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑣 ∈ (Fmla‘∅)) → (∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
5453rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
55 df-goal 35327 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑔𝑘𝑢 = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩
5625, 55eqeq12i 2753 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢 ↔ ⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩)
5737, 38opth 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ ↔ (2o = 2o ∧ ⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑢⟩))
58 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑖 ∈ V
59 vex 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑎 ∈ V
6058, 59opth 5487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑢⟩ ↔ (𝑖 = 𝑘𝑎 = 𝑢))
61 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘∅)))
62 fmlasssuc 35374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∅ ∈ ω → (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅))
6324, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Fmla‘∅) ⊆ (Fmla‘suc ∅)
6463sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
6561, 64biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 = 𝑎 → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6665eqcoms 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑢 → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6760, 66simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟨𝑖, 𝑎⟩ = ⟨𝑘, 𝑢⟩ → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6857, 67simplbiim 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ → (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
6968com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (⟨2o, ⟨𝑖, 𝑎⟩⟩ = ⟨2o, ⟨𝑘, 𝑢⟩⟩ → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7156, 70biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 ∈ (Fmla‘∅) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7271rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → (∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7354, 72jaod 859 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (Fmla‘∅) → ((∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅)))
7473rexlimiv 3146 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7548, 74jaoi 857 . . . . . . . . 9 ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘∅) ∨ ∃𝑢 ∈ (Fmla‘∅)(∃𝑣 ∈ (Fmla‘∅)∀𝑔𝑖𝑎 = (𝑢𝑔𝑣) ∨ ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑔𝑖𝑎 = ∀𝑔𝑘𝑢)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
7629, 75sylbi 217 . . . . . . . 8 (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc ∅))
77 goalrlem 35381 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ω → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑦)) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc suc 𝑦))))
788, 13, 18, 23, 76, 77finds 7919 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
7978adantr 480 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑛) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
80 fveq2 6907 . . . . . . . . 9 (𝑁 = suc 𝑛 → (Fmla‘𝑁) = (Fmla‘suc 𝑛))
8180eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑛 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
8280eleq2d 2825 . . . . . . . 8 (𝑁 = suc 𝑛 → (𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) ↔ 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛)))
8381, 82imbi12d 344 . . . . . . 7 (𝑁 = suc 𝑛 → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛))))
8483adantl 481 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑛) → ((∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) ↔ (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛) → 𝑎 ∈ (Fmla‘suc 𝑛))))
8579, 84mpbird 257 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑁 = suc 𝑛) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
8685rexlimiva 3145 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ω 𝑁 = suc 𝑛 → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
873, 86syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝑁 ≠ ∅) → (∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
8887impancom 451 . 2 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → (𝑁 ≠ ∅ → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)))
892, 88mpd 15 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∀𝑔𝑖𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁)) → 𝑎 ∈ (Fmla‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  c0 4339  cop 4637  suc csuc 6388  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  2oc2o 8499  𝑔cgoe 35318  𝑔cgna 35319  𝑔cgol 35320  Fmlacfmla 35322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-map 8867  df-goel 35325  df-gona 35326  df-goal 35327  df-sat 35328  df-fmla 35330
This theorem is referenced by:  fmlasucdisj  35384
  Copyright terms: Public domain W3C validator