Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrneifv4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrneifv4 42519
Description: The value of the interior (closure) expressed in terms of the neighbors (convergents) function. (Contributed by RP, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
ntrnei.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
ntrneifv.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ntrneifv4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘†) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 ∈ (π‘β€˜π‘₯)})
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,π‘₯   π‘˜,𝐼,𝑙,π‘š,π‘₯   𝑆,π‘š,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙)   𝐹(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗)   𝑁(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑙)   𝑂(π‘₯,𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑙)

Proof of Theorem ntrneifv4
StepHypRef Expression
1 dfin5 3943 . 2 (𝐡 ∩ (πΌβ€˜π‘†)) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘†)}
2 ntrnei.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
3 ntrnei.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
4 ntrnei.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐹𝑁)
52, 3, 4ntrneiiex 42510 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
6 elmapi 8816 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
75, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
8 ntrneifv.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
97, 8ffvelcdmd 7063 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘†) ∈ 𝒫 𝐡)
109elpwid 4596 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘†) βŠ† 𝐡)
11 sseqin2 4202 . . 3 ((πΌβ€˜π‘†) βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 ∩ (πΌβ€˜π‘†)) = (πΌβ€˜π‘†))
1210, 11sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∩ (πΌβ€˜π‘†)) = (πΌβ€˜π‘†))
134adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝐼𝐹𝑁)
14 simpr 485 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
158adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
162, 3, 13, 14, 15ntrneiel 42515 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘†) ↔ 𝑆 ∈ (π‘β€˜π‘₯)))
1716rabbidva 3432 . 2 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ π‘₯ ∈ (πΌβ€˜π‘†)} = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 ∈ (π‘β€˜π‘₯)})
181, 12, 173eqtr3a 2795 1 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜π‘†) = {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 ∈ (π‘β€˜π‘₯)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3425  Vcvv 3466   ∩ cin 3934   βŠ† wss 3935  π’« cpw 4587   class class class wbr 5132   ↦ cmpt 5215  βŸΆwf 6519  β€˜cfv 6523  (class class class)co 7384   ∈ cmpo 7386   ↑m cmap 8794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-id 5558  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-map 8796
This theorem is referenced by:  ntrneiel2  42520
  Copyright terms: Public domain W3C validator