Theorem ntrneiiex 44518

Description: If (pseudo-)interior and (pseudo-)neighborhood functions are related by the operator, 𝐹, then the interior function exists. (Contributed by RP, 29-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneiiex	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)

Proof of Theorem ntrneiiex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneif1o 44517	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
5		f1orel 6775	. . . 4 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → Rel 𝐹)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
7		releldm 5891	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐼𝐹𝑁) → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
8	6, 3, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
9		f1odm 6776	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → dom 𝐹 = (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
10	4, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
11	8, 10	eleqtrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5622  Rel wrel 5627  –1-1-onto→wf1o 6489  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360   ↑_m cmap 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8766

This theorem is referenced by:  ntrneifv1  44521  ntrneifv2  44522  ntrneiel  44523  ntrneifv4  44527  ntrneiel2  44528  ntrneicls00  44531  ntrneicls11  44532  ntrneiiso  44533  ntrneik2  44534  ntrneikb  44536  ntrneixb  44537  ntrneik3  44538  ntrneix3  44539  ntrneik13  44540  ntrneix13  44541  ntrneik4w  44542  ntrneik4  44543