Theorem ntrneiiex 44918

Description: If (pseudo-)interior and (pseudo-)neighborhood functions are related by the operator, 𝐹, then the interior function exists. (Contributed by RP, 29-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ntrneiiex	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝐼(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝑁(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)   𝑂(𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑚, 𝑙)

Proof of Theorem ntrneiiex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	1, 2, 3	ntrneif1o 44917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
5		f1orel 6824	. . . 4 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → Rel 𝐹)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐹)
7		releldm 5932	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐹 ∧ 𝐼𝐹𝑁) → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
8	6, 3, 7	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ dom 𝐹)
9		f1odm 6825	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵)–1-1-onto→(𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → dom 𝐹 = (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
10	4, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))
11	8, 10	eleqtrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝒫 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  –1-1-onto→wf1o 6536  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   ↑_m cmap 8829

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-map 8831

This theorem is used by:  ntrneifv1  44921  ntrneifv2  44922  ntrneiel  44923  ntrneifv4  44927  ntrneiel2  44928  ntrneicls00  44931  ntrneicls11  44932  ntrneiiso  44933  ntrneik2  44934  ntrneikb  44936  ntrneixb  44937  ntrneik3  44938  ntrneix3  44939  ntrneik13  44940  ntrneix13  44941  ntrneik4w  44942  ntrneik4  44943