Theorem ntrneineine0lem 43323

Description: If (pseudo-)interior and (pseudo-)neighborhood functions are related by the operator, 𝐹, then conditions equal to claiming that for every point, at least one (pseudo-)neighborbood exists hold equally. (Contributed by RP, 29-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrnei.o	⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
ntrnei.f	⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r	⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
ntrnei.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ntrneineine0lem	⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑋 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑁‘𝑋) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚   𝑁,𝑠   𝑋,𝑙,𝑚,𝑠   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐵(𝑠)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑙)   𝑂(𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem ntrneineine0lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrnei.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {𝑚 ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (𝑘‘𝑚)})))
2		ntrnei.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
3		ntrnei.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼𝐹𝑁)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
5		ntrnei.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8	1, 2, 4, 6, 7	ntrneiel 43321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)))
9	8	rexbidva 3168	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑋 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)))
10	1, 2, 3	ntrneinex 43317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵))
11		elmapi 8839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐵 ↑m 𝐵) → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝐵⟶𝒫 𝒫 𝐵)
13	12, 5	ffvelcdmd 7077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝒫 𝒫 𝐵)
14	13	elpwid 4603	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ⊆ 𝒫 𝐵)
15	14	sseld 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵))
16	15	pm4.71rd 562	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋))))
17	16	exbidv 1916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋))))
18	17	bicomd 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)) ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)))
19		df-rex 3063	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ ∃𝑠(𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋)))
20		n0 4338	. . 3 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ≠ ∅ ↔ ∃𝑠 𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋))
21	18, 19, 20	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠 ∈ (𝑁‘𝑋) ↔ (𝑁‘𝑋) ≠ ∅))
22	9, 21	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑋 ∈ (𝐼‘𝑠) ↔ (𝑁‘𝑋) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062  {crab 3424  Vcvv 3466  ∅c0 4314  𝒫 cpw 4594   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401   ∈ cmpo 7403   ↑_m cmap 8816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8818

This theorem is referenced by:  ntrneineine0  43327