Theorem ntrtop 23394

Description: The interior of a topology's underlying set is the entire set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrtop	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ntrtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 23230	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
3		ssid 3930	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
4	1	isopn3 23390	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋))
5	3, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋))
6	2, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6539  Topctop 23217  intcnt 23341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-top 23218  df-ntr 23344

This theorem is used by:  0ntr  23395  dvidlem  26241  dveflem  26305  ioccncflimc  46989  icocncflimc  46993