Theorem ntrtop 23421

Description: The interior of a topology's underlying set is the entire set. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrtop	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ntrtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 23257	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
3		ssid 3935	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
4	1	isopn3 23417	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ⊆ 𝑋) → (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋))
5	3, 4	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋))
6	2, 5	mpbid 235	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6561  Topctop 23244  intcnt 23368

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-top 23245  df-ntr 23371

This theorem is used by:  0ntr  23422  dvidlem  26268  dveflem  26332  ioccncflimc  47110  icocncflimc  47114