MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ntr 22574
Description: A subset with an empty interior cannot cover a whole (nonempty) topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
0ntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)

Proof of Theorem 0ntr
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4363 . . . . 5 (𝑋 βŠ† 𝑆 ↔ (𝑋 βˆ– 𝑆) = βˆ…)
2 eqss 3997 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 𝑋 ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆))
3 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑋 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹))
4 clscld.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = βˆͺ 𝐽
54ntrtop 22573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = 𝑋)
63, 5sylan9eqr 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑋)
76eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…))
87biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))
98ex 413 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 = 𝑋 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)))
102, 9biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)))
1110expd 416 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))))
1211com34 91 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆ…))))
1312imp32 419 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆ…))
141, 13biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ ((𝑋 βˆ– 𝑆) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))
1514necon3d 2961 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…))
1615imp 407 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)
1716an32s 650 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908  β€˜cfv 6543  Topctop 22394  intcnt 22520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22395  df-ntr 22523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator