MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ntr 22557
Description: A subset with an empty interior cannot cover a whole (nonempty) topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
0ntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem 0ntr
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4362 . . . . 5 (𝑋𝑆 ↔ (𝑋𝑆) = ∅)
2 eqss 3996 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 𝑋 ↔ (𝑆𝑋𝑋𝑆))
3 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑋 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
4 clscld.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = 𝐽
54ntrtop 22556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
63, 5sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑋)
76eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
87biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
98ex 414 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → (𝑆 = 𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
102, 9biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top → ((𝑆𝑋𝑋𝑆) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
1110expd 417 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (𝑋𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))))
1211com34 91 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top → (𝑆𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → (𝑋𝑆𝑋 = ∅))))
1312imp32 420 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋𝑆𝑋 = ∅))
141, 13biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → ((𝑋𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
1514necon3d 2962 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋𝑆) ≠ ∅))
1615imp 408 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋𝑆) ≠ ∅)
1716an32s 651 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋𝑆) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3944  wss 3947  c0 4321   cuni 4907  cfv 6540  Topctop 22377  intcnt 22503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-top 22378  df-ntr 22506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator