Theorem 0ntr 22965

Description: A subset with an empty interior cannot cover a whole (nonempty) topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
0ntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem 0ntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4332	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) = ∅)
2		eqss 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 𝑋 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆))
3		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝑋 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
4		clscld.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	ntrtop 22964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
6	3, 5	sylan9eqr 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑋)
7	6	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
8	7	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
9	8	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 = 𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
10	2, 9	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
11	10	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ⊆ 𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))))
12	11	com34 91	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → (𝑋 ⊆ 𝑆 → 𝑋 = ∅))))
13	12	imp32 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ⊆ 𝑆 → 𝑋 = ∅))
14	1, 13	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → ((𝑋 ∖ 𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
15	14	necon3d 2947	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)
17	16	an32s 652	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ∪ cuni 4874  ‘cfv 6514  Topctop 22787  intcnt 22911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-top 22788  df-ntr 22914

This theorem is referenced by: (None)