MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ntr 22969
Description: A subset with an empty interior cannot cover a whole (nonempty) topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
0ntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)

Proof of Theorem 0ntr
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4360 . . . . 5 (𝑋 βŠ† 𝑆 ↔ (𝑋 βˆ– 𝑆) = βˆ…)
2 eqss 3994 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 𝑋 ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆))
3 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑋 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹))
4 clscld.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = βˆͺ 𝐽
54ntrtop 22968 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = 𝑋)
63, 5sylan9eqr 2790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑋)
76eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…))
87biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))
98ex 412 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 = 𝑋 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)))
102, 9biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)))
1110expd 415 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))))
1211com34 91 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆ…))))
1312imp32 418 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆ…))
141, 13biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ ((𝑋 βˆ– 𝑆) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))
1514necon3d 2957 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…))
1615imp 406 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)
1716an32s 651 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945  βˆ…c0 4319  βˆͺ cuni 4904  β€˜cfv 6543  Topctop 22789  intcnt 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22790  df-ntr 22918
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator