Theorem 0ntr 21386

Description: A subset with an empty interior cannot cover a whole (nonempty) topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
0ntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem 0ntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4211	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) = ∅)
2		eqss 3875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 𝑋 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆))
3		fveq2 6501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝑋 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
4		clscld.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	ntrtop 21385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
6	3, 5	sylan9eqr 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑋)
7	6	eqeq1d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
8	7	biimpd 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
9	8	ex 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 = 𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
10	2, 9	syl5bir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
11	10	expd 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ⊆ 𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))))
12	11	com34 91	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → (𝑋 ⊆ 𝑆 → 𝑋 = ∅))))
13	12	imp32 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ⊆ 𝑆 → 𝑋 = ∅))
14	1, 13	syl5bir 235	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → ((𝑋 ∖ 𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
15	14	necon3d 2988	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imp 398	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)
17	16	an32s 639	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967   ∖ cdif 3828   ⊆ wss 3831  ∅c0 4180  ∪ cuni 4713  ‘cfv 6190  Topctop 21208  intcnt 21332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-top 21209  df-ntr 21335

This theorem is referenced by: (None)