Theorem 0ntr 23100

Description: A subset with an empty interior cannot cover a whole (nonempty) topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
0ntr	⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)

Proof of Theorem 0ntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssdif0 4389	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝑆 ↔ (𝑋 ∖ 𝑆) = ∅)
2		eqss 4024	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 = 𝑋 ↔ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆))
3		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑆 = 𝑋 → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ((int‘𝐽)‘𝑋))
4		clscld.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
5	4	ntrtop 23099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘𝑋) = 𝑋)
6	3, 5	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑋)
7	6	eqeq1d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ 𝑋 = ∅))
8	7	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
9	8	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 = 𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
10	2, 9	biimtrrid 243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅)))
11	10	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (𝑋 ⊆ 𝑆 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))))
12	11	com34 91	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑆 ⊆ 𝑋 → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ → (𝑋 ⊆ 𝑆 → 𝑋 = ∅))))
13	12	imp32 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ⊆ 𝑆 → 𝑋 = ∅))
14	1, 13	biimtrrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → ((𝑋 ∖ 𝑆) = ∅ → 𝑋 = ∅))
15	14	necon3d 2967	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ≠ ∅ → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅))
16	15	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)
17	16	an32s 651	1 ⊢ (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 ≠ ∅) ∧ (𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅)) → (𝑋 ∖ 𝑆) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∪ cuni 4931  ‘cfv 6573  Topctop 22920  intcnt 23046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-top 22921  df-ntr 23049

This theorem is referenced by: (None)