MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ntr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ntr 22445
Description: A subset with an empty interior cannot cover a whole (nonempty) topology. (Contributed by NM, 12-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
0ntr (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)

Proof of Theorem 0ntr
StepHypRef Expression
1 ssdif0 4327 . . . . 5 (𝑋 βŠ† 𝑆 ↔ (𝑋 βˆ– 𝑆) = βˆ…)
2 eqss 3963 . . . . . . . . 9 (𝑆 = 𝑋 ↔ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆))
3 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 = 𝑋 β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹))
4 clscld.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑋 = βˆͺ 𝐽
54ntrtop 22444 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘‹) = 𝑋)
63, 5sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = 𝑋)
76eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ 𝑋 = βˆ…))
87biimpd 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 = 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))
98ex 414 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 = 𝑋 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)))
102, 9biimtrrid 242 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top β†’ ((𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…)))
1110expd 417 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))))
1211com34 91 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ (𝑆 βŠ† 𝑋 β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆ…))))
1312imp32 420 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βŠ† 𝑆 β†’ 𝑋 = βˆ…))
141, 13biimtrrid 242 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ ((𝑋 βˆ– 𝑆) = βˆ… β†’ 𝑋 = βˆ…))
1514necon3d 2961 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 β‰  βˆ… β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…))
1615imp 408 . 2 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)
1716an32s 651 1 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ (𝑆 βŠ† 𝑋 ∧ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ…)) β†’ (𝑋 βˆ– 𝑆) β‰  βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  βˆͺ cuni 4869  β€˜cfv 6500  Topctop 22265  intcnt 22391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-top 22266  df-ntr 22394
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator