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Theorem dveflem 25832
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 16059, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11213 . . 3 0 ∈ ℂ
2 eqid 2731 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 24621 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
4 unicntop 24623 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
54ntrtop 22895 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
63, 5ax-mp 5 . . 3 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
71, 6eleqtrri 2831 . 2 0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ)
8 ax-1cn 11174 . . 3 1 ∈ ℂ
9 1rp 12985 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
10 ifcl 4573 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
119, 10mpan2 688 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
12 eldifsn 4790 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
13 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
1413subid1d 11567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
1514fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
1615breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ (abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)))
1713abscld 15390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
18 rpre 12989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20 1red 11222 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 1 ∈ ℝ)
21 ltmin 13180 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2217, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2316, 22bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
24 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
2524, 12sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
26 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
2726oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤𝑧 = 𝑤)
2927, 28oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
30 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
31 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6998 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
3325, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
3433fvoveq1d 7434 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
35 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
36 efcl 16033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
38 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
3937, 38subcld 11578 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
40 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ≠ 0)
4139, 35, 40divcld 11997 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
4241, 38subcld 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
4342abscld 15390 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
4435abscld 15390 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
45 simpll 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4645rpred 13023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 abscl 15232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
4847ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
4936ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
50 subcl 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5149, 8, 50sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
52 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
53 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ≠ 0)
5451, 52, 53divcld 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
55 1cnd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
5654, 55subcld 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5756abscld 15390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
5848, 57remulcld 11251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
5948resqcld 14097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
60 3re 12299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
61 4nn 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
62 nndivre 12260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
6360, 61, 62mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℝ
64 remulcl 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6559, 63, 64sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6651, 52subcld 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
6766, 52, 53divcan2d 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
6851, 52, 52, 53divsubdird 12036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
6952, 53dividd 11995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
7069oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7168, 70eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7271oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
7349, 55, 52subsub4d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
74 addcl 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
758, 52, 74sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
76 2nn0 12496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℕ0
77 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))
7877eftlcl 16057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
7952, 76, 78sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
80 df-2 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 = (1 + 1)
81 1nn0 12495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℕ0
82 1e0p1 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 = (0 + 1)
83 0nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℕ0
84 0cnd 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
8577efval2 16034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
8685ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
87 nn0uz 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 = (ℤ‘0)
8887sumeq1i 15651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
8986, 88eqtr2di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
9089oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
9149addlidd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
9290, 91eqtr2d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
93 eft0val 16062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9493ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9594oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
9695, 82eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
9777, 82, 83, 52, 84, 92, 96efsep 16060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
98 exp1 14040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
9998ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
10099oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
101 fac1 14244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (!‘1) = 1
102101oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
103100, 102eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
104 div1 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
105104ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
106103, 105eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
107106oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
10877, 80, 81, 52, 55, 97, 107efsep 16060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
10975, 79, 108mvrladdd 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11073, 109eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11167, 72, 1103eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
112111fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
11352, 56absmuld 15408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
114112, 113eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
115 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
116 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117 2nn 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
119 1red 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
120 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
12148, 119, 120ltled 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
12277, 115, 116, 118, 52, 121eftlub 16059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
123114, 122eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
124 df-3 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
125 fac2 14246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (!‘2) = 2
126125oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
127 2t2e4 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
128126, 127eqtr2i 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 = ((!‘2) · 2)
129124, 128oveq12i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
130129oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
131123, 130breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
13263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
13348sqge0d 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
134 1re 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
135 3lt4 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 < 4
136 4cn 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℂ
137136mulridi 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 1) = 4
138135, 137breqtrri 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 < (4 · 1)
139 4re 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
140 4pos 12326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 4
141139, 140pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142 ltdivmul 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
14360, 134, 141, 142mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
144138, 143mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 / 4) < 1
14563, 134, 144ltleii 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 / 4) ≤ 1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
147132, 119, 59, 133, 146lemul2ad 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
14848recnd 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
149148sqcld 14116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
150149mulridd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
151147, 150breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
15258, 65, 59, 131, 151letrd 11378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
153148sqvald 14115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
154152, 153breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
155 absgt0 15278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
156155ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
15753, 156mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
15848, 157elrpd 13020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ+)
15957, 48, 158lemul2d 13067 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
160154, 159mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
161160ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
162 simprl 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
16343, 44, 46, 161, 162lelttrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
16434, 163eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
165164ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
16623, 165sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
167166adantld 490 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
16812, 167sylan2b 593 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
169168ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170 brimralrspcev 5209 . . . . 5 ((if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
17111, 169, 170syl2anc 583 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172171rgen 3062 . . 3 𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
173 eldifi 4126 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
174 efcl 16033 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
176 1cnd 11216 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 1 ∈ ℂ)
177175, 176subcld 11578 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
178 eldifsni 4793 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
179177, 173, 178divcld 11997 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
18030, 179fmpti 7113 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
181180a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
182 difssd 4132 . . . . 5 (⊤ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
183 0cnd 11214 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
184181, 182, 183ellimc3 25729 . . . 4 (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
185184mptru 1547 . . 3 (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
1868, 172, 185mpbir2an 708 . 2 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)
1872cnfldtopon 24620 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
188187toponrestid 22744 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
189173subid1d 11567 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
190189oveq2d 7428 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
191 ef0 16041 . . . . . . . 8 (exp‘0) = 1
192191oveq2i 7423 . . . . . . 7 ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
193192oveq1i 7422 . . . . . 6 (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
194190, 193eqtr2di 2788 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
195194mpteq2ia 5251 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
196 ssidd 4005 . . . 4 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
197 eff 16032 . . . . 5 exp:ℂ⟶ℂ
198197a1i 11 . . . 4 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
199188, 2, 195, 196, 198, 196eldv 25748 . . 3 (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0))))
200199mptru 1547 . 2 (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)))
2017, 186, 200mpbir2an 708 1 0(ℂ D exp)1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  cdif 3945  ifcif 4528  {csn 4628   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  cc 11114  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  3c3 12275  4c4 12276  0cn0 12479  cuz 12829  +crp 12981  cexp 14034  !cfa 14240  abscabs 15188  Σcsu 15639  expce 16012  TopOpenctopn 17374  fldccnfld 21234  Topctop 22716  intcnt 22842   lim climc 25712   D cdv 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-rest 17375  df-topn 17376  df-topgen 17396  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-ntr 22845  df-cnp 23053  df-xms 24147  df-ms 24148  df-limc 25716  df-dv 25717
This theorem is referenced by:  dvef  25833
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