Theorem dveflem 25343

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 15991, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dveflem	⊢ 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11147	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3	2	cnfldtop 24147	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
4		unicntop 24149	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
5	4	ntrtop 22421	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
7	1, 6	eleqtrri 2837	. 2 ⊢ 0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ)
8		ax-1cn 11109	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		1rp 12919	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		ifcl 4531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
11	9, 10	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
12		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
13		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
15	14	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
16	15	breq1d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ (abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)))
17	13	abscld 15321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
18		rpre 12923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		1red 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 1 ∈ ℝ)
21		ltmin 13113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
23	16, 22	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
24		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
25	24, 12	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
26		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
27	26	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
28		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝑧 = 𝑤)
29	27, 28	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
30		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
31		ovex 7390	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
34	33	fvoveq1d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
35		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
36		efcl 15965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
38		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
40		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ≠ 0)
41	39, 35, 40	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
42	41, 38	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
43	42	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
44	35	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
45		simpll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		abscl 15163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
49	36	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
50		subcl 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
51	49, 8, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
52		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
53		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ≠ 0)
54	51, 52, 53	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
55		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15321	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
58	48, 57	remulcld 11185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
59	48	resqcld 14030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
60		3re 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		4nn 12236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
62		nndivre 12194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
63	60, 61, 62	mp2an 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
64		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
65	59, 63, 64	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
66	51, 52	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
67	66, 52, 53	divcan2d 11933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
68	51, 52, 52, 53	divsubdird 11970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
69	52, 53	dividd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
70	69	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
71	68, 70	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
72	71	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
73	49, 55, 52	subsub4d 11543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
74		addcl 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
75	8, 52, 74	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
76		2nn0 12430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ0
77		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))
78	77	eftlcl 15989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
79	52, 76, 78	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
80		df-2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 = (1 + 1)
81		1nn0 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℕ0
82		1e0p1 12660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 = (0 + 1)
83		0nn0 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ ℕ0
84		0cnd 11148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
85	77	efval2 15966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
86	85	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
87		nn0uz 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
88	87	sumeq1i 15583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
89	86, 88	eqtr2di 2793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
90	89	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
91	49	addid2d 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
92	90, 91	eqtr2d 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
93		eft0val 15994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
94	93	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
95	94	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
96	95, 82	eqtr4di 2794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 15992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
98		exp1 13973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
99	98	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
100	99	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
101		fac1 14177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (!‘1) = 1
102	101	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
103	100, 102	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
104		div1 11844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
105	104	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
106	103, 105	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
107	106	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 15992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
109	75, 79, 108	mvrladdd 11568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
110	73, 109	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
112	111	fveq2d 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
113	52, 56	absmuld 15339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
114	112, 113	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
115		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
116		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117		2nn 12226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
119		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
120		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
121	48, 119, 120	ltled 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 15991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
123	114, 122	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
124		df-3 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
125		fac2 14179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (!‘2) = 2
126	125	oveq1i 7367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
127		2t2e4 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 2) = 4
128	126, 127	eqtr2i 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 = ((!‘2) · 2)
129	124, 128	oveq12i 7369	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
130	129	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
131	123, 130	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
132	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
133	48	sqge0d 14042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
134		1re 11155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
135		3lt4 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 < 4
136		4cn 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℂ
137	136	mulid1i 11159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 1) = 4
138	135, 137	breqtrri 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 < (4 · 1)
139		4re 12237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
140		4pos 12260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 4
141	139, 140	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142		ltdivmul 12030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
144	138, 143	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 / 4) < 1
145	63, 134, 144	ltleii 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 / 4) ≤ 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 12095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
148	48	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
149	148	sqcld 14049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
150	149	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
151	147, 150	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 11312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
153	148	sqvald 14048	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
154	152, 153	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
155		absgt0 15209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
156	155	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
157	53, 156	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
158	48, 157	elrpd 12954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ+)
159	57, 48, 158	lemul2d 13001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
160	154, 159	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
161	160	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
162		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
163	43, 44, 46, 161, 162	lelttrd 11313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
164	34, 163	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
165	164	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
166	23, 165	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
167	166	adantld 491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
168	12, 167	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
169	168	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170		brimralrspcev 5166	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
171	11, 169, 170	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172	171	rgen 3066	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
173		eldifi 4086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
174		efcl 15965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
176		1cnd 11150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	subcld 11512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
178		eldifsni 4750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
179	177, 173, 178	divcld 11931	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
180	30, 179	fmpti 7060	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
181	180	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
182		difssd 4092	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
183		0cnd 11148	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
184	181, 182, 183	ellimc3 25243	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
185	184	mptru 1548	. . 3 ⊢ (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
186	8, 172, 185	mpbir2an 709	. 2 ⊢ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0)
187	2	cnfldtopon 24146	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
188	187	toponrestid 22270	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
189	173	subid1d 11501	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
190	189	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
191		ef0 15973	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘0) = 1
192	191	oveq2i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
193	192	oveq1i 7367	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
194	190, 193	eqtr2di 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
195	194	mpteq2ia 5208	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
196		ssidd 3967	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
197		eff 15964	. . . . 5 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
198	197	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
199	188, 2, 195, 196, 198, 196	eldv 25262	. . 3 ⊢ (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0))))
200	199	mptru 1548	. 2 ⊢ (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0)))
201	7, 186, 200	mpbir2an 709	1 ⊢ 0(ℂ D exp)1

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ∖ cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ↑cexp 13967  !cfa 14173  abscabs 15119  Σcsu 15570  expce 15944  TopOpenctopn 17303  ℂ_fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368   lim_ℂ climc 25226   D cdv 25227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-cnp 22579  df-xms 23673  df-ms 23674  df-limc 25230  df-dv 25231

This theorem is referenced by:  dvef  25344