dveflem - Metamath Proof Explorer

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Theorem dveflem 25731

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 16056, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem	⊢ 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11210	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
3	2	cnfldtop 24520	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top
4		unicntop 24522	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	ntrtop 22794	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) = ℂ)
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) = ℂ
7	1, 6	eleqtrri 2830	. 2 ⊢ 0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ)
8		ax-1cn 11170	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		1rp 12982	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
10		ifcl 4572	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ⁺)
11	9, 10	mpan2 687	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ⁺)
12		eldifsn 4789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
13		simprl 767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
15	14	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
16	15	breq1d 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ (abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)))
17	13	abscld 15387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
18		rpre 12986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		1red 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 1 ∈ ℝ)
21		ltmin 13177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
23	16, 22	bitrd 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
24		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
25	24, 12	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
26		fveq2 6890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
27	26	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
28		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝑧 = 𝑤)
29	27, 28	oveq12d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
30		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
31		ovex 7444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
34	33	fvoveq1d 7433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
35		simplrl 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
36		efcl 16030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
38		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
40		simplrr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ≠ 0)
41	39, 35, 40	divcld 11994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
42	41, 38	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
43	42	abscld 15387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
44	35	abscld 15387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
45		simpll 763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
46	45	rpred 13020	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		abscl 15229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
49	36	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
50		subcl 11463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
51	49, 8, 50	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
52		simpll 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
53		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ≠ 0)
54	51, 52, 53	divcld 11994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
55		1cnd 11213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
58	48, 57	remulcld 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
59	48	resqcld 14094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
60		3re 12296	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		4nn 12299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
62		nndivre 12257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
63	60, 61, 62	mp2an 688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
64		remulcl 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
65	59, 63, 64	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
66	51, 52	subcld 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
67	66, 52, 53	divcan2d 11996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
68	51, 52, 52, 53	divsubdird 12033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
69	52, 53	dividd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
70	69	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
71	68, 70	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
72	71	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
73	49, 55, 52	subsub4d 11606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
74		addcl 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
75	8, 52, 74	sylancr 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
76		2nn0 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
77		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))
78	77	eftlcl 16054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
79	52, 76, 78	sylancl 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
80		df-2 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 = (1 + 1)
81		1nn0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
82		1e0p1 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 = (0 + 1)
83		0nn0 12491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
84		0cnd 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
85	77	efval2 16031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
86	85	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
87		nn0uz 12868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
88	87	sumeq1i 15648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
89	86, 88	eqtr2di 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
90	89	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
91	49	addlidd 11419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
92	90, 91	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
93		eft0val 16059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
94	93	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
95	94	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
96	95, 82	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 16057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
98		exp1 14037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
99	98	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
100	99	oveq1d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
101		fac1 14241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (!‘1) = 1
102	101	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
103	100, 102	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
104		div1 11907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
105	104	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
106	103, 105	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
107	106	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 16057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
109	75, 79, 108	mvrladdd 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
110	73, 109	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
112	111	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
113	52, 56	absmuld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
114	112, 113	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
115		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
116		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117		2nn 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
119		1red 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
120		simpr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
121	48, 119, 120	ltled 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 16056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
123	114, 122	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
124		df-3 12280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
125		fac2 14243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (!‘2) = 2
126	125	oveq1i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
127		2t2e4 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 2) = 4
128	126, 127	eqtr2i 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 = ((!‘2) · 2)
129	124, 128	oveq12i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
130	129	oveq2i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
131	123, 130	breqtrrdi 5189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
132	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
133	48	sqge0d 14106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
134		1re 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
135		3lt4 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 < 4
136		4cn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℂ
137	136	mulridi 11222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 1) = 4
138	135, 137	breqtrri 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 < (4 · 1)
139		4re 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
140		4pos 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 4
141	139, 140	pm3.2i 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142		ltdivmul 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
144	138, 143	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 / 4) < 1
145	63, 134, 144	ltleii 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 / 4) ≤ 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 12158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
148	48	recnd 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
149	148	sqcld 14113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
150	149	mulridd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
151	147, 150	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 11375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
153	148	sqvald 14112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
154	152, 153	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
155		absgt0 15275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
156	155	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
157	53, 156	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
158	48, 157	elrpd 13017	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ⁺)
159	57, 48, 158	lemul2d 13064	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
160	154, 159	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
161	160	ad2ant2l 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
162		simprl 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
163	43, 44, 46, 161, 162	lelttrd 11376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
164	34, 163	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
165	164	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
166	23, 165	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
167	166	adantld 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
168	12, 167	sylan2b 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
169	168	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170		brimralrspcev 5208	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
171	11, 169, 170	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172	171	rgen 3061	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
173		eldifi 4125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
174		efcl 16030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
176		1cnd 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	subcld 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
178		eldifsni 4792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
179	177, 173, 178	divcld 11994	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
180	30, 179	fmpti 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
181	180	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
182		difssd 4131	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
183		0cnd 11211	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
184	181, 182, 183	ellimc3 25628	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
185	184	mptru 1546	. . 3 ⊢ (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
186	8, 172, 185	mpbir2an 707	. 2 ⊢ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0)
187	2	cnfldtopon 24519	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
188	187	toponrestid 22643	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)
189	173	subid1d 11564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
190	189	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
191		ef0 16038	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘0) = 1
192	191	oveq2i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
193	192	oveq1i 7421	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
194	190, 193	eqtr2di 2787	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
195	194	mpteq2ia 5250	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
196		ssidd 4004	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
197		eff 16029	. . . . 5 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
198	197	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
199	188, 2, 195, 196, 198, 196	eldv 25647	. . 3 ⊢ (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0))))
200	199	mptru 1546	. 2 ⊢ (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0)))
201	7, 186, 200	mpbir2an 707	1 ⊢ 0(ℂ D exp)1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 394 = wceq 1539 ⊤wtru 1540 ∈ wcel 2104 ≠ wne 2938 ∀wral 3059 ∃wrex 3068 ∖ cdif 3944 ifcif 4527 {csn 4627 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ⟶wf 6538 ‘cfv 6542 (class class class)co 7411 ℂcc 11110 ℝcr 11111 0cc0 11112 1c1 11113 + caddc 11115 · cmul 11117 < clt 11252 ≤ cle 11253 − cmin 11448 / cdiv 11875 ℕcn 12216 2c2 12271 3c3 12272 4c4 12273 ℕ₀cn0 12476 ℤ_≥cuz 12826 ℝ⁺crp 12978 ↑cexp 14031 !cfa 14237 abscabs 15185 Σcsu 15636 expce 16009 TopOpenctopn 17371 ℂ_fldccnfld 21144 Topctop 22615 intcnt 22741 lim_ℂ climc 25611 D cdv 25612

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1911 ax-6 1969 ax-7 2009 ax-8 2106 ax-9 2114 ax-10 2135 ax-11 2152 ax-12 2169 ax-ext 2701 ax-rep 5284 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7727 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 844 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2532 df-eu 2561 df-clab 2708 df-cleq 2722 df-clel 2808 df-nfc 2883 df-ne 2939 df-nel 3045 df-ral 3060 df-rex 3069 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3474 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-tp 4632 df-op 4634 df-uni 4908 df-int 4950 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-se 5631 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-isom 6551 df-riota 7367 df-ov 7414 df-oprab 7415 df-mpo 7416 df-om 7858 df-1st 7977 df-2nd 7978 df-frecs 8268 df-wrecs 8299 df-recs 8373 df-rdg 8412 df-1o 8468 df-er 8705 df-map 8824 df-pm 8825 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-fi 9408 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-q 12937 df-rp 12979 df-xneg 13096 df-xadd 13097 df-xmul 13098 df-ico 13334 df-fz 13489 df-fzo 13632 df-fl 13761 df-seq 13971 df-exp 14032 df-fac 14238 df-hash 14295 df-shft 15018 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-limsup 15419 df-clim 15436 df-rlim 15437 df-sum 15637 df-ef 16015 df-struct 17084 df-slot 17119 df-ndx 17131 df-base 17149 df-plusg 17214 df-mulr 17215 df-starv 17216 df-tset 17220 df-ple 17221 df-ds 17223 df-unif 17224 df-rest 17372 df-topn 17373 df-topgen 17393 df-psmet 21136 df-xmet 21137 df-met 21138 df-bl 21139 df-mopn 21140 df-cnfld 21145 df-top 22616 df-topon 22633 df-topsp 22655 df-bases 22669 df-ntr 22744 df-cnp 22952 df-xms 24046 df-ms 24047 df-limc 25615 df-dv 25616

This theorem is referenced by: dvef 25732

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