dveflem - Metamath Proof Explorer

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Theorem dveflem 25940

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 16132, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
dveflem	⊢ 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11232	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
3	2	cnfldtop 24727	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top
4		unicntop 24729	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	ntrtop 23013	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) = ℂ)
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) = ℂ
7	1, 6	eleqtrri 2834	. 2 ⊢ 0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ)
8		ax-1cn 11192	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		1rp 13017	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ⁺
10		ifcl 4551	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ 1 ∈ ℝ⁺) → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ⁺)
11	9, 10	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ⁺)
12		eldifsn 4767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
13		simprl 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
14	13	subid1d 11588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
15	14	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
16	15	breq1d 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ (abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)))
17	13	abscld 15460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
18		rpre 13022	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → 𝑥 ∈ ℝ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		1red 11241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 1 ∈ ℝ)
21		ltmin 13215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
23	16, 22	bitrd 279	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
24		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
25	24, 12	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
26		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
27	26	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
28		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝑧 = 𝑤)
29	27, 28	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
30		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
31		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ V
32	29, 30, 31	fvmpt 6991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
33	25, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
34	33	fvoveq1d 7432	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
35		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
36		efcl 16103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
38		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
39	37, 38	subcld 11599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
40		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ≠ 0)
41	39, 35, 40	divcld 12022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
42	41, 38	subcld 11599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
43	42	abscld 15460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
44	35	abscld 15460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
45		simpll 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ⁺)
46	45	rpred 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		abscl 15302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
49	36	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
50		subcl 11486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
51	49, 8, 50	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
52		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
53		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ≠ 0)
54	51, 52, 53	divcld 12022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
55		1cnd 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
57	56	abscld 15460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
58	48, 57	remulcld 11270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
59	48	resqcld 14148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
60		3re 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		4nn 12328	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
62		nndivre 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
63	60, 61, 62	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
64		remulcl 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
65	59, 63, 64	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
66	51, 52	subcld 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
67	66, 52, 53	divcan2d 12024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
68	51, 52, 52, 53	divsubdird 12061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
69	52, 53	dividd 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
70	69	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
71	68, 70	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
72	71	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
73	49, 55, 52	subsub4d 11630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
74		addcl 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
75	8, 52, 74	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
76		2nn0 12523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
77		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))
78	77	eftlcl 16130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ₀) → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
79	52, 76, 78	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
80		df-2 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 = (1 + 1)
81		1nn0 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
82		1e0p1 12755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 = (0 + 1)
83		0nn0 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ ℕ₀
84		0cnd 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
85	77	efval2 16105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
86	85	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
87		nn0uz 12899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
88	87	sumeq1i 15718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ₀ ((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
89	86, 88	eqtr2di 2788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
90	89	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
91	49	addlidd 11441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
92	90, 91	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
93		eft0val 16135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
94	93	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
95	94	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
96	95, 82	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 16133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘1)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
98		exp1 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
99	98	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
100	99	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
101		fac1 14300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (!‘1) = 1
102	101	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
103	100, 102	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
104		div1 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
105	104	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
106	103, 105	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
107	106	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 16133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
109	75, 79, 108	mvrladdd 11655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
110	73, 109	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
112	111	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
113	52, 56	absmuld 15478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
114	112, 113	eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
115		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
116		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117		2nn 12318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
119		1red 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
120		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
121	48, 119, 120	ltled 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 16132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ_≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ₀ ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
123	114, 122	eqbrtrrd 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
124		df-3 12309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
125		fac2 14302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (!‘2) = 2
126	125	oveq1i 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
127		2t2e4 12409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 2) = 4
128	126, 127	eqtr2i 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 = ((!‘2) · 2)
129	124, 128	oveq12i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
130	129	oveq2i 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
131	123, 130	breqtrrdi 5166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
132	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
133	48	sqge0d 14160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
134		1re 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
135		3lt4 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 < 4
136		4cn 12330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℂ
137	136	mulridi 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 1) = 4
138	135, 137	breqtrri 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 < (4 · 1)
139		4re 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
140		4pos 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 4
141	139, 140	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142		ltdivmul 12122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
144	138, 143	mpbir 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 / 4) < 1
145	63, 134, 144	ltleii 11363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 / 4) ≤ 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 12187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
148	48	recnd 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
149	148	sqcld 14167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
150	149	mulridd 11257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
151	147, 150	breqtrd 5150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 11397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
153	148	sqvald 14166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
154	152, 153	breqtrd 5150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
155		absgt0 15348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
156	155	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
157	53, 156	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
158	48, 157	elrpd 13053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ⁺)
159	57, 48, 158	lemul2d 13100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
160	154, 159	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
161	160	ad2ant2l 746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
162		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
163	43, 44, 46, 161, 162	lelttrd 11398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
164	34, 163	eqbrtrd 5146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
165	164	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
166	23, 165	sylbid 240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
167	166	adantld 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
168	12, 167	sylan2b 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ⁺ ∧ 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
169	168	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170		brimralrspcev 5185	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
171	11, 169, 170	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ⁺ → ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172	171	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
173		eldifi 4111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
174		efcl 16103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
176		1cnd 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	subcld 11599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
178		eldifsni 4771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
179	177, 173, 178	divcld 12022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
180	30, 179	fmpti 7107	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
181	180	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
182		difssd 4117	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
183		0cnd 11233	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
184	181, 182, 183	ellimc3 25837	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
185	184	mptru 1547	. . 3 ⊢ (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ⁺ ∃𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
186	8, 172, 185	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0)
187	2	cnfldtopon 24726	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
188	187	toponrestid 22864	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)
189	173	subid1d 11588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
190	189	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
191		ef0 16112	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘0) = 1
192	191	oveq2i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
193	192	oveq1i 7420	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
194	190, 193	eqtr2di 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
195	194	mpteq2ia 5221	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
196		ssidd 3987	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
197		eff 16102	. . . . 5 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
198	197	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
199	188, 2, 195, 196, 198, 196	eldv 25856	. . 3 ⊢ (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0))))
200	199	mptru 1547	. 2 ⊢ (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂ_fld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim_ℂ 0)))
201	7, 186, 200	mpbir2an 711	1 ⊢ 0(ℂ D exp)1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1540 ⊤wtru 1541 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 ∃wrex 3061 ∖ cdif 3928 ifcif 4505 {csn 4606 class class class wbr 5124 ↦ cmpt 5206 ⟶wf 6532 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ℂcc 11132 ℝcr 11133 0cc0 11134 1c1 11135 + caddc 11137 · cmul 11139 < clt 11274 ≤ cle 11275 − cmin 11471 / cdiv 11899 ℕcn 12245 2c2 12300 3c3 12301 4c4 12302 ℕ₀cn0 12506 ℤ_≥cuz 12857 ℝ⁺crp 13013 ↑cexp 14084 !cfa 14296 abscabs 15258 Σcsu 15707 expce 16082 TopOpenctopn 17440 ℂ_fldccnfld 21320 Topctop 22836 intcnt 22960 lim_ℂ climc 25820 D cdv 25821

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-rep 5254 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-inf2 9660 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211 ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-tp 4611 df-op 4613 df-uni 4889 df-int 4928 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-se 5612 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-isom 6545 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-er 8724 df-map 8847 df-pm 8848 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-fin 8968 df-fi 9428 df-sup 9459 df-inf 9460 df-oi 9529 df-card 9958 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-div 11900 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-7 12313 df-8 12314 df-9 12315 df-n0 12507 df-z 12594 df-dec 12714 df-uz 12858 df-q 12970 df-rp 13014 df-xneg 13133 df-xadd 13134 df-xmul 13135 df-ico 13373 df-fz 13530 df-fzo 13677 df-fl 13814 df-seq 14025 df-exp 14085 df-fac 14297 df-hash 14354 df-shft 15091 df-cj 15123 df-re 15124 df-im 15125 df-sqrt 15259 df-abs 15260 df-limsup 15492 df-clim 15509 df-rlim 15510 df-sum 15708 df-ef 16088 df-struct 17171 df-slot 17206 df-ndx 17218 df-base 17234 df-plusg 17289 df-mulr 17290 df-starv 17291 df-tset 17295 df-ple 17296 df-ds 17298 df-unif 17299 df-rest 17441 df-topn 17442 df-topgen 17462 df-psmet 21312 df-xmet 21313 df-met 21314 df-bl 21315 df-mopn 21316 df-cnfld 21321 df-top 22837 df-topon 22854 df-topsp 22876 df-bases 22889 df-ntr 22963 df-cnp 23171 df-xms 24264 df-ms 24265 df-limc 25824 df-dv 25825

This theorem is referenced by: dvef 25941

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