MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dveflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dveflem 25496
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 16052, to show that abs(exp(π‘₯) βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯) ≀ abs(π‘₯)↑2 Β· (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem 0(β„‚ D exp)1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11206 . . 3 0 ∈ β„‚
2 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
32cnfldtop 24300 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
4 unicntop 24302 . . . . 5 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54ntrtop 22574 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top β†’ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚)
63, 5ax-mp 5 . . 3 ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) = β„‚
71, 6eleqtrri 2833 . 2 0 ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚)
8 ax-1cn 11168 . . 3 1 ∈ β„‚
9 1rp 12978 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
10 ifcl 4574 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) ∈ ℝ+)
119, 10mpan2 690 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) ∈ ℝ+)
12 eldifsn 4791 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↔ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
13 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1413subid1d 11560 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
1514fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘€))
1615breq1d 5159 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) ↔ (absβ€˜π‘€) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1)))
1713abscld 15383 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
18 rpre 12982 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
1918adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
20 1red 11215 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 1 ∈ ℝ)
21 ltmin 13173 . . . . . . . . . . 11 (((absβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘€) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) ↔ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)))
2217, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ ((absβ€˜π‘€) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) ↔ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)))
2316, 22bitrd 279 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) ↔ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)))
24 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
2524, 12sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
26 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑀 β†’ (expβ€˜π‘§) = (expβ€˜π‘€))
2726oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) = ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1))
28 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑀 β†’ 𝑧 = 𝑀)
2927, 28oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑀 β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧) = (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀))
30 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))
31 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) ∈ V
3229, 30, 31fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) = (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀))
3325, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) = (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀))
3433fvoveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) = (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)))
35 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
36 efcl 16026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (expβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
38 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
3937, 38subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
40 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ 𝑀 β‰  0)
4139, 35, 40divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) ∈ β„‚)
4241, 38subcld 11571 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
4342abscld 15383 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
4435abscld 15383 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
45 simpll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4645rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
47 abscl 15225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
4936ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
50 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((expβ€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5149, 8, 50sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
52 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
53 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 𝑀 β‰  0)
5451, 52, 53divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) ∈ β„‚)
55 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 1 ∈ β„‚)
5654, 55subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5756abscld 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
5848, 57remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
5948resqcld 14090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€)↑2) ∈ ℝ)
60 3re 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
61 4nn 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ β„•
62 nndivre 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ β„•) β†’ (3 / 4) ∈ ℝ)
6360, 61, 62mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℝ
64 remulcl 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((absβ€˜π‘€)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ∈ ℝ)
6559, 63, 64sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ∈ ℝ)
6651, 52subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚)
6766, 52, 53divcan2d 11992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀)) = (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀))
6851, 52, 52, 53divsubdird 12029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀) = ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 𝑀)))
6952, 53dividd 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 / 𝑀) = 1)
7069oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 𝑀)) = ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))
7168, 70eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀) = ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))
7271oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀)) = (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)))
7349, 55, 52subsub4d 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) = ((expβ€˜π‘€) βˆ’ (1 + 𝑀)))
74 addcl 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (1 + 𝑀) ∈ β„‚)
758, 52, 74sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (1 + 𝑀) ∈ β„‚)
76 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ β„•0
77 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
7877eftlcl 16050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7952, 76, 78sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
80 df-2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 = (1 + 1)
81 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ β„•0
82 1e0p1 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 = (0 + 1)
83 0nn0 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ β„•0
84 0cnd 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 0 ∈ β„‚)
8577efval2 16027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘€) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
87 nn0uz 12864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8887sumeq1i 15644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)
8986, 88eqtr2di 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (expβ€˜π‘€))
9089oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = (0 + (expβ€˜π‘€)))
9149addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + (expβ€˜π‘€)) = (expβ€˜π‘€))
9290, 91eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = (0 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
93 eft0val 16055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀↑0) / (!β€˜0)) = 1)
9493ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑0) / (!β€˜0)) = 1)
9594oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + ((𝑀↑0) / (!β€˜0))) = (0 + 1))
9695, 82eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + ((𝑀↑0) / (!β€˜0))) = 1)
9777, 82, 83, 52, 84, 92, 96efsep 16053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = (1 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
98 exp1 14033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑀↑1) = 𝑀)
9998ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀↑1) = 𝑀)
10099oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑1) / (!β€˜1)) = (𝑀 / (!β€˜1)))
101 fac1 14237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (!β€˜1) = 1
102101oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 / (!β€˜1)) = (𝑀 / 1)
103100, 102eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑1) / (!β€˜1)) = (𝑀 / 1))
104 div1 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 / 1) = 𝑀)
105104ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 / 1) = 𝑀)
106103, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑1) / (!β€˜1)) = 𝑀)
107106oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (1 + ((𝑀↑1) / (!β€˜1))) = (1 + 𝑀))
10877, 80, 81, 52, 55, 97, 107efsep 16053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = ((1 + 𝑀) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
10975, 79, 108mvrladdd 11627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ (1 + 𝑀)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
11073, 109eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
11167, 72, 1103eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
112111fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
11352, 56absmuld 15401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))))
114112, 113eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))))
115 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((absβ€˜π‘€)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((absβ€˜π‘€)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
116 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((((absβ€˜π‘€)↑2) / (!β€˜2)) Β· ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((((absβ€˜π‘€)↑2) / (!β€˜2)) Β· ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117 2nn 12285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 2 ∈ β„•)
119 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
120 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) < 1)
12148, 119, 120ltled 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ 1)
12277, 115, 116, 118, 52, 121eftlub 16052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2))))
123114, 122eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2))))
124 df-3 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
125 fac2 14239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (!β€˜2) = 2
126125oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!β€˜2) Β· 2) = (2 Β· 2)
127 2t2e4 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 Β· 2) = 4
128126, 127eqtr2i 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 = ((!β€˜2) Β· 2)
129124, 128oveq12i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2))
130129oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) = (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2)))
131123, 130breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)))
13263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (3 / 4) ∈ ℝ)
13348sqge0d 14102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜π‘€)↑2))
134 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
135 3lt4 12386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 < 4
136 4cn 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ β„‚
137136mulridi 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 Β· 1) = 4
138135, 137breqtrri 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 < (4 Β· 1)
139 4re 12296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
140 4pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 4
141139, 140pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142 ltdivmul 12089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) β†’ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 Β· 1)))
14360, 134, 141, 142mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 Β· 1))
144138, 143mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 / 4) < 1
14563, 134, 144ltleii 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 / 4) ≀ 1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (3 / 4) ≀ 1)
147132, 119, 59, 133, 146lemul2ad 12154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· 1))
14848recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
149148sqcld 14109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€)↑2) ∈ β„‚)
150149mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· 1) = ((absβ€˜π‘€)↑2))
151147, 150breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ≀ ((absβ€˜π‘€)↑2))
15258, 65, 59, 131, 151letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ ((absβ€˜π‘€)↑2))
153148sqvald 14108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€)↑2) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘€)))
154152, 153breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘€)))
155 absgt0 15271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜π‘€)))
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 β‰  0 ↔ 0 < (absβ€˜π‘€)))
15753, 156mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 0 < (absβ€˜π‘€))
15848, 157elrpd 13013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
15957, 48, 158lemul2d 13060 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ≀ (absβ€˜π‘€) ↔ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘€))))
160154, 159mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ≀ (absβ€˜π‘€))
161160ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ≀ (absβ€˜π‘€))
162 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘€) < π‘₯)
16343, 44, 46, 161, 162lelttrd 11372 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) < π‘₯)
16434, 163eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)
165164ex 414 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
16623, 165sylbid 239 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
167166adantld 492 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ ((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
16812, 167sylan2b 595 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ (β„‚ βˆ– {0})) β†’ ((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
169168ralrimiva 3147 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
170 brimralrspcev 5210 . . . . 5 ((if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < if(π‘₯ ≀ 1, π‘₯, 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
17111, 169, 170syl2anc 585 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
172171rgen 3064 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)
173 eldifi 4127 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
174 efcl 16026 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (expβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
176 1cnd 11209 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 1 ∈ β„‚)
177175, 176subcld 11571 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ ((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
178 eldifsni 4794 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ 𝑧 β‰  0)
179177, 173, 178divcld 11990 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧) ∈ β„‚)
18030, 179fmpti 7112 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)):(β„‚ βˆ– {0})βŸΆβ„‚
181180a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)):(β„‚ βˆ– {0})βŸΆβ„‚)
182 difssd 4133 . . . . 5 (⊀ β†’ (β„‚ βˆ– {0}) βŠ† β„‚)
183 0cnd 11207 . . . . 5 (⊀ β†’ 0 ∈ β„‚)
184181, 182, 183ellimc3 25396 . . . 4 (⊀ β†’ (1 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))))
185184mptru 1549 . . 3 (1 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ (β„‚ βˆ– {0})((𝑀 β‰  0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)))
1868, 172, 185mpbir2an 710 . 2 1 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0)
1872cnfldtopon 24299 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
188187toponrestid 22423 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt β„‚)
189173subid1d 11560 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
190189oveq2d 7425 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / (𝑧 βˆ’ 0)) = (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / 𝑧))
191 ef0 16034 . . . . . . . 8 (expβ€˜0) = 1
192191oveq2i 7420 . . . . . . 7 ((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) = ((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1)
193192oveq1i 7419 . . . . . 6 (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / 𝑧) = (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)
194190, 193eqtr2di 2790 . . . . 5 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧) = (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / (𝑧 βˆ’ 0)))
195194mpteq2ia 5252 . . . 4 (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / (𝑧 βˆ’ 0)))
196 ssidd 4006 . . . 4 (⊀ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
197 eff 16025 . . . . 5 exp:β„‚βŸΆβ„‚
198197a1i 11 . . . 4 (⊀ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
199188, 2, 195, 196, 198, 196eldv 25415 . . 3 (⊀ β†’ (0(β„‚ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0))))
200199mptru 1549 . 2 (0(β„‚ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((intβ€˜(TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (β„‚ βˆ– {0}) ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0)))
2017, 186, 200mpbir2an 710 1 0(β„‚ D exp)1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  β„•0cn0 12472  β„€β‰₯cuz 12822  β„+crp 12974  β†‘cexp 14027  !cfa 14233  abscabs 15181  Ξ£csu 15632  expce 16005  TopOpenctopn 17367  β„‚fldccnfld 20944  Topctop 22395  intcnt 22521   limβ„‚ climc 25379   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-ntr 22524  df-cnp 22732  df-xms 23826  df-ms 23827  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dvef  25497
  Copyright terms: Public domain W3C validator