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Theorem dveflem 24142
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 15212, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10349 . . 3 0 ∈ ℂ
2 eqid 2826 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
32cnfldtop 22958 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
42cnfldtopon 22957 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
54toponunii 21092 . . . . 5 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
65ntrtop 21246 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ)
73, 6ax-mp 5 . . 3 ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) = ℂ
81, 7eleqtrri 2906 . 2 0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ)
9 ax-1cn 10311 . . 3 1 ∈ ℂ
10 1rp 12117 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
11 ifcl 4351 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
1210, 11mpan2 684 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+)
13 eldifsn 4537 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
14 simprl 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
1514subid1d 10703 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
1615fveq2d 6438 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
1716breq1d 4884 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ (abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)))
1814abscld 14553 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
19 rpre 12121 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2019adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 1red 10358 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → 1 ∈ ℝ)
22 ltmin 12314 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1496 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘𝑤) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2417, 23bitrd 271 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
25 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
2625, 13sylibr 226 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}))
27 fveq2 6434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
2827oveq1d 6921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
29 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤𝑧 = 𝑤)
3028, 29oveq12d 6924 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
31 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
32 ovex 6938 . . . . . . . . . . . . . 14 (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
3426, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
3534fvoveq1d 6928 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
36 simplrl 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
37 efcl 15186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
39 1cnd 10352 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
4038, 39subcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
41 simplrr 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ≠ 0)
4240, 36, 41divcld 11128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
4342, 39subcld 10714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
4443abscld 14553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
4536abscld 14553 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
46 simpll 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rpred 12157 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 abscl 14396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
4948ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
5037ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
51 subcl 10601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5250, 9, 51sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
53 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
54 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ≠ 0)
5552, 53, 54divcld 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
56 1cnd 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
5755, 56subcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5857abscld 14553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
5949, 58remulcld 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
6049resqcld 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
61 3re 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
62 4nn 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
63 nndivre 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
6461, 62, 63mp2an 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℝ
65 remulcl 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6660, 64, 65sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6752, 53subcld 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
6867, 53, 54divcan2d 11130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
6952, 53, 53, 54divsubdird 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
7053, 54dividd 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
7170oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7269, 71eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7372oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
7450, 56, 53subsub4d 10745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
75 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))
76 df-2 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 = (1 + 1)
77 1nn0 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ ℕ0
78 1e0p1 11865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 = (0 + 1)
79 0nn0 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ∈ ℕ0
80 0cnd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
8175efval2 15187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
8281ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
83 nn0uz 12005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 = (ℤ‘0)
8483sumeq1i 14806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
8582, 84syl6req 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
8685oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
8750addid2d 10557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
8886, 87eqtr2d 2863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
89 eft0val 15215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9089ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9190oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
9291, 78syl6eqr 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
9375, 78, 79, 53, 80, 88, 92efsep 15213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
94 exp1 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
9594ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
9695oveq1d 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
97 fac1 13358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (!‘1) = 1
9897oveq2i 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
9996, 98syl6eq 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
100 div1 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
101100ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
10299, 101eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
103102oveq2d 6922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
10475, 76, 77, 53, 56, 93, 103efsep 15213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
105104eqcomd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (exp‘𝑤))
106 addcl 10335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
1079, 53, 106sylancr 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
108 2nn0 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ0
10975eftlcl 15210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
11053, 108, 109sylancl 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
11150, 107, 110subaddd 10732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ↔ ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (exp‘𝑤)))
112105, 111mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11374, 112eqtrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11468, 73, 1133eqtr3d 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
115114fveq2d 6438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
11653, 57absmuld 14571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
117115, 116eqtr3d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
118 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
119 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
120 2nn 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
122 1red 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
123 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
12449, 122, 123ltled 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
12575, 118, 119, 121, 53, 124eftlub 15212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
126117, 125eqbrtrrd 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
127 df-3 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
128 fac2 13360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (!‘2) = 2
129128oveq1i 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
130 2t2e4 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
131129, 130eqtr2i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 = ((!‘2) · 2)
132127, 131oveq12i 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
133132oveq2i 6917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
134126, 133syl6breqr 4916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
13564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
13649sqge0d 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
137 1re 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
138 3lt4 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 < 4
139 4cn 11438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℂ
140139mulid1i 10362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 1) = 4
141138, 140breqtrri 4901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 < (4 · 1)
142 4re 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
143 4pos 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 4
144142, 143pm3.2i 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
145 ltdivmul 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
14661, 137, 144, 145mp3an 1591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
147141, 146mpbir 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 / 4) < 1
14864, 137, 147ltleii 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 / 4) ≤ 1
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
150135, 122, 60, 136, 149lemul2ad 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
15149recnd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
152151sqcld 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
153152mulid1d 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
154150, 153breqtrd 4900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
15559, 66, 60, 134, 154letrd 10514 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
156151sqvald 13300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
157155, 156breqtrd 4900 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
158 absgt0 14442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
159158ad2antrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 ≠ 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
16054, 159mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
16149, 160elrpd 12154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ+)
16258, 49, 161lemul2d 12201 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
163157, 162mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
164163ad2ant2l 754 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
165 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
16644, 45, 47, 164, 165lelttrd 10515 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
16735, 166eqbrtrd 4896 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
168167ex 403 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
16924, 168sylbid 232 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170169adantld 486 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0)) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
17113, 170sylan2b 589 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172171ralrimiva 3176 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
173 brimralrspcev 4935 . . . . 5 ((if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < if(𝑥 ≤ 1, 𝑥, 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
17412, 172, 173syl2anc 581 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
175174rgen 3132 . . 3 𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
176 eldifi 3960 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ∈ ℂ)
177 efcl 15186 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
178176, 177syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
179 1cnd 10352 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 1 ∈ ℂ)
180178, 179subcld 10714 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
181 eldifsni 4541 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → 𝑧 ≠ 0)
182180, 176, 181divcld 11128 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
18331, 182fmpti 6632 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ
184183a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
185 difssd 3966 . . . . 5 (⊤ → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
186 0cnd 10350 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
187184, 185, 186ellimc3 24043 . . . 4 (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
188187mptru 1666 . . 3 (1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ (ℂ ∖ {0})((𝑤 ≠ 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
1899, 175, 188mpbir2an 704 . 2 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)
1904toponrestid 21097 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
191176subid1d 10703 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (𝑧 − 0) = 𝑧)
192191oveq2d 6922 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
193 ef0 15194 . . . . . . . 8 (exp‘0) = 1
194193oveq2i 6917 . . . . . . 7 ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
195194oveq1i 6916 . . . . . 6 (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
196192, 195syl6req 2879 . . . . 5 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
197196mpteq2ia 4964 . . . 4 (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
198 ssidd 3850 . . . 4 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
199 eff 15185 . . . . 5 exp:ℂ⟶ℂ
200199a1i 11 . . . 4 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
201190, 2, 197, 198, 200, 198eldv 24062 . . 3 (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0))))
202201mptru 1666 . 2 (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(TopOpen‘ℂfld))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)))
2038, 189, 202mpbir2an 704 1 0(ℂ D exp)1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1658  wtru 1659  wcel 2166  wne 3000  wral 3118  wrex 3119  cdif 3796  ifcif 4307  {csn 4398   class class class wbr 4874  cmpt 4953  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258   < clt 10392  cle 10393  cmin 10586   / cdiv 11010  cn 11351  2c2 11407  3c3 11408  4c4 11409  0cn0 11619  cuz 11969  +crp 12113  cexp 13155  !cfa 13354  abscabs 14352  Σcsu 14794  expce 15165  TopOpenctopn 16436  fldccnfld 20107  Topctop 21069  intcnt 21193   lim climc 24026   D cdv 24027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ico 12470  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-ef 15171  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-rest 16437  df-topn 16438  df-topgen 16458  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-ntr 21196  df-cnp 21404  df-xms 22496  df-ms 22497  df-limc 24030  df-dv 24031
This theorem is referenced by:  dvef  24143
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