Theorem nvadd4 28035

Description: Rearrangement of 4 terms in a vector sum. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgcl.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvadd4	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐶)𝐺(𝐵𝐺𝐷)))

Proof of Theorem nvadd4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvablo 28026	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ AbelOp)
3		nvgcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 28014	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5	4	ablo4 27960	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐶)𝐺(𝐵𝐺𝐷)))
6	2, 5	syl3an1 1208	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐵)𝐺(𝐶𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐶)𝐺(𝐵𝐺𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  AbelOpcablo 27954  NrmCVeccnv 27994   +_𝑣 cpv 27995  BaseSetcba 27996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-grpo 27903  df-ablo 27955  df-vc 27969  df-nv 28002  df-va 28005  df-ba 28006  df-sm 28007  df-0v 28008  df-nmcv 28010

This theorem is referenced by:  nvaddsub4  28067