MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvadd4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvadd4 30383
Description: Rearrangement of 4 terms in a vector sum. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvgcl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvgcl.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvadd4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐢)𝐺(𝐡𝐺𝐷)))

Proof of Theorem nvadd4
StepHypRef Expression
1 nvgcl.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
21nvablo 30374 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ AbelOp)
3 nvgcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
43, 1bafval 30362 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
54ablo4 30308 . 2 ((𝐺 ∈ AbelOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐢)𝐺(𝐡𝐺𝐷)))
62, 5syl3an1 1160 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐢)𝐺(𝐡𝐺𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  AbelOpcablo 30302  NrmCVeccnv 30342   +𝑣 cpv 30343  BaseSetcba 30344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-grpo 30251  df-ablo 30303  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-nmcv 30358
This theorem is referenced by:  nvaddsub4  30415
  Copyright terms: Public domain W3C validator