MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvaddsub4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvaddsub4 29910
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvpncan2.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvpncan2.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvpncan2.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvaddsub4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑀𝐢)𝐺(𝐡𝑀𝐷)))
Proof of Theorem nvaddsub4
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12326 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
2 nvpncan2.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nvpncan2.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
52, 3, 4nvdi 29883 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
61, 5mp3anr1 1459 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
763adant2 1132 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
87oveq2d 7425 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
92, 4nvscl 29879 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋)
101, 9mp3an2 1450 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋)
112, 4nvscl 29879 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋)
121, 11mp3an2 1450 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋)
1310, 12anim12dan 620 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋))
14133adant2 1132 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋))
152, 3nvadd4 29878 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
1614, 15syld3an3 1410 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
178, 16eqtrd 2773 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
18 simp1 1137 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
192, 3nvgcl 29873 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
20193expb 1121 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
21203adant3 1133 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
222, 3nvgcl 29873 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
23223expb 1121 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
24233adant2 1132 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
25 nvpncan2.3 . . . 4 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
262, 3, 4, 25nvmval 29895 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))))
2718, 21, 24, 26syl3anc 1372 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))))
282, 3, 4, 25nvmval 29895 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)))
29283adant3r 1182 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)))
30293adant2r 1180 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)))
312, 3, 4, 25nvmval 29895 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑀𝐷) = (𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
32313adant3l 1181 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑀𝐷) = (𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
33323adant2l 1179 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑀𝐷) = (𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
3430, 33oveq12d 7427 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀𝐢)𝐺(𝐡𝑀𝐷)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
3517, 27, 343eqtr4d 2783 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑀𝐢)𝐺(𝐡𝑀𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  1c1 11111  -cneg 11445  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840   βˆ’π‘£ cnsb 29842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853
This theorem is referenced by:  vacn  29947  minvecolem2  30128
  Copyright terms: Public domain W3C validator