MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvaddsub4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvaddsub4 30511
Description: Rearrangement of 4 terms in a mixed vector addition and subtraction. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvpncan2.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvpncan2.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvpncan2.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvaddsub4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑀𝐢)𝐺(𝐡𝑀𝐷)))
Proof of Theorem nvaddsub4
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12356 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
2 nvpncan2.1 . . . . . . 7 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 nvpncan2.2 . . . . . . 7 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
4 eqid 2725 . . . . . . 7 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
52, 3, 4nvdi 30484 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
61, 5mp3anr1 1454 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
763adant2 1128 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
87oveq2d 7432 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
92, 4nvscl 30480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋)
101, 9mp3an2 1445 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋)
112, 4nvscl 30480 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ β„‚ ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋)
121, 11mp3an2 1445 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋)
1310, 12anim12dan 617 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋))
14133adant2 1128 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋))
152, 3nvadd4 30479 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢) ∈ 𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷) ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
1614, 15syld3an3 1406 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
178, 16eqtrd 2765 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
18 simp1 1133 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ π‘ˆ ∈ NrmCVec)
192, 3nvgcl 30474 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
20193expb 1117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
21203adant3 1129 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋)
222, 3nvgcl 30474 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
23223expb 1117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
24233adant2 1128 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋)
25 nvpncan2.3 . . . 4 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
262, 3, 4, 25nvmval 30496 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝐺𝐡) ∈ 𝑋 ∧ (𝐢𝐺𝐷) ∈ 𝑋) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))))
2718, 21, 24, 26syl3anc 1368 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝐺𝐡)𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)(𝐢𝐺𝐷))))
282, 3, 4, 25nvmval 30496 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)))
29283adant3r 1178 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)))
30293adant2r 1176 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐢) = (𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢)))
312, 3, 4, 25nvmval 30496 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋) β†’ (𝐡𝑀𝐷) = (𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
32313adant3l 1177 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑀𝐷) = (𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
33323adant2l 1175 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐡𝑀𝐷) = (𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷)))
3430, 33oveq12d 7434 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝑀𝐢)𝐺(𝐡𝑀𝐷)) = ((𝐴𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐢))𝐺(𝐡𝐺(-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐷))))
3517, 27, 343eqtr4d 2775 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐡)𝑀(𝐢𝐺𝐷)) = ((𝐴𝑀𝐢)𝐺(𝐡𝑀𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  1c1 11139  -cneg 11475  NrmCVeccnv 30438   +𝑣 cpv 30439  BaseSetcba 30440   ·𝑠OLD cns 30441   βˆ’π‘£ cnsb 30443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-ltxr 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-grpo 30347  df-gid 30348  df-ginv 30349  df-gdiv 30350  df-ablo 30399  df-vc 30413  df-nv 30446  df-va 30449  df-ba 30450  df-sm 30451  df-0v 30452  df-vs 30453  df-nmcv 30454
This theorem is referenced by:  vacn  30548  minvecolem2  30729
  Copyright terms: Public domain W3C validator