Theorem nvrcan 31108

Description: Right cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgcl.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvrcan	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐶) = (𝐵𝐺𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem nvrcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 31101	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvgcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 31088	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5	4	grporcan 31002	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐶) = (𝐵𝐺𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))
6	2, 5	sylan 592	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴𝐺𝐶) = (𝐵𝐺𝐶) ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  GrpOpcgr 30973  NrmCVeccnv 31068   +_𝑣 cpv 31069  BaseSetcba 31070

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-grpo 30977  df-gid 30978  df-ablo 31029  df-vc 31043  df-nv 31076  df-va 31079  df-ba 31080  df-sm 31081  df-0v 31082  df-nmcv 31084

This theorem is used by:  nvmeq0  31142  imsmetlem  31174