MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvrcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvrcan 29877
Description: Right cancellation law for vector addition. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvgcl.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvgcl.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvrcan ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐢) = (𝐡𝐺𝐢) ↔ 𝐴 = 𝐡))

Proof of Theorem nvrcan
StepHypRef Expression
1 nvgcl.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
21nvgrp 29870 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvgcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
43, 1bafval 29857 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
54grporcan 29771 . 2 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐢) = (𝐡𝐺𝐢) ↔ 𝐴 = 𝐡))
62, 5sylan 581 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐴𝐺𝐢) = (𝐡𝐺𝐢) ↔ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  GrpOpcgr 29742  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853
This theorem is referenced by:  nvmeq0  29911  imsmetlem  29943
  Copyright terms: Public domain W3C validator