Theorem nvablo 31245

Description: The vector addition operation of a normed complex vector space is an Abelian group. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
nvabl.1	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvablo	⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ AbelOp)

Proof of Theorem nvablo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1st ‘𝑈) = (1st ‘𝑈)
2	1	nvvc 31244	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → (1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD)
3		nvabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
4	3	vafval 31232	. . 3 ⊢ 𝐺 = (1st ‘(1st ‘𝑈))
5	4	vcablo 31198	. 2 ⊢ ((1st ‘𝑈) ∈ CVecOLD → 𝐺 ∈ AbelOp)
6	2, 5	syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ AbelOp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6555  1^st c1st 8020  AbelOpcablo 31173  CVec_OLDcvc 31187  NrmCVeccnv 31213   +_𝑣 cpv 31214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-nmcv 31229

This theorem is used by:  nvgrp  31246  nvcom  31250  nvadd32  31252  nvadd4  31254  nvnnncan1  31276  nvaddsub  31284