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Theorem caragenuncllem 44031
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncllem.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncllem.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncllem.e (𝜑𝐸𝑆)
caragenuncllem.f (𝜑𝐹𝑆)
caragenuncllem.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenuncllem.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
caragenuncllem (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝐴))

Proof of Theorem caragenuncllem
StepHypRef Expression
1 caragenuncllem.o . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuncllem.s . . . . . 6 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3 caragenuncllem.x . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑂
4 caragenuncllem.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
5 caragenuncllem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
65ssinss1d 42577 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ⊆ 𝑋)
71, 2, 3, 4, 6caragensplit 44019 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))))
87eqcomd 2744 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) = ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))))
9 inass 4153 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸))
10 incom 4134 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ (𝐸𝐹))
11 inabs 4189 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (𝐸𝐹)) = 𝐸
1210, 11eqtri 2766 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸) = 𝐸
1312ineq2i 4143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸)) = (𝐴𝐸)
149, 13eqtri 2766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴𝐸)
1514fveq2i 6769 . . . . . 6 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) = (𝑂‘(𝐴𝐸))
16 incom 4134 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐹 ∩ (𝐴𝐸))
17 indifcom 4206 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∩ (𝐴𝐸)) = (𝐴 ∩ (𝐹𝐸))
1816, 17eqtr2i 2767 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐹𝐸)) = ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)
1918eqcomi 2747 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐴 ∩ (𝐹𝐸))
20 difundir 4214 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸) = ((𝐸𝐸) ∪ (𝐹𝐸))
21 difid 4304 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝐸) = ∅
2221uneq1i 4092 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐸) ∪ (𝐹𝐸)) = (∅ ∪ (𝐹𝐸))
23 0un 4326 . . . . . . . . . 10 (∅ ∪ (𝐹𝐸)) = (𝐹𝐸)
2420, 22, 233eqtrri 2771 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐸) = ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸)
2524ineq2i 4143 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐹𝐸)) = (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸))
26 indif2 4204 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸)) = ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸)
2719, 25, 263eqtrri 2771 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸) = ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)
2827fveq2i 6769 . . . . . 6 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸)) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))
2915, 28oveq12i 7279 . . . . 5 ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)))
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
31 eqidd 2739 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
328, 30, 313eqtrd 2782 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
33 difun1 4223 . . . . 5 (𝐴 ∖ (𝐸𝐹)) = ((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)
3433fveq2i 6769 . . . 4 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))
3534a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))
3632, 35oveq12d 7285 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))))
375ssinss1d 42577 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
381, 3, 37omexrcl 44026 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ*)
391, 3, 37omecl 44022 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
4039xrge0nemnfd 42852 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞)
4138, 40jca 512 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞))
42 caragenuncllem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑆)
431, 2, 42, 3caragenelss 44020 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑋)
4443ssinss2d 42589 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) ⊆ 𝑋)
451, 3, 44omexrcl 44026 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ*)
461, 3, 44omecl 44022 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
4746xrge0nemnfd 42852 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞)
4845, 47jca 512 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞))
495ssdifssd 4076 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
5049ssdifssd 4076 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐸) ∖ 𝐹) ⊆ 𝑋)
511, 3, 50omexrcl 44026 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ*)
521, 3, 50omecl 44022 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
5352xrge0nemnfd 42852 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞)
5451, 53jca 512 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞))
55 xaddass 12993 . . 3 ((((𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞) ∧ ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞) ∧ ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞)) → (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))))
5641, 48, 54, 55syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))))
571, 2, 3, 42, 49caragensplit 44019 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = (𝑂‘(𝐴𝐸)))
5857oveq2d 7283 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))
591, 2, 3, 4, 5caragensplit 44019 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))) = (𝑂𝐴))
6058, 59eqtrd 2778 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))) = (𝑂𝐴))
6136, 56, 603eqtrd 2782 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cdif 3883  cun 3884  cin 3885  wss 3886  c0 4256   cuni 4839  dom cdm 5584  cfv 6426  (class class class)co 7267  -∞cmnf 11017  *cxr 11018   +𝑒 cxad 12856  OutMeascome 44008  CaraGenccaragen 44010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-addass 10946  ax-i2m1 10949  ax-rnegex 10952  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-id 5484  df-po 5498  df-so 5499  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-1st 7820  df-2nd 7821  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-xadd 12859  df-icc 13096  df-ome 44009  df-caragen 44011
This theorem is referenced by:  caragenuncl  44032
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