Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncllem 44827
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncllem.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncllem.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenuncllem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncllem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
caragenuncllem.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
caragenuncllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
caragenuncllem (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π΄))

Proof of Theorem caragenuncllem
StepHypRef Expression
1 caragenuncllem.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuncllem.s . . . . . 6 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
3 caragenuncllem.x . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
4 caragenuncllem.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
5 caragenuncllem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
65ssinss1d 43330 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βŠ† 𝑋)
71, 2, 3, 4, 6caragensplit 44815 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))))
87eqcomd 2743 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))))
9 inass 4184 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸))
10 incom 4166 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))
11 inabs 4220 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) = 𝐸
1210, 11eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸) = 𝐸
1312ineq2i 4174 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸)) = (𝐴 ∩ 𝐸)
149, 13eqtri 2765 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴 ∩ 𝐸)
1514fveq2i 6850 . . . . . 6 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) = (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸))
16 incom 4166 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐹 ∩ (𝐴 βˆ– 𝐸))
17 indifcom 4237 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∩ (𝐴 βˆ– 𝐸)) = (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸))
1816, 17eqtr2i 2766 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)
1918eqcomi 2746 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸))
20 difundir 4245 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸) = ((𝐸 βˆ– 𝐸) βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸))
21 difid 4335 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 βˆ– 𝐸) = βˆ…
2221uneq1i 4124 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 βˆ– 𝐸) βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = (βˆ… βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸))
23 0un 4357 . . . . . . . . . 10 (βˆ… βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = (𝐹 βˆ– 𝐸)
2420, 22, 233eqtrri 2770 . . . . . . . . 9 (𝐹 βˆ– 𝐸) = ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸)
2524ineq2i 4174 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸))
26 indif2 4235 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸)) = ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸)
2719, 25, 263eqtrri 2770 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸) = ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)
2827fveq2i 6850 . . . . . 6 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸)) = (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))
2915, 28oveq12i 7374 . . . . 5 ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)))
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))))
31 eqidd 2738 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))))
328, 30, 313eqtrd 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))))
33 difun1 4254 . . . . 5 (𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)) = ((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)
3433fveq2i 6850 . . . 4 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))
3534a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))
3632, 35oveq12d 7380 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))))
375ssinss1d 43330 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐸) βŠ† 𝑋)
381, 3, 37omexrcl 44822 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ ℝ*)
391, 3, 37omecl 44818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
4039xrge0nemnfd 43640 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) β‰  -∞)
4138, 40jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) β‰  -∞))
42 caragenuncllem.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
431, 2, 42, 3caragenelss 44816 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝑋)
4443ssinss2d 43342 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹) βŠ† 𝑋)
451, 3, 44omexrcl 44822 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ*)
461, 3, 44omecl 44818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
4746xrge0nemnfd 43640 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) β‰  -∞)
4845, 47jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) β‰  -∞))
495ssdifssd 4107 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
5049ssdifssd 4107 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹) βŠ† 𝑋)
511, 3, 50omexrcl 44822 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ ℝ*)
521, 3, 50omecl 44818 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
5352xrge0nemnfd 43640 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) β‰  -∞)
5451, 53jca 513 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) β‰  -∞))
55 xaddass 13175 . . 3 ((((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) β‰  -∞) ∧ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) β‰  -∞) ∧ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) β‰  -∞)) β†’ (((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))))
5641, 48, 54, 55syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))))
571, 2, 3, 42, 49caragensplit 44815 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))) = (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– 𝐸)))
5857oveq2d 7378 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– 𝐸))))
591, 2, 3, 4, 5caragensplit 44815 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π΄))
6058, 59eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π΄))
6136, 56, 603eqtrd 2781 1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆͺ cuni 4870  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   +𝑒 cxad 13038  OutMeascome 44804  CaraGenccaragen 44806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-addass 11123  ax-i2m1 11126  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-xadd 13041  df-icc 13278  df-ome 44805  df-caragen 44807
This theorem is referenced by:  caragenuncl  44828
  Copyright terms: Public domain W3C validator