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Theorem caragenuncllem 42801
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncllem.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncllem.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
caragenuncllem.e (𝜑𝐸𝑆)
caragenuncllem.f (𝜑𝐹𝑆)
caragenuncllem.x 𝑋 = dom 𝑂
caragenuncllem.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
caragenuncllem (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝐴))

Proof of Theorem caragenuncllem
StepHypRef Expression
1 caragenuncllem.o . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuncllem.s . . . . . 6 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
3 caragenuncllem.x . . . . . 6 𝑋 = dom 𝑂
4 caragenuncllem.e . . . . . 6 (𝜑𝐸𝑆)
5 caragenuncllem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
65ssinss1d 41317 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ⊆ 𝑋)
71, 2, 3, 4, 6caragensplit 42789 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))))
87eqcomd 2829 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) = ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))))
9 inass 4198 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸))
10 incom 4180 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ (𝐸𝐹))
11 inabs 4234 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (𝐸𝐹)) = 𝐸
1210, 11eqtri 2846 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸) = 𝐸
1312ineq2i 4188 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∩ 𝐸)) = (𝐴𝐸)
149, 13eqtri 2846 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴𝐸)
1514fveq2i 6675 . . . . . 6 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) = (𝑂‘(𝐴𝐸))
16 incom 4180 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐹 ∩ (𝐴𝐸))
17 indifcom 4251 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∩ (𝐴𝐸)) = (𝐴 ∩ (𝐹𝐸))
1816, 17eqtr2i 2847 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐹𝐸)) = ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)
1918eqcomi 2832 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐴 ∩ (𝐹𝐸))
20 difundir 4259 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸) = ((𝐸𝐸) ∪ (𝐹𝐸))
21 difid 4332 . . . . . . . . . . 11 (𝐸𝐸) = ∅
2221uneq1i 4137 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐸) ∪ (𝐹𝐸)) = (∅ ∪ (𝐹𝐸))
23 0un 4348 . . . . . . . . . 10 (∅ ∪ (𝐹𝐸)) = (𝐹𝐸)
2420, 22, 233eqtrri 2851 . . . . . . . . 9 (𝐹𝐸) = ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸)
2524ineq2i 4188 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐹𝐸)) = (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸))
26 indif2 4249 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸𝐹) ∖ 𝐸)) = ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸)
2719, 25, 263eqtrri 2851 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸) = ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)
2827fveq2i 6675 . . . . . 6 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸)) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))
2915, 28oveq12i 7170 . . . . 5 ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)))
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴 ∩ (𝐸𝐹)) ∖ 𝐸))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
31 eqidd 2824 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
328, 30, 313eqtrd 2862 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))))
33 difun1 4266 . . . . 5 (𝐴 ∖ (𝐸𝐹)) = ((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)
3433fveq2i 6675 . . . 4 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))
3534a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹))) = (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))
3632, 35oveq12d 7176 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))))
375ssinss1d 41317 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
381, 3, 37omexrcl 42796 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ*)
391, 3, 37omecl 42792 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
4039xrge0nemnfd 41607 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞)
4138, 40jca 514 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞))
42 caragenuncllem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝑆)
431, 2, 42, 3caragenelss 42790 . . . . . 6 (𝜑𝐹𝑋)
4443ssinss2d 41329 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐸) ∩ 𝐹) ⊆ 𝑋)
451, 3, 44omexrcl 42796 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ*)
461, 3, 44omecl 42792 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
4746xrge0nemnfd 41607 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞)
4845, 47jca 514 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞))
495ssdifssd 4121 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐸) ⊆ 𝑋)
5049ssdifssd 4121 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐸) ∖ 𝐹) ⊆ 𝑋)
511, 3, 50omexrcl 42796 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ*)
521, 3, 50omecl 42792 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
5352xrge0nemnfd 41607 . . . 4 (𝜑 → (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞)
5451, 53jca 514 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞))
55 xaddass 12645 . . 3 ((((𝑂‘(𝐴𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴𝐸)) ≠ -∞) ∧ ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) ≠ -∞) ∧ ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)) ≠ -∞)) → (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))))
5641, 48, 54, 55syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))))
571, 2, 3, 42, 49caragensplit 42789 . . . 4 (𝜑 → ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹))) = (𝑂‘(𝐴𝐸)))
5857oveq2d 7174 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))) = ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))))
591, 2, 3, 4, 5caragensplit 42789 . . 3 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 (𝑂‘(𝐴𝐸))) = (𝑂𝐴))
6058, 59eqtrd 2858 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴𝐸)) +𝑒 ((𝑂‘((𝐴𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (𝑂‘((𝐴𝐸) ∖ 𝐹)))) = (𝑂𝐴))
6136, 56, 603eqtrd 2862 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐸𝐹))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐸𝐹)))) = (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3018  cdif 3935  cun 3936  cin 3937  wss 3938  c0 4293   cuni 4840  dom cdm 5557  cfv 6357  (class class class)co 7158  -∞cmnf 10675  *cxr 10676   +𝑒 cxad 12508  OutMeascome 42778  CaraGenccaragen 42780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-addass 10604  ax-i2m1 10607  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-xadd 12511  df-icc 12748  df-ome 42779  df-caragen 42781
This theorem is referenced by:  caragenuncl  42802
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