Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caragenuncllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caragenuncllem 45527
Description: The Caratheodory's construction is closed under the union. Step (c) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caragenuncllem.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caragenuncllem.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caragenuncllem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
caragenuncllem.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
caragenuncllem.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
caragenuncllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
Assertion
Ref Expression
caragenuncllem (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π΄))

Proof of Theorem caragenuncllem
StepHypRef Expression
1 caragenuncllem.o . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caragenuncllem.s . . . . . 6 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
3 caragenuncllem.x . . . . . 6 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
4 caragenuncllem.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑆)
5 caragenuncllem.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† 𝑋)
65ssinss1d 44037 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βŠ† 𝑋)
71, 2, 3, 4, 6caragensplit 45515 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))))
87eqcomd 2737 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))))
9 inass 4219 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸))
10 incom 4201 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))
11 inabs 4255 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) = 𝐸
1210, 11eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸) = 𝐸
1312ineq2i 4209 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) ∩ 𝐸)) = (𝐴 ∩ 𝐸)
149, 13eqtri 2759 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸) = (𝐴 ∩ 𝐸)
1514fveq2i 6894 . . . . . 6 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) = (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸))
16 incom 4201 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐹 ∩ (𝐴 βˆ– 𝐸))
17 indifcom 4272 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∩ (𝐴 βˆ– 𝐸)) = (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸))
1816, 17eqtr2i 2760 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)
1918eqcomi 2740 . . . . . . . 8 ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹) = (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸))
20 difundir 4280 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸) = ((𝐸 βˆ– 𝐸) βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸))
21 difid 4370 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 βˆ– 𝐸) = βˆ…
2221uneq1i 4159 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 βˆ– 𝐸) βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = (βˆ… βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸))
23 0un 4392 . . . . . . . . . 10 (βˆ… βˆͺ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = (𝐹 βˆ– 𝐸)
2420, 22, 233eqtrri 2764 . . . . . . . . 9 (𝐹 βˆ– 𝐸) = ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸)
2524ineq2i 4209 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ (𝐹 βˆ– 𝐸)) = (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸))
26 indif2 4270 . . . . . . . 8 (𝐴 ∩ ((𝐸 βˆͺ 𝐹) βˆ– 𝐸)) = ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸)
2719, 25, 263eqtrri 2764 . . . . . . 7 ((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸) = ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)
2827fveq2i 6894 . . . . . 6 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸)) = (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))
2915, 28oveq12i 7424 . . . . 5 ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)))
3029a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹)) βˆ– 𝐸))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))))
31 eqidd 2732 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))))
328, 30, 313eqtrd 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))))
33 difun1 4289 . . . . 5 (𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)) = ((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)
3433fveq2i 6894 . . . 4 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))
3534a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹))) = (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))
3632, 35oveq12d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))))
375ssinss1d 44037 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ 𝐸) βŠ† 𝑋)
381, 3, 37omexrcl 45522 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ ℝ*)
391, 3, 37omecl 45518 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ (0[,]+∞))
4039xrge0nemnfd 44341 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) β‰  -∞)
4138, 40jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) β‰  -∞))
42 caragenuncllem.f . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑆)
431, 2, 42, 3caragenelss 45516 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 βŠ† 𝑋)
4443ssinss2d 44049 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹) βŠ† 𝑋)
451, 3, 44omexrcl 45522 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ*)
461, 3, 44omecl 45518 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
4746xrge0nemnfd 44341 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) β‰  -∞)
4845, 47jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) β‰  -∞))
495ssdifssd 4142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ– 𝐸) βŠ† 𝑋)
5049ssdifssd 4142 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹) βŠ† 𝑋)
511, 3, 50omexrcl 45522 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ ℝ*)
521, 3, 50omecl 45518 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ (0[,]+∞))
5352xrge0nemnfd 44341 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) β‰  -∞)
5451, 53jca 511 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) β‰  -∞))
55 xaddass 13233 . . 3 ((((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) β‰  -∞) ∧ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) β‰  -∞) ∧ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)) β‰  -∞)) β†’ (((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))))
5641, 48, 54, 55syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))))
571, 2, 3, 42, 49caragensplit 45515 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹))) = (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– 𝐸)))
5857oveq2d 7428 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))) = ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– 𝐸))))
591, 2, 3, 4, 5caragensplit 45515 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– 𝐸))) = (π‘‚β€˜π΄))
6058, 59eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ 𝐸)) +𝑒 ((π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) ∩ 𝐹)) +𝑒 (π‘‚β€˜((𝐴 βˆ– 𝐸) βˆ– 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π΄))
6136, 56, 603eqtrd 2775 1 (πœ‘ β†’ ((π‘‚β€˜(𝐴 ∩ (𝐸 βˆͺ 𝐹))) +𝑒 (π‘‚β€˜(𝐴 βˆ– (𝐸 βˆͺ 𝐹)))) = (π‘‚β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ cuni 4908  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   +𝑒 cxad 13095  OutMeascome 45504  CaraGenccaragen 45506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-addass 11179  ax-i2m1 11182  ax-rnegex 11185  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-xadd 13098  df-icc 13336  df-ome 45505  df-caragen 45507
This theorem is referenced by:  caragenuncl  45528
  Copyright terms: Public domain W3C validator