Theorem omexrcl 47108

Description: The outer measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omexrcl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omexrcl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omexrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omexrcl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem omexrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13453	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omexrcl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omexrcl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omexrcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	omecl 47104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3943	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4873  dom cdm 5659  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  +∞cpnf 11236  ℝ^*cxr 11238  [,]cicc 13371  OutMeascome 47090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-xr 11243  df-icc 13375  df-ome 47091

This theorem is referenced by:  omessre  47111  caragenuncllem  47113  omeiunltfirp  47120  caratheodorylem1  47127  caratheodorylem2  47128  caragenel2d  47133  omess0  47135  caragencmpl  47136