Theorem omexrcl 46953

Description: The outer measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omexrcl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omexrcl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omexrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omexrcl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem omexrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13374	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omexrcl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omexrcl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omexrcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	omecl 46949	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3920	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169  [,]cicc 13292  OutMeascome 46935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-xr 11174  df-icc 13296  df-ome 46936

This theorem is referenced by:  omessre  46956  caragenuncllem  46958  omeiunltfirp  46965  caratheodorylem1  46972  caratheodorylem2  46973  caragenel2d  46978  omess0  46980  caragencmpl  46981