Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omexrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omexrcl 46463
Description: The outer measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omexrcl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omexrcl.x 𝑋 = dom 𝑂
omexrcl.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omexrcl (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem omexrcl
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13467 . 2 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 omexrcl.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omexrcl.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
4 omexrcl.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
52, 3, 4omecl 46459 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3993 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   cuni 4912  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  *cxr 11292  [,]cicc 13387  OutMeascome 46445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-xr 11297  df-icc 13391  df-ome 46446
This theorem is referenced by:  omessre  46466  caragenuncllem  46468  omeiunltfirp  46475  caratheodorylem1  46482  caratheodorylem2  46483  caragenel2d  46488  omess0  46490  caragencmpl  46491
  Copyright terms: Public domain W3C validator