Theorem omexrcl 45776

Description: The outer measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omexrcl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omexrcl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omexrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omexrcl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem omexrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13410	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omexrcl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omexrcl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omexrcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	omecl 45772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3975	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4902  dom cdm 5669  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  ℝ^*cxr 11248  [,]cicc 13330  OutMeascome 45758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-xr 11253  df-icc 13334  df-ome 45759

This theorem is referenced by:  omessre  45779  caragenuncllem  45781  omeiunltfirp  45788  caratheodorylem1  45795  caratheodorylem2  45796  caragenel2d  45801  omess0  45803  caragencmpl  45804