Theorem omexrcl 46478

Description: The outer measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omexrcl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omexrcl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omexrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omexrcl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem omexrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13367	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omexrcl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omexrcl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omexrcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	omecl 46474	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sselid 3941	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ∪ cuni 4867  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183  [,]cicc 13285  OutMeascome 46460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-xr 11188  df-icc 13289  df-ome 46461

This theorem is referenced by:  omessre  46481  caragenuncllem  46483  omeiunltfirp  46490  caratheodorylem1  46497  caratheodorylem2  46498  caragenel2d  46503  omess0  46505  caragencmpl  46506