Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omexrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omexrcl 45897
Description: The outer measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omexrcl.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omexrcl.x 𝑋 = dom 𝑂
omexrcl.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
omexrcl (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem omexrcl
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13445 . 2 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 omexrcl.o . . 3 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omexrcl.x . . 3 𝑋 = dom 𝑂
4 omexrcl.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
52, 3, 4omecl 45893 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
61, 5sselid 3978 1 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3947   cuni 4910  dom cdm 5680  cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  +∞cpnf 11281  *cxr 11283  [,]cicc 13365  OutMeascome 45879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-xr 11288  df-icc 13369  df-ome 45880
This theorem is referenced by:  omessre  45900  caragenuncllem  45902  omeiunltfirp  45909  caratheodorylem1  45916  caratheodorylem2  45917  caragenel2d  45922  omess0  45924  caragencmpl  45925
  Copyright terms: Public domain W3C validator