Theorem omexrcl 43146

Description: The outer measure of a set is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omexrcl.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omexrcl.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omexrcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omexrcl	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem omexrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12808	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omexrcl.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omexrcl.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omexrcl.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
5	2, 3, 4	omecl 43142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
6	1, 5	sseldi 3913	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ∪ cuni 4800  dom cdm 5519  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663  [,]cicc 12729  OutMeascome 43128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-xr 10668  df-icc 12733  df-ome 43129

This theorem is referenced by:  omessre  43149  caragenuncllem  43151  omeiunltfirp  43158  caratheodorylem1  43165  caratheodorylem2  43166  caragenel2d  43171  omess0  43173  caragencmpl  43174