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Theorem omeiunltfirp 44834
Description: If the outer measure of a countable union is not +∞, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunltfirp.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
omeiunltfirp.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
omeiunltfirp.e (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋)
omeiunltfirp.re (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
omeiunltfirp.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝑛,𝑋   𝑧,π‘Œ   𝑛,𝑍,𝑧   πœ‘,𝑛,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧,𝑛)   𝑋(𝑧)   π‘Œ(𝑛)

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
21fvexi 6861 . . . . 5 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ 𝑍 ∈ V)
4 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
54adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
6 omeiunltfirp.x . . . . . . 7 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
7 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋)
87ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋)
9 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
109elpw 4569 . . . . . . . 8 ((πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
118, 10sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
125, 6, 11omecl 44818 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
13 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
1412, 13fmptd 7067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):π‘βŸΆ(0[,]+∞))
1514adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):π‘βŸΆ(0[,]+∞))
16 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞)
17 omeiunltfirp.re . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
1817adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
193, 15, 16, 18sge0pnffigt 44711 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧)))
20 simpl 484 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧))) β†’ (πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)))
21 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧))) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧)))
22 elpwinss 43331 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑍)
2322resmptd 5999 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))
2423fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
2524adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧))) β†’ (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
2621, 25breqtrd 5136 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧))) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
2726adantll 713 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧))) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
2817rexrd 11212 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
30 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
327ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋)
3322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 𝑧 βŠ† 𝑍)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 𝑛 ∈ 𝑧)
3533, 34sseldd 3950 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
3635adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 𝑛 ∈ 𝑍)
3732, 36ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋)
3837, 10sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
3931, 6, 38omecl 44818 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
40 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
4139, 40fmptd 7067 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):π‘§βŸΆ(0[,]+∞))
4230, 41sge0xrcl 44700 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
4342adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
44 elinel2 4161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
4544adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
46 rge0ssre 13380 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
47 0xr 11209 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 0 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
5131, 6, 38omexrcl 44822 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
52 iccgelb 13327 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞)) β†’ 0 ≀ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
5348, 50, 39, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ 0 ≀ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
5411ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
55 iunss 5010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
5654, 55sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
5831, 6, 57omexrcl 44822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
59 ssiun2 5012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›))
6131, 6, 57, 60omessle 44813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)))
6217ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < +∞)
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < +∞)
6451, 58, 50, 61, 63xrlelttrd 13086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) < +∞)
6548, 50, 51, 53, 64elicod 13321 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,)+∞))
6646, 65sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
6745, 66fsumrecl 15626 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
68 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
6968rpred 12964 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
7069adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
7167, 70readdcld 11191 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ) ∈ ℝ)
7271rexrd 11212 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ) ∈ ℝ*)
7372adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))) β†’ (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ) ∈ ℝ*)
74 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
7565, 40fmptd 7067 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):π‘§βŸΆ(0[,)+∞))
7645, 75sge0fsum 44702 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑧 ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
77 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑧) β†’ (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))
78 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)))
7978adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑧) ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)))
80 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑧) β†’ π‘˜ ∈ 𝑧)
81 fvexd 6862 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)) ∈ V)
8277, 79, 80, 81fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑧) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)))
8382sumeq2dv 15595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑧 ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)))
84 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)) = (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
8584cbvsumv 15588 . . . . . . . . . . . 12 Ξ£π‘˜ ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘˜)) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
8776, 83, 863eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
8868adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
8967, 88ltaddrpd 12997 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
9087, 89eqbrtrd 5132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
9190adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
9229, 43, 73, 74, 91xrlttrd 13085 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
9320, 27, 92syl2anc 585 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧))) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
9493ex 414 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ((π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ)))
9594adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ((π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ)))
9695reximdva 3166 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ 𝑧)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ)))
9719, 96mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
98 simpl 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ πœ‘)
99 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞)
1002a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
101100, 14sge0repnf 44701 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞))
102101adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ ↔ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞))
10399, 102mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
104 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘›πœ‘
105 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛Σ^
106 nfmpt1 5218 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
107105, 106nffv 6857 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛(Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))
108 nfcv 2908 . . . . . . 7 Ⅎ𝑛ℝ
109107, 108nfel 2922 . . . . . 6 Ⅎ𝑛(Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ
110104, 109nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
1112a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) β†’ 𝑍 ∈ V)
11212adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
11368adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ+)
114 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
115110, 111, 112, 113, 114sge0ltfirpmpt 44723 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ))
11617ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
117114ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ)
11871ad4ant13 750 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ) ∈ ℝ)
119 nfcv 2908 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛𝐸
120104, 119, 4, 6, 1, 7omeiunle 44832 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
121120ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
122 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ))
123 simpll 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ πœ‘)
124 2fveq3 6852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))
125124cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))
126125fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š))))
127126eleq1i 2829 . . . . . . . . . . . . 13 ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ ↔ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))) ∈ ℝ)
128127biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ β†’ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))) ∈ ℝ)
129128ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))) ∈ ℝ)
130 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
13144adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ 𝑧 ∈ Fin)
13265adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,)+∞))
133131, 132sge0fsummpt 44705 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
134123, 129, 130, 133syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
135134oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ) = (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
136135adantr 482 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ) = (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
137122, 136breqtrd 5136 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
138116, 117, 118, 121, 137lelttrd 11320 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
139138ex 414 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ)))
140139reximdva 3166 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) < ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) + π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ)))
141115, 140mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
14298, 103, 141syl2anc 585 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = +∞) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
14397, 142pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) + π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„€β‰₯cuz 12770  β„+crp 12922  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  Ξ£csu 15577  Ξ£^csumge0 44677  OutMeascome 44804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-sumge0 44678  df-ome 44805
This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  44837
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