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Theorem omeiunltfirp 46475
Description: If the outer measure of a countable union is not +∞, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunltfirp.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunltfirp.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunltfirp.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
omeiunltfirp.re (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
omeiunltfirp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝑛,𝑋   𝑧,𝑌   𝑛,𝑍,𝑧   𝜑,𝑛,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧,𝑛)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑁)
21fvexi 6921 . . . . 5 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → 𝑍 ∈ V)
4 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
54adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
6 omeiunltfirp.x . . . . . . 7 𝑋 = dom 𝑂
7 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
87ffvelcdmda 7104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
9 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑛) ∈ V
109elpw 4609 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
118, 10sylib 218 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
125, 6, 11omecl 46459 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
13 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
1412, 13fmptd 7134 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
1514adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
16 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞)
17 omeiunltfirp.re . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
1817adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
193, 15, 16, 18sge0pnffigt 46352 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)))
20 simpl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)))
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)))
22 elpwinss 44989 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧𝑍)
2322resmptd 6060 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
2423fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) = (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) = (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2621, 25breqtrd 5174 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2726adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2817rexrd 11309 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
2928ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
30 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
314ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas)
327ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
3322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑧𝑍)
34 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑧)
3533, 34sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
3635adantll 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
3732, 36ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
3837, 10sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
3931, 6, 38omecl 46459 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
40 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
4139, 40fmptd 7134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑧⟶(0[,]+∞))
4230, 41sge0xrcl 46341 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
4342adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
44 elinel2 4212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
46 rge0ssre 13493 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
47 0xr 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 0 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 11313 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → +∞ ∈ ℝ*)
5131, 6, 38omexrcl 46463 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
52 iccgelb 13440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
5348, 50, 39, 52syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
5411ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
55 iunss 5050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5654, 55sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5831, 6, 57omexrcl 46463 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
59 ssiun2 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
6131, 6, 57, 60omessle 46454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
6217ltpnfd 13161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < +∞)
6362ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < +∞)
6451, 58, 50, 61, 63xrlelttrd 13199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) < +∞)
6548, 50, 51, 53, 64elicod 13434 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
6646, 65sselid 3993 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
6745, 66fsumrecl 15767 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
68 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
6968rpred 13075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
7167, 70readdcld 11288 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ)
7271rexrd 11309 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ*)
7372adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ*)
74 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7565, 40fmptd 7134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑧⟶(0[,)+∞))
7645, 75sge0fsum 46343 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑘𝑧 ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘))
77 eqidd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
78 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
80 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
81 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑘)) ∈ V)
8277, 79, 80, 81fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
8382sumeq2dv 15735 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)))
84 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑘)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
8584cbvsumv 15729 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛))
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
8776, 83, 863eqtrd 2779 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
8868adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
8967, 88ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9087, 89eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9190adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9229, 43, 73, 74, 91xrlttrd 13198 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9320, 27, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9493ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9594adantlr 715 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9695reximdva 3166 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9719, 96mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
98 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → 𝜑)
99 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞)
1002a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
101100, 14sge0repnf 46342 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞))
102101adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞))
10399, 102mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
104 nfv 1912 . . . . . 6 𝑛𝜑
105 nfcv 2903 . . . . . . . 8 𝑛Σ^
106 nfmpt1 5256 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
107105, 106nffv 6917 . . . . . . 7 𝑛^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
108 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑛
109107, 108nfel 2918 . . . . . 6 𝑛^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ
110104, 109nfan 1897 . . . . 5 𝑛(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
1112a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ V)
11212adantlr 715 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
11368adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ+)
114 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
115110, 111, 112, 113, 114sge0ltfirpmpt 46364 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌))
11617ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
117114ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
11871ad4ant13 751 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ)
119 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑛𝐸
120104, 119, 4, 6, 1, 7omeiunle 46473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
121120ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
122 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌))
123 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝜑)
124 2fveq3 6912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑚)))
125124cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))
126125fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
127126eleq1i 2830 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
128127biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ → (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
129128ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
130 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
13144adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
13265adantllr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
133131, 132sge0fsummpt 46346 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
134123, 129, 130, 133syl21anc 838 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
135134oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
136135adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
137122, 136breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
138116, 117, 118, 121, 137lelttrd 11417 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
139138ex 412 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
140139reximdva 3166 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
141115, 140mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
14298, 103, 141syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
14397, 142pm2.61dan 813 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605   cuni 4912   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cuz 12876  +crp 13032  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  Σcsu 15719  Σ^csumge0 46318  OutMeascome 46445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-sumge0 46319  df-ome 46446
This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  46478
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