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Theorem omeiunltfirp 42686
Description: If the outer measure of a countable union is not +∞, then it can be arbitrarily approximated by finite sums of outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunltfirp.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunltfirp.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunltfirp.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunltfirp.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
omeiunltfirp.re (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
omeiunltfirp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
omeiunltfirp (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑧   𝑛,𝑂,𝑧   𝑛,𝑋   𝑧,𝑌   𝑛,𝑍,𝑧   𝜑,𝑛,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑧,𝑛)   𝑋(𝑧)   𝑌(𝑛)

Proof of Theorem omeiunltfirp
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeiunltfirp.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑁)
21fvexi 6683 . . . . 5 𝑍 ∈ V
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → 𝑍 ∈ V)
4 omeiunltfirp.o . . . . . . . 8 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
54adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
6 omeiunltfirp.x . . . . . . 7 𝑋 = dom 𝑂
7 omeiunltfirp.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
87ffvelrnda 6849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
9 fvex 6682 . . . . . . . . 9 (𝐸𝑛) ∈ V
109elpw 4549 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
118, 10sylib 219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
125, 6, 11omecl 42670 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
13 eqid 2826 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
1412, 13fmptd 6876 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
1514adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
16 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞)
17 omeiunltfirp.re . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
1817adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
193, 15, 16, 18sge0pnffigt 42563 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)))
20 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)))
21 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)))
22 elpwinss 41195 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧𝑍)
2322resmptd 5907 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → ((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
2423fveq2d 6673 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) = (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2524adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) = (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2621, 25breqtrd 5089 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2726adantll 710 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
2817rexrd 10685 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
2928ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
30 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
314ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas)
327ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
3322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑧𝑍)
34 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑧)
3533, 34sseldd 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
3635adantll 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
3732, 36ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
3837, 10sylib 219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
3931, 6, 38omecl 42670 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
40 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
4139, 40fmptd 6876 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑧⟶(0[,]+∞))
4230, 41sge0xrcl 42552 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
4342adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
44 elinel2 4177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
4544adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
46 rge0ssre 12839 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
47 0xr 10682 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ*
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 0 ∈ ℝ*)
49 pnfxr 10689 . . . . . . . . . . . . . . 15 +∞ ∈ ℝ*
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → +∞ ∈ ℝ*)
5131, 6, 38omexrcl 42674 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
52 iccgelb 12788 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
5348, 50, 39, 52syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
5411ralrimiva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
55 iunss 4966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5654, 55sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5756ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
5831, 6, 57omexrcl 42674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
59 ssiun2 4968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
6036, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
6131, 6, 57, 60omessle 42665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ≤ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
6217ltpnfd 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < +∞)
6362ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < +∞)
6451, 58, 50, 61, 63xrlelttrd 12548 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) < +∞)
6548, 50, 51, 53, 64elicod 12782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
6646, 65sseldi 3969 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
6745, 66fsumrecl 15086 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
68 omeiunltfirp.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
6968rpred 12426 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
7167, 70readdcld 10664 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ)
7271rexrd 10685 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ*)
7372adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ*)
74 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7565, 40fmptd 6876 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑧⟶(0[,)+∞))
7645, 75sge0fsum 42554 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑘𝑧 ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘))
77 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
78 2fveq3 6674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
7978adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
80 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → 𝑘𝑧)
81 fvexd 6684 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑘)) ∈ V)
8277, 79, 80, 81fvmptd 6773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘𝑧) → ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘) = (𝑂‘(𝐸𝑘)))
8382sumeq2dv 15055 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 ((𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)))
84 2fveq3 6674 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑘)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
8584cbvsumv 15048 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛))
8685a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑘)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
8776, 83, 863eqtrd 2865 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
8868adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ+)
8967, 88ltaddrpd 12459 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9087, 89eqbrtrd 5085 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9190adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9229, 43, 73, 74, 91xrlttrd 12547 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9320, 27, 92syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
9493ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9594adantlr 711 . . . 4 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9695reximdva 3279 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ^‘((𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) ↾ 𝑧)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
9719, 96mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
98 simpl 483 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → 𝜑)
99 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞)
1002a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ∈ V)
101100, 14sge0repnf 42553 . . . . 5 (𝜑 → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞))
102101adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞))
10399, 102mpbird 258 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
104 nfv 1908 . . . . . 6 𝑛𝜑
105 nfcv 2982 . . . . . . . 8 𝑛Σ^
106 nfmpt1 5161 . . . . . . . 8 𝑛(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
107105, 106nffv 6679 . . . . . . 7 𝑛^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
108 nfcv 2982 . . . . . . 7 𝑛
109107, 108nfel 2997 . . . . . 6 𝑛^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ
110104, 109nfan 1893 . . . . 5 𝑛(𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
1112a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ V)
11212adantlr 711 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
11368adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ ℝ+)
114 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
115110, 111, 112, 113, 114sge0ltfirpmpt 42575 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌))
11617ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ)
117114ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ)
11871ad4ant13 747 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ)
119 nfcv 2982 . . . . . . . . 9 𝑛𝐸
120104, 119, 4, 6, 1, 7omeiunle 42684 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
121120ad3antrrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
122 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌))
123 simpll 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝜑)
124 2fveq3 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝐸𝑛)) = (𝑂‘(𝐸𝑚)))
125124cbvmptv 5166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))
126125fveq2i 6672 . . . . . . . . . . . . . 14 ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
127126eleq1i 2908 . . . . . . . . . . . . 13 ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ ↔ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
128127biimpi 217 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ → (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
129128ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ)
130 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))
13144adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
13265adantllr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,)+∞))
133131, 132sge0fsummpt 42557 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
134123, 129, 130, 133syl21anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)))
135134oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
136135adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
137122, 136breqtrd 5089 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
138116, 117, 118, 121, 137lelttrd 10792 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
139138ex 413 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
140139reximdva 3279 . . . 4 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) < ((Σ^‘(𝑛𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌)))
141115, 140mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
14298, 103, 141syl2anc 584 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
14397, 142pm2.61dan 809 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐸𝑛)) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940  𝒫 cpw 4542   cuni 4837   ciun 4917   class class class wbr 5063  cmpt 5143  dom cdm 5554  cres 5556  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534  +∞cpnf 10666  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cuz 12237  +crp 12384  [,)cico 12735  [,]cicc 12736  Σcsu 15037  Σ^csumge0 42529  OutMeascome 42656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-acn 9365  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-sumge0 42530  df-ome 42657
This theorem is referenced by:  carageniuncllem2  42689
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