Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | omeiunltfirp.z |
. . . . . 6
⊢ 𝑍 =
(ℤ≥‘𝑁) |
2 | 1 | fvexi 6731 |
. . . . 5
⊢ 𝑍 ∈ V |
3 | 2 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → 𝑍 ∈ V) |
4 | | omeiunltfirp.o |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas) |
5 | 4 | adantr 484 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas) |
6 | | omeiunltfirp.x |
. . . . . . 7
⊢ 𝑋 = ∪
dom 𝑂 |
7 | | omeiunltfirp.e |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) |
8 | 7 | ffvelrnda 6904 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋) |
9 | | fvex 6730 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V |
10 | 9 | elpw 4517 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
11 | 8, 10 | sylib 221 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
12 | 5, 6, 11 | omecl 43716 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) |
13 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
14 | 12, 13 | fmptd 6931 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞)) |
15 | 14 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞)) |
16 | | simpr 488 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) |
17 | | omeiunltfirp.re |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
18 | 17 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
19 | 3, 15, 16, 18 | sge0pnffigt 43609 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) |
20 | | simpl 486 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin))) |
21 | | simpr 488 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) |
22 | | elpwinss 42270 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ⊆ 𝑍) |
23 | 22 | resmptd 5908 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) |
24 | 23 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) →
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
25 | 24 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) →
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) =
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
26 | 21, 25 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
27 | 26 | adantll 714 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
28 | 17 | rexrd 10883 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
29 | 28 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
30 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) |
31 | 4 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas) |
32 | 7 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) |
33 | 22 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑧 ⊆ 𝑍) |
34 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑛 ∈ 𝑧) |
35 | 33, 34 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑛 ∈ 𝑍) |
36 | 35 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 𝑛 ∈ 𝑍) |
37 | 32, 36 | ffvelrnd 6905 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋) |
38 | 37, 10 | sylib 221 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
39 | 31, 6, 38 | omecl 43716 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) |
40 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
41 | 39, 40 | fmptd 6931 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑧⟶(0[,]+∞)) |
42 | 30, 41 | sge0xrcl 43598 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈
ℝ*) |
43 | 42 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈
ℝ*) |
44 | | elinel2 4110 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin) |
45 | 44 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin) |
46 | | rge0ssre 13044 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
47 | | 0xr 10880 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℝ* |
48 | 47 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 0 ∈
ℝ*) |
49 | | pnfxr 10887 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ +∞
∈ ℝ* |
50 | 49 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → +∞ ∈
ℝ*) |
51 | 31, 6, 38 | omexrcl 43720 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
52 | | iccgelb 12991 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
(𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤
(𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
53 | 48, 50, 39, 52 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
54 | 11 | ralrimiva 3105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
55 | | iunss 4954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
56 | 54, 55 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
57 | 56 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → ∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋) |
58 | 31, 6, 57 | omexrcl 43720 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈
ℝ*) |
59 | | ssiun2 4956 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) |
60 | 36, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝐸‘𝑛) ⊆ ∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) |
61 | 31, 6, 57, 60 | omessle 43711 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ≤ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))) |
62 | 17 | ltpnfd 12713 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < +∞) |
63 | 62 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < +∞) |
64 | 51, 58, 50, 61, 63 | xrlelttrd 12750 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) < +∞) |
65 | 48, 50, 51, 53, 64 | elicod 12985 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,)+∞)) |
66 | 46, 65 | sseldi 3899 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
67 | 45, 66 | fsumrecl 15298 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
68 | | omeiunltfirp.y |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈
ℝ+) |
69 | 68 | rpred 12628 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
70 | 69 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ) |
71 | 67, 70 | readdcld 10862 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ) |
72 | 71 | rexrd 10883 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈
ℝ*) |
73 | 72 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈
ℝ*) |
74 | | simpr 488 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
75 | 65, 40 | fmptd 6931 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑧⟶(0[,)+∞)) |
76 | 45, 75 | sge0fsum 43600 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑘 ∈ 𝑧 ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))‘𝑘)) |
77 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) |
78 | | 2fveq3 6722 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
79 | 78 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) ∧ 𝑛 = 𝑘) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
80 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → 𝑘 ∈ 𝑧) |
81 | | fvexd 6732 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) ∈ V) |
82 | 77, 79, 80, 81 | fvmptd 6825 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑧) → ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))‘𝑘) = (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
83 | 82 | sumeq2dv 15267 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 ((𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑘))) |
84 | | 2fveq3 6722 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
85 | 84 | cbvsumv 15260 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Σ𝑘 ∈
𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) |
86 | 85 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑘 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑘)) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
87 | 76, 83, 86 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
88 | 68 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈
ℝ+) |
89 | 67, 88 | ltaddrpd 12661 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
90 | 87, 89 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
91 | 90 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
92 | 29, 43, 73, 74, 91 | xrlttrd 12749 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
93 | 20, 27, 92 | syl2anc 587 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧))) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
94 | 93 | ex 416 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
95 | 94 | adantlr 715 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
96 | 95 | reximdva 3193 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) <
(Σ^‘((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) ↾ 𝑧)) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
97 | 19, 96 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
98 | | simpl 486 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → 𝜑) |
99 | | simpr 488 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) |
100 | 2 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V) |
101 | 100, 14 | sge0repnf 43599 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞)) |
102 | 101 | adantr 484 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ ↔ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞)) |
103 | 99, 102 | mpbird 260 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
104 | | nfv 1922 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑛𝜑 |
105 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛Σ^ |
106 | | nfmpt1 5153 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
107 | 105, 106 | nffv 6727 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑛(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) |
108 | | nfcv 2904 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑛ℝ |
109 | 107, 108 | nfel 2918 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑛(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ |
110 | 104, 109 | nfan 1907 |
. . . . 5
⊢
Ⅎ𝑛(𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
111 | 2 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑍 ∈ V) |
112 | 12 | adantlr 715 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞)) |
113 | 68 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → 𝑌 ∈
ℝ+) |
114 | | simpr 488 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
115 | 110, 111,
112, 113, 114 | sge0ltfirpmpt 43621 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) |
116 | 17 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ) |
117 | 114 | ad2antrr 726 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) |
118 | 71 | ad4ant13 751 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌) ∈ ℝ) |
119 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛𝐸 |
120 | 104, 119,
4, 6, 1, 7 | omeiunle 43730 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
121 | 120 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))) |
122 | | simpr 488 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) |
123 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝜑) |
124 | | 2fveq3 6722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) |
125 | 124 | cbvmptv 5158 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) |
126 | 125 | fveq2i 6720 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) =
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) |
127 | 126 | eleq1i 2828 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ ↔
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) |
128 | 127 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ →
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) |
129 | 128 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) |
130 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) |
131 | 44 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin) |
132 | 65 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛 ∈ 𝑧) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,)+∞)) |
133 | 131, 132 | sge0fsummpt 43603 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
134 | 123, 129,
130, 133 | syl21anc 838 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) |
135 | 134 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
136 | 135 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) = (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
137 | 122, 136 | breqtrd 5079 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) →
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
138 | 116, 117,
118, 121, 137 | lelttrd 10990 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌)) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
139 | 138 | ex 416 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) →
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) → (𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
140 | 139 | reximdva 3193 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩
Fin)(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) <
((Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑧 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌))) |
141 | 115, 140 | mpd 15 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
142 | 98, 103, 141 | syl2anc 587 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ ¬
(Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) = +∞) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |
143 | 97, 142 | pm2.61dan 813 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂‘∪
𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) < (Σ𝑛 ∈ 𝑧 (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) + 𝑌)) |