Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omessre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omessre 44646
Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omessre.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x 𝑋 = dom 𝑂
omessre.a (𝜑𝐴𝑋)
omessre.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
omessre (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13327 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 11160 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11167 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 omessre.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
7 omessre.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
8 omessre.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
9 omessre.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9sstrd 3952 . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
116, 7, 10omexrcl 44643 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
126, 7, 10omecl 44639 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13 iccgelb 13274 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐵))
143, 5, 12, 13syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐵))
15 omessre.re . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
1615rexrd 11163 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
176, 7, 9, 8omessle 44634 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ≤ (𝑂𝐴))
1815ltpnfd 12996 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) < +∞)
1911, 16, 5, 17, 18xrlelttrd 13033 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) < +∞)
203, 5, 11, 14, 19elicod 13268 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,)+∞))
211, 20sselid 3940 1 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908   cuni 4863   class class class wbr 5103  dom cdm 5631  cfv 6493  (class class class)co 7351  cr 11008  0cc0 11009  +∞cpnf 11144  *cxr 11146  cle 11148  [,)cico 13220  [,]cicc 13221  OutMeascome 44625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-addrcl 11070  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-ico 13224  df-icc 13225  df-ome 44626
This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  44657  carageniuncllem2  44658
  Copyright terms: Public domain W3C validator