Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omessre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omessre 45779
Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omessre.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x 𝑋 = dom 𝑂
omessre.a (𝜑𝐴𝑋)
omessre.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
omessre (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13436 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 11262 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11269 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 omessre.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
7 omessre.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
8 omessre.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
9 omessre.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9sstrd 3987 . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
116, 7, 10omexrcl 45776 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
126, 7, 10omecl 45772 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13 iccgelb 13383 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐵))
143, 5, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐵))
15 omessre.re . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
1615rexrd 11265 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
176, 7, 9, 8omessle 45767 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ≤ (𝑂𝐴))
1815ltpnfd 13104 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) < +∞)
1911, 16, 5, 17, 18xrlelttrd 13142 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) < +∞)
203, 5, 11, 14, 19elicod 13377 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,)+∞))
211, 20sselid 3975 1 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943   cuni 4902   class class class wbr 5141  dom cdm 5669  cfv 6536  (class class class)co 7404  cr 11108  0cc0 11109  +∞cpnf 11246  *cxr 11248  cle 11250  [,)cico 13329  [,]cicc 13330  OutMeascome 45758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-addrcl 11170  ax-rnegex 11180  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-ico 13333  df-icc 13334  df-ome 45759
This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  45790  carageniuncllem2  45791
  Copyright terms: Public domain W3C validator