Theorem omessre 46754

Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omessre.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omessre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omessre.re	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omessre	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13372	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11179	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11186	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		omessre.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		omessre.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
8		omessre.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
9		omessre.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	sstrd 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
11	6, 7, 10	omexrcl 46751	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
12	6, 7, 10	omecl 46747	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13		iccgelb 13318	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
14	3, 5, 12, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
15		omessre.re	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
17	6, 7, 9, 8	omessle 46742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
18	15	ltpnfd 13035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) < +∞)
19	11, 16, 5, 17, 18	xrlelttrd 13074	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) < +∞)
20	3, 5, 11, 14, 19	elicod 13311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
21	1, 20	sselid 3931	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863   class class class wbr 5098  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  +∞cpnf 11163  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167  [,)cico 13263  [,]cicc 13264  OutMeascome 46733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-addrcl 11087  ax-rnegex 11097  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-ico 13267  df-icc 13268  df-ome 46734

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46765  carageniuncllem2  46766