Theorem omessre 46868

Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omessre.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omessre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omessre.re	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omessre	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13384	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11191	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11198	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		omessre.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		omessre.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
8		omessre.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
9		omessre.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
11	6, 7, 10	omexrcl 46865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
12	6, 7, 10	omecl 46861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13		iccgelb 13330	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
14	3, 5, 12, 13	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
15		omessre.re	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11194	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
17	6, 7, 9, 8	omessle 46856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
18	15	ltpnfd 13047	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) < +∞)
19	11, 16, 5, 17, 18	xrlelttrd 13086	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) < +∞)
20	3, 5, 11, 14, 19	elicod 13323	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
21	1, 20	sselid 3933	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865   class class class wbr 5100  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179  [,)cico 13275  [,]cicc 13276  OutMeascome 46847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-ico 13279  df-icc 13280  df-ome 46848

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46879  carageniuncllem2  46880