Theorem omessre 46508

Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omessre.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omessre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omessre.re	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omessre	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13417	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11221	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11228	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		omessre.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		omessre.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
8		omessre.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
9		omessre.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	sstrd 3957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
11	6, 7, 10	omexrcl 46505	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
12	6, 7, 10	omecl 46501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13		iccgelb 13363	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
14	3, 5, 12, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
15		omessre.re	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
17	6, 7, 9, 8	omessle 46496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
18	15	ltpnfd 13081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) < +∞)
19	11, 16, 5, 17, 18	xrlelttrd 13120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) < +∞)
20	3, 5, 11, 14, 19	elicod 13356	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
21	1, 20	sselid 3944	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∪ cuni 4871   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209  [,)cico 13308  [,]cicc 13309  OutMeascome 46487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ico 13312  df-icc 13313  df-ome 46488

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46519  carageniuncllem2  46520