Theorem omessre 46613

Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omessre.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omessre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omessre.re	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omessre	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13362	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11165	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11172	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		omessre.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		omessre.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
8		omessre.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
9		omessre.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	sstrd 3940	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
11	6, 7, 10	omexrcl 46610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
12	6, 7, 10	omecl 46606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13		iccgelb 13308	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
14	3, 5, 12, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
15		omessre.re	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
17	6, 7, 9, 8	omessle 46601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
18	15	ltpnfd 13026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) < +∞)
19	11, 16, 5, 17, 18	xrlelttrd 13065	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) < +∞)
20	3, 5, 11, 14, 19	elicod 13301	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
21	1, 20	sselid 3927	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5093  dom cdm 5619  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011  0cc0 11012  +∞cpnf 11149  ℝ^*cxr 11151   ≤ cle 11153  [,)cico 13253  [,]cicc 13254  OutMeascome 46592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-addrcl 11073  ax-rnegex 11083  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-ico 13257  df-icc 13258  df-ome 46593

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46624  carageniuncllem2  46625