Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omessre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omessre 41643
 Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omessre.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x 𝑋 = dom 𝑂
omessre.a (𝜑𝐴𝑋)
omessre.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
omessre (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12594 . 2 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 0xr 10423 . . . 4 0 ∈ ℝ*
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10430 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6 omessre.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
7 omessre.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
8 omessre.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐴)
9 omessre.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
108, 9sstrd 3830 . . . 4 (𝜑𝐵𝑋)
116, 7, 10omexrcl 41640 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
126, 7, 10omecl 41636 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13 iccgelb 12542 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂𝐵))
143, 5, 12, 13syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ (𝑂𝐵))
15 omessre.re . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
1615rexrd 10426 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
176, 7, 9, 8omessle 41631 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ≤ (𝑂𝐴))
1815ltpnfd 12266 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) < +∞)
1911, 16, 5, 17, 18xrlelttrd 12303 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝐵) < +∞)
203, 5, 11, 14, 19elicod 12536 . 2 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,)+∞))
211, 20sseldi 3818 1 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791  ∪ cuni 4671   class class class wbr 4886  dom cdm 5355  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  0cc0 10272  +∞cpnf 10408  ℝ*cxr 10410   ≤ cle 10412  [,)cico 12489  [,]cicc 12490  OutMeascome 41622 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-addrcl 10333  ax-rnegex 10343  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-ico 12493  df-icc 12494  df-ome 41623 This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  41654  carageniuncllem2  41655
 Copyright terms: Public domain W3C validator