Theorem omessre 46959

Description: If the outer measure of a set is real, then the outer measure of any of its subset is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omessre.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omessre.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omessre.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omessre.re	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
omessre.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
omessre	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Proof of Theorem omessre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13403	. 2 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		0xr 11186	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11193	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
6		omessre.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
7		omessre.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
8		omessre.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
9		omessre.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
10	8, 9	sstrd 3933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
11	6, 7, 10	omexrcl 46956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
12	6, 7, 10	omecl 46952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
13		iccgelb 13349	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
14	3, 5, 12, 13	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑂‘𝐵))
15		omessre.re	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
16	15	rexrd 11189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
17	6, 7, 9, 8	omessle 46947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ≤ (𝑂‘𝐴))
18	15	ltpnfd 13066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) < +∞)
19	11, 16, 5, 17, 18	xrlelttrd 13105	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) < +∞)
20	3, 5, 11, 14, 19	elicod 13342	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,)+∞))
21	1, 20	sselid 3920	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032  +∞cpnf 11170  ℝ^*cxr 11172   ≤ cle 11174  [,)cico 13294  [,]cicc 13295  OutMeascome 46938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-addrcl 11093  ax-rnegex 11103  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-ico 13298  df-icc 13299  df-ome 46939

This theorem is referenced by:  carageniuncllem1  46970  carageniuncllem2  46971