Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  caratheodorylem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem caratheodorylem2 45243
Description: Caratheodory's construction is sigma-additive. Main part of Step (e) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 21. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
caratheodorylem2.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
caratheodorylem2.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
caratheodorylem2.s 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
caratheodorylem2.e (πœ‘ β†’ 𝐸:β„•βŸΆπ‘†)
caratheodorylem2.5 (πœ‘ β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))
caratheodorylem2.g 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
caratheodorylem2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐸,𝑛   𝑛,𝐺   π‘˜,𝑂,𝑛   𝑛,𝑋   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘˜)   𝑋(π‘˜)

Proof of Theorem caratheodorylem2
Dummy variables π‘š π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 caratheodorylem2.o . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2 caratheodorylem2.x . . 3 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
3 caratheodorylem2.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (CaraGenβ€˜π‘‚)
43caragenss 45220 . . . . . . . . . 10 (𝑂 ∈ OutMeas β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
51, 4syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
65adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 βŠ† dom 𝑂)
7 caratheodorylem2.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„•βŸΆπ‘†)
87ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝑆)
96, 8sseldd 3984 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ dom 𝑂)
10 elssuni 4942 . . . . . . 7 ((πΈβ€˜π‘›) ∈ dom 𝑂 β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ dom 𝑂)
1211, 2sseqtrrdi 4034 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
1312ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
14 iunss 5049 . . . 4 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
1513, 14sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
161, 2, 15omexrcl 45223 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
17 nnex 12218 . . . 4 β„• ∈ V
1817a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
191adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2019, 2, 12omecl 45219 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
21 eqid 2733 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
2220, 21fmptd 7114 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):β„•βŸΆ(0[,]+∞))
2318, 22sge0xrcl 45101 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
24 nfv 1918 . . 3 β„²π‘›πœ‘
25 nfcv 2904 . . 3 Ⅎ𝑛𝐸
26 nnuz 12865 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
271, 2, 3caragensspw 45225 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝒫 𝑋)
287, 27fssd 6736 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„•βŸΆπ’« 𝑋)
2924, 25, 1, 2, 26, 28omeiunle 45233 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
30 elpwinss 43736 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
3130resmptd 6041 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ π‘₯) = (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))
3231fveq2d 6896 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin) β†’ (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ π‘₯)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
3332adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ π‘₯)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
34 1zzd 12593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ 1 ∈ β„€)
3530adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ π‘₯ βŠ† β„•)
36 elinel2 4197 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3736adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
3834, 26, 35, 37uzfissfz 44036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ βŠ† (1...π‘˜))
39 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 π‘₯ ∈ V
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ V)
411ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
4228ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝐸:β„•βŸΆπ’« 𝑋)
43 fz1ssnn 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...π‘˜) βŠ† β„•
44 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ βŠ† (1...π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ (1...π‘˜))
4543, 44sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ βŠ† (1...π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4645adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
4742, 46ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋)
48 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
5041, 2, 49omecl 45219 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
51 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
5250, 51fmptd 7114 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):π‘₯⟢(0[,]+∞))
5340, 52sge0xrcl 45101 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
54533adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
55 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (1...π‘˜) ∈ V
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (1...π‘˜) ∈ V)
57 elfznn 13530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...π‘˜) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
5857, 20sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
59 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
6058, 59fmptd 7114 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):(1...π‘˜)⟢(0[,]+∞))
6156, 60sge0xrcl 45101 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
62613ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
63163ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
6455a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (1...π‘˜) ∈ V)
65 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ πœ‘)
6657adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6765, 66, 20syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) ∧ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
68 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜))
6964, 67, 68sge0lessmpt 45115 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
701adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
717adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐸:β„•βŸΆπ‘†)
72 caratheodorylem2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))
7372adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ Disj 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))
74 caratheodorylem2.g . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 = (π‘˜ ∈ β„• ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›))
75 nfiu1 5032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑛βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›)
76 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑛)(πΈβ€˜π‘š)
77 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = π‘š β†’ (πΈβ€˜π‘›) = (πΈβ€˜π‘š))
7877cbviunv 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›) = βˆͺ π‘š ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘š)
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›) = βˆͺ π‘š ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘š))
80 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (1...π‘˜) = (1...𝑛))
8180iuneq1d 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ βˆͺ π‘š ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘š) = βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑛)(πΈβ€˜π‘š))
8279, 81eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›) = βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑛)(πΈβ€˜π‘š))
8375, 76, 82cbvmpt 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• ↦ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑛)(πΈβ€˜π‘š))
8474, 83eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆͺ π‘š ∈ (1...𝑛)(πΈβ€˜π‘š))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
8685, 26eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
8870, 3, 26, 71, 73, 84, 87caratheodorylem1 45242 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‚β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
8988eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) = (π‘‚β€˜(πΊβ€˜π‘˜)))
9015adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
91 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
9255, 91iunex 7955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›) ∈ V
9374fvmpt2 7010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›) ∈ V) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›))
9485, 92, 93sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›))
9543a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1...π‘˜) βŠ† β„•)
96 iunss1 5012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1...π‘˜) βŠ† β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))
9795, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ (1...π‘˜)(πΈβ€˜π‘›) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))
9894, 97eqsstrd 4021 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (πΊβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))
9998adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) βŠ† βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))
10070, 2, 90, 99omessle 45214 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‚β€˜(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
10189, 100eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
1021013adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ (1...π‘˜) ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
10354, 62, 63, 69, 102xrletrd 13141 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ π‘₯ βŠ† (1...π‘˜)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
1041033exp 1120 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ βŠ† (1...π‘˜) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))))
105104adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘₯ βŠ† (1...π‘˜) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))))
106105rexlimdv 3154 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• π‘₯ βŠ† (1...π‘˜) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))))
10738, 106mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
10833, 107eqbrtrd 5171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)) β†’ (Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ π‘₯)) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
109108ralrimiva 3147 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)(Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ π‘₯)) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
11018, 22, 16sge0lefi 45114 . . 3 (πœ‘ β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„• ∩ Fin)(Ξ£^β€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) β†Ύ π‘₯)) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›))))
111109, 110mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ≀ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)))
11216, 23, 29, 111xrletrid 13134 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (πΈβ€˜π‘›)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998  Disj wdisj 5114   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  Ξ£^csumge0 45078  OutMeascome 45205  CaraGenccaragen 45207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-sumge0 45079  df-ome 45206  df-caragen 45208
This theorem is referenced by:  caratheodory  45244
  Copyright terms: Public domain W3C validator