Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunle 41246
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunle.nph 𝑛𝜑
omeiunle.ne 𝑛𝐸
omeiunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunle.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunle.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunle (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 12461 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 omeiunle.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeiunle.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
4 omeiunle.nph . . . . . 6 𝑛𝜑
5 omeiunle.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
65ffvelrnda 6504 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4308 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
98ex 397 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋))
104, 9ralrimi 3106 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
11 iunss 4696 . . . . 5 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
1210, 11sylibr 224 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
132, 3, 12omecl 41232 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
141, 13sseldi 3750 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
155ffnd 6185 . . . . 5 (𝜑𝐸 Fn 𝑍)
16 omeiunle.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
1716fvexi 6345 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ V)
19 fnex 6628 . . . . 5 ((𝐸 Fn 𝑍𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
2015, 18, 19syl2anc 573 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
21 rnexg 7249 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
232, 3omef 41225 . . . 4 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
245frnd 6191 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
2523, 24fssresd 6212 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
2622, 25sge0xrcl 41114 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
272adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
2827, 3, 8omecl 41232 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
29 eqid 2771 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
304, 28, 29fmptdf 6532 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
3118, 30sge0xrcl 41114 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
32 fvex 6344 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
3332rgenw 3073 . . . . . . 7 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V
34 dfiun3g 5515 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
375feqmptd 6393 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)))
38 omeiunle.ne . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐸
39 nfcv 2913 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚
4038, 39nffv 6341 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐸𝑚)
41 nfcv 2913 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐸𝑛)
42 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
4340, 41, 42cbvmpt 4884 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4537, 44eqtrd 2805 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4645rneqd 5490 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4746unieqd 4585 . . . . 5 (𝜑 ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4836, 47eqtr4d 2808 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran 𝐸)
4948fveq2d 6337 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑂 ran 𝐸))
50 fnrndomg 9564 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸𝑍))
5118, 15, 50sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐸𝑍)
5216uzct 39751 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
54 domtr 8166 . . . . 5 ((ran 𝐸𝑍𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
5551, 53, 54syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
562, 3, 24, 55omeunile 41234 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
5749, 56eqbrtrd 4809 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
58 ltweuz 12968 . . . . . 6 < We (ℤ𝑁)
59 weeq2 5239 . . . . . . 7 (𝑍 = (ℤ𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁)))
6016, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁))
6158, 60mpbir 221 . . . . 5 < We 𝑍
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < We 𝑍)
6318, 23, 5, 62sge0resrn 41133 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂𝐸)))
64 fcompt 6546 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
65 nfcv 2913 . . . . . . . . 9 𝑛𝑂
6665, 40nffv 6341 . . . . . . . 8 𝑛(𝑂‘(𝐸𝑚))
67 nfcv 2913 . . . . . . . 8 𝑚(𝑂‘(𝐸𝑛))
6842fveq2d 6337 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑚)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
6966, 67, 68cbvmpt 4884 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7164, 70eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7223, 5, 71syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7372fveq2d 6337 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂𝐸)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7463, 73breqtrd 4813 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7514, 26, 31, 57, 74xrletrd 12198 1 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  wnfc 2900  wral 3061  Vcvv 3351  wss 3723  𝒫 cpw 4298   cuni 4575   ciun 4655   class class class wbr 4787  cmpt 4864   We wwe 5208  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252  ccom 5254   Fn wfn 6025  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  ωcom 7216  cdom 8111  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  *cxr 10279   < clt 10280  cle 10281  cuz 11893  [,]cicc 12383  Σ^csumge0 41091  OutMeascome 41218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-sumge0 41092  df-ome 41219
This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  41248  omeiunlempt  41249  caratheodorylem2  41256
  Copyright terms: Public domain W3C validator