Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunle 45531
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunle.nph β„²π‘›πœ‘
omeiunle.ne Ⅎ𝑛𝐸
omeiunle.o (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
omeiunle.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
omeiunle.e (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunle (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13411 . . 3 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
2 omeiunle.o . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeiunle.x . . . 4 𝑋 = βˆͺ dom 𝑂
4 omeiunle.nph . . . . . 6 β„²π‘›πœ‘
5 omeiunle.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋)
65ffvelcdmda 7085 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4608 . . . . . . . 8 ((πΈβ€˜π‘›) ∈ 𝒫 𝑋 β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
98ex 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 β†’ (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋))
104, 9ralrimi 3252 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
11 iunss 5047 . . . . 5 (βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
1210, 11sylibr 233 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) βŠ† 𝑋)
132, 3, 12omecl 45517 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
141, 13sselid 3979 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
155ffnd 6717 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐸 Fn 𝑍)
16 omeiunle.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘)
1716fvexi 6904 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ V)
19 fnex 7220 . . . . 5 ((𝐸 Fn 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ V) β†’ 𝐸 ∈ V)
2015, 18, 19syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ V)
21 rnexg 7897 . . . 4 (𝐸 ∈ V β†’ ran 𝐸 ∈ V)
2220, 21syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 ∈ V)
232, 3omef 45510 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞))
245frnd 6724 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 βŠ† 𝒫 𝑋)
2523, 24fssresd 6757 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑂 β†Ύ ran 𝐸):ran 𝐸⟢(0[,]+∞))
2622, 25sge0xrcl 45399 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
272adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝑂 ∈ OutMeas)
2827, 3, 8omecl 45517 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)) ∈ (0[,]+∞))
29 eqid 2730 . . . 4 (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
304, 28, 29fmptdf 7117 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))):π‘βŸΆ(0[,]+∞))
3118, 30sge0xrcl 45399 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))) ∈ ℝ*)
32 fvex 6903 . . . . . . . 8 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
3332rgenw 3063 . . . . . . 7 βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V
34 dfiun3g 5962 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) ∈ V β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›))
3635a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) = βˆͺ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›)))
375feqmptd 6959 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘š)))
38 omeiunle.ne . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛𝐸
39 nfcv 2901 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›π‘š
4038, 39nffv 6900 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛(πΈβ€˜π‘š)
41 nfcv 2901 . . . . . . . . . 10 β„²π‘š(πΈβ€˜π‘›)
42 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (πΈβ€˜π‘š) = (πΈβ€˜π‘›))
4340, 41, 42cbvmpt 5258 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘š)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘š)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›)))
4537, 44eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›)))
4645rneqd 5936 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›)))
4746unieqd 4921 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐸 = βˆͺ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (πΈβ€˜π‘›)))
4836, 47eqtr4d 2773 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›) = βˆͺ ran 𝐸)
4948fveq2d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) = (π‘‚β€˜βˆͺ ran 𝐸))
50 fnrndomg 10533 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V β†’ (𝐸 Fn 𝑍 β†’ ran 𝐸 β‰Ό 𝑍))
5118, 15, 50sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 β‰Ό 𝑍)
5216uzct 44051 . . . . . 6 𝑍 β‰Ό Ο‰
5352a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰Ό Ο‰)
54 domtr 9005 . . . . 5 ((ran 𝐸 β‰Ό 𝑍 ∧ 𝑍 β‰Ό Ο‰) β†’ ran 𝐸 β‰Ό Ο‰)
5551, 53, 54syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐸 β‰Ό Ο‰)
562, 3, 24, 55omeunile 45519 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ ran 𝐸) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ ran 𝐸)))
5749, 56eqbrtrd 5169 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ ran 𝐸)))
58 ltweuz 13930 . . . . . 6 < We (β„€β‰₯β€˜π‘)
59 weeq2 5664 . . . . . . 7 (𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘) β†’ ( < We 𝑍 ↔ < We (β„€β‰₯β€˜π‘)))
6016, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ( < We 𝑍 ↔ < We (β„€β‰₯β€˜π‘))
6158, 60mpbir 230 . . . . 5 < We 𝑍
6261a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ < We 𝑍)
6318, 23, 5, 62sge0resrn 45418 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ ran 𝐸)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑂 ∘ 𝐸)))
64 fcompt 7132 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (𝑂 ∘ 𝐸) = (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š))))
65 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛𝑂
6665, 40nffv 6900 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛(π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š))
67 nfcv 2901 . . . . . . . 8 β„²π‘š(π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))
68 2fveq3 6895 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š)) = (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
6966, 67, 68cbvmpt 5258 . . . . . . 7 (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (π‘š ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘š))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))
7164, 70eqtrd 2770 . . . . 5 ((𝑂:𝒫 π‘‹βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐸:π‘βŸΆπ’« 𝑋) β†’ (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))
7223, 5, 71syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›))))
7372fveq2d 6894 . . 3 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 ∘ 𝐸)) = (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
7463, 73breqtrd 5173 . 2 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑂 β†Ύ ran 𝐸)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
7514, 26, 31, 57, 74xrletrd 13145 1 (πœ‘ β†’ (π‘‚β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ 𝑍 (πΈβ€˜π‘›)) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (π‘‚β€˜(πΈβ€˜π‘›)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104  β„²wnfc 2881  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   We wwe 5629  dom cdm 5675  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„€β‰₯cuz 12826  [,]cicc 13331  Ξ£^csumge0 45376  OutMeascome 45503
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-sumge0 45377  df-ome 45504
This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  45533  omeiunlempt  45534  caratheodorylem2  45541
  Copyright terms: Public domain W3C validator