Theorem omeiunle 46798

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunle.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
omeiunle.ne	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
omeiunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeiunle.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
omeiunle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeiunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13348	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omeiunle.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeiunle.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omeiunle.nph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		omeiunle.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
6	5	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7		elpwi 4560	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
9	8	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋))
10	4, 9	ralrimi 3233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
11		iunss 4999	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
12	10, 11	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
13	2, 3, 12	omecl 46784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
14	1, 13	sselid 3930	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ*)
15	5	ffnd 6662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑍)
16		omeiunle.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
17	16	fvexi 6847	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
19		fnex 7163	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 Fn 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
20	15, 18, 19	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
21		rnexg 7844	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
23	2, 3	omef 46777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
24	5	frnd 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
25	23, 24	fssresd 6700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
26	22, 25	sge0xrcl 46666	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
27	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
28	27, 3, 8	omecl 46784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
29		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
30	4, 28, 29	fmptdf 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
31	18, 30	sge0xrcl 46666	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
32		fvex 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
33	32	rgenw 3054	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
34		dfiun3g 5916	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
37	5	feqmptd 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)))
38		omeiunle.ne	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
39		nfcv 2897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
40	38, 39	nffv 6843	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑚)
41		nfcv 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐸‘𝑛)
42		fveq2 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
43	40, 41, 42	cbvmpt 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
45	37, 44	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
46	45	rneqd 5886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
47	46	unieqd 4875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐸 = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
48	36, 47	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran 𝐸)
49	48	fveq2d 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘∪ ran 𝐸))
50		fnrndomg 10448	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸 ≼ 𝑍))
51	18, 15, 50	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ 𝑍)
52	16	uzct 45345	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
54		domtr 8946	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐸 ≼ 𝑍 ∧ 𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
55	51, 53, 54	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
56	2, 3, 24, 55	omeunile 46786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
57	49, 56	eqbrtrd 5119	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
58		ltweuz 13886	. . . . . 6 ⊢ < We (ℤ≥‘𝑁)
59		weeq2 5611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (ℤ≥‘𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁)))
60	16, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁))
61	58, 60	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ < We 𝑍
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < We 𝑍)
63	18, 23, 5, 62	sge0resrn 46685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)))
64		fcompt 7078	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))))
65		nfcv 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑂
66	65, 40	nffv 6843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑂‘(𝐸‘𝑚))
67		nfcv 2897	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑂‘(𝐸‘𝑛))
68		2fveq3 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸‘𝑚)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
69	66, 67, 68	cbvmpt 5199	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
71	64, 70	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
72	23, 5, 71	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
73	72	fveq2d 6837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
74	63, 73	breqtrd 5123	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
75	14, 26, 31, 57, 74	xrletrd 13078	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2882  ∀wral 3050  Vcvv 3439   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4553  ∪ cuni 4862  ∪ ciun 4945   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178   We wwe 5575  dom cdm 5623  ran crn 5624   ↾ cres 5625   ∘ ccom 5627   Fn wfn 6486  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ωcom 7808   ≼ cdom 8883  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℤ_≥cuz 12753  [,]cicc 13266  Σ^{^}csumge0 46643  OutMeascome 46770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-ac2 10375  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-ac 10028  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-sumge0 46644  df-ome 46771

This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  46800  omeiunlempt  46801  caratheodorylem2  46808