Theorem omeiunle 46043

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunle.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
omeiunle.ne	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
omeiunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeiunle.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
omeiunle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeiunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13442	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omeiunle.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeiunle.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omeiunle.nph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		omeiunle.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
6	5	ffvelcdmda 7093	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7		elpwi 4611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
9	8	ex 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋))
10	4, 9	ralrimi 3244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
11		iunss 5049	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
12	10, 11	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
13	2, 3, 12	omecl 46029	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
14	1, 13	sselid 3974	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ*)
15	5	ffnd 6724	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑍)
16		omeiunle.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
17	16	fvexi 6910	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
19		fnex 7229	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 Fn 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
20	15, 18, 19	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
21		rnexg 7910	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
23	2, 3	omef 46022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
24	5	frnd 6731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
25	23, 24	fssresd 6764	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
26	22, 25	sge0xrcl 45911	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
27	2	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
28	27, 3, 8	omecl 46029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
29		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
30	4, 28, 29	fmptdf 7126	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
31	18, 30	sge0xrcl 45911	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
32		fvex 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
33	32	rgenw 3054	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
34		dfiun3g 5967	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
37	5	feqmptd 6966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)))
38		omeiunle.ne	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
39		nfcv 2891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
40	38, 39	nffv 6906	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑚)
41		nfcv 2891	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐸‘𝑛)
42		fveq2 6896	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
43	40, 41, 42	cbvmpt 5260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
45	37, 44	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
46	45	rneqd 5940	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
47	46	unieqd 4922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐸 = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
48	36, 47	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran 𝐸)
49	48	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘∪ ran 𝐸))
50		fnrndomg 10561	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸 ≼ 𝑍))
51	18, 15, 50	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ 𝑍)
52	16	uzct 44569	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
54		domtr 9028	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐸 ≼ 𝑍 ∧ 𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
55	51, 53, 54	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
56	2, 3, 24, 55	omeunile 46031	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
57	49, 56	eqbrtrd 5171	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
58		ltweuz 13962	. . . . . 6 ⊢ < We (ℤ≥‘𝑁)
59		weeq2 5667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (ℤ≥‘𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁)))
60	16, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁))
61	58, 60	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ < We 𝑍
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < We 𝑍)
63	18, 23, 5, 62	sge0resrn 45930	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)))
64		fcompt 7142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))))
65		nfcv 2891	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑂
66	65, 40	nffv 6906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑂‘(𝐸‘𝑚))
67		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑂‘(𝐸‘𝑛))
68		2fveq3 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸‘𝑚)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
69	66, 67, 68	cbvmpt 5260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
71	64, 70	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
72	23, 5, 71	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
73	72	fveq2d 6900	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
74	63, 73	breqtrd 5175	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
75	14, 26, 31, 57, 74	xrletrd 13176	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875  ∀wral 3050  Vcvv 3461   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604  ∪ cuni 4909  ∪ ciun 4997   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   We wwe 5632  dom cdm 5678  ran crn 5679   ↾ cres 5680   ∘ ccom 5682   Fn wfn 6544  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ωcom 7871   ≼ cdom 8962  0cc0 11140  +∞cpnf 11277  ℝ^*cxr 11279   < clt 11280   ≤ cle 11281  ℤ_≥cuz 12855  [,]cicc 13362  Σ^{^}csumge0 45888  OutMeascome 46015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-sumge0 45889  df-ome 46016

This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  46045  omeiunlempt  46046  caratheodorylem2  46053