Theorem omeiunle 43730

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunle.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
omeiunle.ne	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
omeiunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeiunle.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
omeiunle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeiunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13018	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omeiunle.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeiunle.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omeiunle.nph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		omeiunle.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
6	5	ffvelrnda 6904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7		elpwi 4522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
9	8	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋))
10	4, 9	ralrimi 3137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
11		iunss 4954	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
12	10, 11	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
13	2, 3, 12	omecl 43716	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
14	1, 13	sseldi 3899	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ*)
15	5	ffnd 6546	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑍)
16		omeiunle.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
17	16	fvexi 6731	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
19		fnex 7033	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 Fn 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
20	15, 18, 19	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
21		rnexg 7682	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
23	2, 3	omef 43709	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
24	5	frnd 6553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
25	23, 24	fssresd 6586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
26	22, 25	sge0xrcl 43598	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
27	2	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
28	27, 3, 8	omecl 43716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
29		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
30	4, 28, 29	fmptdf 6934	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
31	18, 30	sge0xrcl 43598	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
32		fvex 6730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
33	32	rgenw 3073	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
34		dfiun3g 5833	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
37	5	feqmptd 6780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)))
38		omeiunle.ne	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
39		nfcv 2904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
40	38, 39	nffv 6727	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑚)
41		nfcv 2904	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐸‘𝑛)
42		fveq2 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
43	40, 41, 42	cbvmpt 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
45	37, 44	eqtrd 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
46	45	rneqd 5807	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
47	46	unieqd 4833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐸 = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
48	36, 47	eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran 𝐸)
49	48	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘∪ ran 𝐸))
50		fnrndomg 10150	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸 ≼ 𝑍))
51	18, 15, 50	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ 𝑍)
52	16	uzct 42284	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
54		domtr 8681	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐸 ≼ 𝑍 ∧ 𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
55	51, 53, 54	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
56	2, 3, 24, 55	omeunile 43718	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
57	49, 56	eqbrtrd 5075	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
58		ltweuz 13534	. . . . . 6 ⊢ < We (ℤ≥‘𝑁)
59		weeq2 5540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (ℤ≥‘𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁)))
60	16, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁))
61	58, 60	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ < We 𝑍
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < We 𝑍)
63	18, 23, 5, 62	sge0resrn 43617	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)))
64		fcompt 6948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))))
65		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑂
66	65, 40	nffv 6727	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑂‘(𝐸‘𝑚))
67		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑂‘(𝐸‘𝑛))
68		2fveq3 6722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸‘𝑚)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
69	66, 67, 68	cbvmpt 5156	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
71	64, 70	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
72	23, 5, 71	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
73	72	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
74	63, 73	breqtrd 5079	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
75	14, 26, 31, 57, 74	xrletrd 12752	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543  Ⅎwnf 1791   ∈ wcel 2110  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3061  Vcvv 3408   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513  ∪ cuni 4819  ∪ ciun 4904   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   We wwe 5508  dom cdm 5551  ran crn 5552   ↾ cres 5553   ∘ ccom 5555   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ωcom 7644   ≼ cdom 8624  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  ℤ_≥cuz 12438  [,]cicc 12938  Σ^{^}csumge0 43575  OutMeascome 43702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-ac 9730  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-sumge0 43576  df-ome 43703

This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  43732  omeiunlempt  43733  caratheodorylem2  43740