Theorem omeiunle 41246

Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeiunle.nph	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
omeiunle.ne	⊢ Ⅎ𝑛𝐸
omeiunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeiunle.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
omeiunle.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeiunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12461	. . 3 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		omeiunle.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeiunle.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4		omeiunle.nph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		omeiunle.e	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
6	5	ffvelrnda 6504	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7		elpwi 4308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
9	8	ex 397	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 → (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋))
10	4, 9	ralrimi 3106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
11		iunss 4696	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
12	10, 11	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ⊆ 𝑋)
13	2, 3, 12	omecl 41232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
14	1, 13	sseldi 3750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ∈ ℝ*)
15	5	ffnd 6185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 Fn 𝑍)
16		omeiunle.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
17	16	fvexi 6345	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
19		fnex 6628	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 Fn 𝑍 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
20	15, 18, 19	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ V)
21		rnexg 7249	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
23	2, 3	omef 41225	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
24	5	frnd 6191	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
25	23, 24	fssresd 6212	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
26	22, 25	sge0xrcl 41114	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
27	2	adantr 466	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
28	27, 3, 8	omecl 41232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑂‘(𝐸‘𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
29		eqid 2771	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
30	4, 28, 29	fmptdf 6532	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
31	18, 30	sge0xrcl 41114	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))) ∈ ℝ*)
32		fvex 6344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸‘𝑛) ∈ V
33	32	rgenw 3073	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V
34		dfiun3g 5515	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) ∈ V → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
37	5	feqmptd 6393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)))
38		omeiunle.ne	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝐸
39		nfcv 2913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛𝑚
40	38, 39	nffv 6341	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘𝑚)
41		nfcv 2913	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑚(𝐸‘𝑛)
42		fveq2 6333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
43	40, 41, 42	cbvmpt 4884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛))
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑚)) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
45	37, 44	eqtrd 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
46	45	rneqd 5490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
47	46	unieqd 4585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐸 = ∪ ran (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝐸‘𝑛)))
48	36, 47	eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∪ ran 𝐸)
49	48	fveq2d 6337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑂‘∪ ran 𝐸))
50		fnrndomg 9564	. . . . . 6 ⊢ (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸 ≼ 𝑍))
51	18, 15, 50	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ 𝑍)
52	16	uzct 39751	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ≼ ω
53	52	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≼ ω)
54		domtr 8166	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐸 ≼ 𝑍 ∧ 𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
55	51, 53, 54	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
56	2, 3, 24, 55	omeunile 41234	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
57	49, 56	eqbrtrd 4809	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
58		ltweuz 12968	. . . . . 6 ⊢ < We (ℤ≥‘𝑁)
59		weeq2 5239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍 = (ℤ≥‘𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁)))
60	16, 59	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ≥‘𝑁))
61	58, 60	mpbir 221	. . . . 5 ⊢ < We 𝑍
62	61	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < We 𝑍)
63	18, 23, 5, 62	sge0resrn 41133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)))
64		fcompt 6546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))))
65		nfcv 2913	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛𝑂
66	65, 40	nffv 6341	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑂‘(𝐸‘𝑚))
67		nfcv 2913	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑚(𝑂‘(𝐸‘𝑛))
68	42	fveq2d 6337	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸‘𝑚)) = (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
69	66, 67, 68	cbvmpt 4884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))
70	69	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
71	64, 70	eqtrd 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
72	23, 5, 71	syl2anc 573	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∘ 𝐸) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛))))
73	72	fveq2d 6337	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ∘ 𝐸)) = (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
74	63, 73	breqtrd 4813	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))
75	14, 26, 31, 57, 74	xrletrd 12198	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸‘𝑛)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631  Ⅎwnf 1856   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2900  ∀wral 3061  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4298  ∪ cuni 4575  ∪ ciun 4655   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864   We wwe 5208  dom cdm 5250  ran crn 5251   ↾ cres 5252   ∘ ccom 5254   Fn wfn 6025  ⟶wf 6026  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ωcom 7216   ≼ cdom 8111  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  ℝ^*cxr 10279   < clt 10280   ≤ cle 10281  ℤ_≥cuz 11893  [,]cicc 12383  Σ^{^}csumge0 41091  OutMeascome 41218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-sumge0 41092  df-ome 41219

This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  41248  omeiunlempt  41249  caratheodorylem2  41256