Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeiunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeiunle 43730
Description: The outer measure of the indexed union of a countable set is the less than or equal to the extended sum of the outer measures. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeiunle.nph 𝑛𝜑
omeiunle.ne 𝑛𝐸
omeiunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeiunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeiunle.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
omeiunle.e (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeiunle (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑂   𝑛,𝑋   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐸(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem omeiunle
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccssxr 13018 . . 3 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2 omeiunle.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeiunle.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
4 omeiunle.nph . . . . . 6 𝑛𝜑
5 omeiunle.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋)
65ffvelrnda 6904 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋)
7 elpwi 4522 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑛) ∈ 𝒫 𝑋 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
98ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋))
104, 9ralrimi 3137 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
11 iunss 4954 . . . . 5 ( 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋 ↔ ∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
1210, 11sylibr 237 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ⊆ 𝑋)
132, 3, 12omecl 43716 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
141, 13sseldi 3899 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∈ ℝ*)
155ffnd 6546 . . . . 5 (𝜑𝐸 Fn 𝑍)
16 omeiunle.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑁)
1716fvexi 6731 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
1817a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ V)
19 fnex 7033 . . . . 5 ((𝐸 Fn 𝑍𝑍 ∈ V) → 𝐸 ∈ V)
2015, 18, 19syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ V)
21 rnexg 7682 . . . 4 (𝐸 ∈ V → ran 𝐸 ∈ V)
2220, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → ran 𝐸 ∈ V)
232, 3omef 43709 . . . 4 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
245frnd 6553 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ⊆ 𝒫 𝑋)
2523, 24fssresd 6586 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ↾ ran 𝐸):ran 𝐸⟶(0[,]+∞))
2622, 25sge0xrcl 43598 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ∈ ℝ*)
272adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
2827, 3, 8omecl 43716 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑂‘(𝐸𝑛)) ∈ (0[,]+∞))
29 eqid 2737 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
304, 28, 29fmptdf 6934 . . 3 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))):𝑍⟶(0[,]+∞))
3118, 30sge0xrcl 43598 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))) ∈ ℝ*)
32 fvex 6730 . . . . . . . 8 (𝐸𝑛) ∈ V
3332rgenw 3073 . . . . . . 7 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V
34 dfiun3g 5833 . . . . . . 7 (∀𝑛𝑍 (𝐸𝑛) ∈ V → 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
3635a1i 11 . . . . 5 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
375feqmptd 6780 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 = (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)))
38 omeiunle.ne . . . . . . . . . . 11 𝑛𝐸
39 nfcv 2904 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑚
4038, 39nffv 6727 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝐸𝑚)
41 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐸𝑛)
42 fveq2 6717 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
4340, 41, 42cbvmpt 5156 . . . . . . . . 9 (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝐸𝑚)) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4537, 44eqtrd 2777 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4645rneqd 5807 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4746unieqd 4833 . . . . 5 (𝜑 ran 𝐸 = ran (𝑛𝑍 ↦ (𝐸𝑛)))
4836, 47eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = ran 𝐸)
4948fveq2d 6721 . . 3 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝑂 ran 𝐸))
50 fnrndomg 10150 . . . . . 6 (𝑍 ∈ V → (𝐸 Fn 𝑍 → ran 𝐸𝑍))
5118, 15, 50sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐸𝑍)
5216uzct 42284 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
5352a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑍 ≼ ω)
54 domtr 8681 . . . . 5 ((ran 𝐸𝑍𝑍 ≼ ω) → ran 𝐸 ≼ ω)
5551, 53, 54syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐸 ≼ ω)
562, 3, 24, 55omeunile 43718 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ran 𝐸) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
5749, 56eqbrtrd 5075 . 2 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)))
58 ltweuz 13534 . . . . . 6 < We (ℤ𝑁)
59 weeq2 5540 . . . . . . 7 (𝑍 = (ℤ𝑁) → ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁)))
6016, 59ax-mp 5 . . . . . 6 ( < We 𝑍 ↔ < We (ℤ𝑁))
6158, 60mpbir 234 . . . . 5 < We 𝑍
6261a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < We 𝑍)
6318, 23, 5, 62sge0resrn 43617 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑂𝐸)))
64 fcompt 6948 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))))
65 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑛𝑂
6665, 40nffv 6727 . . . . . . . 8 𝑛(𝑂‘(𝐸𝑚))
67 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑚(𝑂‘(𝐸𝑛))
68 2fveq3 6722 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑂‘(𝐸𝑚)) = (𝑂‘(𝐸𝑛)))
6966, 67, 68cbvmpt 5156 . . . . . . 7 (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))
7069a1i 11 . . . . . 6 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑚𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7164, 70eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐸:𝑍⟶𝒫 𝑋) → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7223, 5, 71syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐸) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛))))
7372fveq2d 6721 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂𝐸)) = (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7463, 73breqtrd 5079 . 2 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ ran 𝐸)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
7514, 26, 31, 57, 74xrletrd 12752 1 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ≤ (Σ^‘(𝑛𝑍 ↦ (𝑂‘(𝐸𝑛)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wnfc 2884  wral 3061  Vcvv 3408  wss 3866  𝒫 cpw 4513   cuni 4819   ciun 4904   class class class wbr 5053  cmpt 5135   We wwe 5508  dom cdm 5551  ran crn 5552  cres 5553  ccom 5555   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  ωcom 7644  cdom 8624  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  cuz 12438  [,]cicc 12938  Σ^csumge0 43575  OutMeascome 43702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-ac 9730  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-sumge0 43576  df-ome 43703
This theorem is referenced by:  omeiunltfirp  43732  omeiunlempt  43733  caratheodorylem2  43740
  Copyright terms: Public domain W3C validator