Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeunle 46531
Description: The outer measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeunle.a (𝜑𝐴𝑋)
omeunle.b (𝜑𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeunle (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))

Proof of Theorem omeunle
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeunle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 omeunle.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeunle.x . . . . . . 7 𝑋 = dom 𝑂
42, 3unidmex 45055 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
5 ssexg 5323 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
61, 4, 5syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 omeunle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
8 ssexg 5323 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
97, 4, 8syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
10 uniprg 4923 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
116, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1211eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
1312fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) = (𝑂 {𝐴, 𝐵}))
14 iccssxr 13470 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
151, 7unssd 4192 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑋)
1611, 15eqsstrd 4018 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
172, 3, 16omecl 46518 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
1814, 17sselid 3981 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19 prfi 9363 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
2019elexi 3503 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
222, 3omef 46511 . . . . 5 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23 elpwg 4603 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
251, 24mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26 elpwg 4603 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
279, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
287, 27mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
2925, 28jca 511 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30 prssg 4819 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
316, 9, 30syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
3229, 31mpbid 232 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
3322, 32fssresd 6775 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
3421, 33sge0xrcl 46400 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
352, 3, 1omecl 46518 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3614, 35sselid 3981 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
372, 3, 7omecl 46518 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
3814, 37sselid 3981 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
3936, 38xaddcld 13343 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)) ∈ ℝ*)
40 isfinite 9692 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4140biimpi 216 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42 sdomdom 9020 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4419, 43ax-mp 5 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
462, 3, 32, 45omeunile 46520 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
4722, 32feqresmpt 6978 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘)))
4847fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))))
49 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐴))
50 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑘 = 𝐵 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐵))
516, 9, 35, 37, 49, 50sge0prle 46416 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5248, 51eqbrtrd 5165 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5318, 34, 39, 46, 52xrletrd 13204 . 2 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5413, 53eqbrtrd 5165 1 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {cpr 4628   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  ωcom 7887  cdom 8983  csdm 8984  Fincfn 8985  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  Σ^csumge0 46377  OutMeascome 46504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378  df-ome 46505
This theorem is referenced by:  omelesplit  46533
  Copyright terms: Public domain W3C validator