Theorem omeunle 44054

Description: The outer measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeunle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omeunle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Proof of Theorem omeunle

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeunle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
2		omeunle.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeunle.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4	2, 3	unidmex 42598	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
5		ssexg 5247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		omeunle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
8		ssexg 5247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
9	7, 4, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10		uniprg 4856	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	11	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
13	12	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}))
14		iccssxr 13162	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15	1, 7	unssd 4120	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑋)
16	11, 15	eqsstrd 3959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
17	2, 3, 16	omecl 44041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
18	14, 17	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19		prfi 9089	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
20	19	elexi 3451	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
22	2, 3	omef 44034	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23		elpwg 4536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
25	1, 24	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26		elpwg 4536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
27	9, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
28	7, 27	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
29	25, 28	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30		prssg 4752	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
31	6, 9, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
32	29, 31	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
33	22, 32	fssresd 6641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
34	21, 33	sge0xrcl 43923	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
35	2, 3, 1	omecl 44041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
36	14, 35	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
37	2, 3, 7	omecl 44041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
38	14, 37	sselid 3919	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
39	36, 38	xaddcld 13035	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)) ∈ ℝ*)
40		isfinite 9410	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
41	40	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42		sdomdom 8768	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
44	19, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
46	2, 3, 32, 45	omeunile 44043	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
47	22, 32	feqresmpt 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘)))
48	47	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))))
49		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐴))
50		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐵))
51	6, 9, 35, 37, 49, 50	sge0prle 43939	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
52	48, 51	eqbrtrd 5096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
53	18, 34, 39, 46, 52	xrletrd 12896	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
54	13, 53	eqbrtrd 5096	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∪ cun 3885   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  {cpr 4563  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ωcom 7712   ≼ cdom 8731   ≺ csdm 8732  Fincfn 8733  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010   +_𝑒 cxad 12846  [,]cicc 13082  Σ^{^}csumge0 43900  OutMeascome 44027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-sumge0 43901  df-ome 44028

This theorem is referenced by:  omelesplit  44056