Theorem omeunle 47230

Description: The outer measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeunle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omeunle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Proof of Theorem omeunle

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeunle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
2		omeunle.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeunle.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4	2, 3	unidmex 45770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
5		ssexg 5290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	1, 4, 5	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		omeunle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
8		ssexg 5290	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
9	7, 4, 8	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10		uniprg 4888	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
11	6, 9, 10	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	11	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
13	12	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}))
14		iccssxr 13452	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15	1, 7	unssd 4145	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑋)
16	11, 15	eqsstrd 3971	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
17	2, 3, 16	omecl 47217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
18	14, 17	sselid 3935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19		prfi 9279	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
20	19	elexi 3477	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
22	2, 3	omef 47210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23		elpwg 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
24	6, 23	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
25	1, 24	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26		elpwg 4565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
27	9, 26	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
28	7, 27	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
29	25, 28	jca 520	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30		prssg 4785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
31	6, 9, 30	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
32	29, 31	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
33	22, 32	fssresd 6745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
34	21, 33	sge0xrcl 47099	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
35	2, 3, 1	omecl 47217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
36	14, 35	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
37	2, 3, 7	omecl 47217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
38	14, 37	sselid 3935	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
39	36, 38	xaddcld 13322	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)) ∈ ℝ*)
40		isfinite 9617	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
41	40	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42		sdomdom 8973	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
43	41, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
44	19, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
46	2, 3, 32, 45	omeunile 47219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
47	22, 32	feqresmpt 6950	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘)))
48	47	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))))
49		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐴))
50		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐵))
51	6, 9, 35, 37, 49, 50	sge0prle 47115	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
52	48, 51	eqbrtrd 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
53	18, 34, 39, 46, 52	xrletrd 13182	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
54	13, 53	eqbrtrd 5133	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  {cpr 4591  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ωcom 7858   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  Fincfn 8939  0cc0 11095  +∞cpnf 11235  ℝ^*cxr 11237   ≤ cle 11239   +_𝑒 cxad 13130  [,]cicc 13370  Σ^{^}csumge0 47076  OutMeascome 47203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-xadd 13133  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-sumge0 47077  df-ome 47204

This theorem is referenced by:  omelesplit  47232