Theorem omeunle 46521

Description: The outer measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeunle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omeunle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Proof of Theorem omeunle

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeunle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
2		omeunle.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeunle.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4	2, 3	unidmex 45051	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
5		ssexg 5281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		omeunle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
8		ssexg 5281	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
9	7, 4, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10		uniprg 4890	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	11	eqcomd 2736	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
13	12	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}))
14		iccssxr 13398	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15	1, 7	unssd 4158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑋)
16	11, 15	eqsstrd 3984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
17	2, 3, 16	omecl 46508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
18	14, 17	sselid 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19		prfi 9281	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
20	19	elexi 3473	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
22	2, 3	omef 46501	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23		elpwg 4569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
25	1, 24	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26		elpwg 4569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
27	9, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
28	7, 27	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
29	25, 28	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30		prssg 4786	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
31	6, 9, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
33	22, 32	fssresd 6730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
34	21, 33	sge0xrcl 46390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
35	2, 3, 1	omecl 46508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
36	14, 35	sselid 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
37	2, 3, 7	omecl 46508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
38	14, 37	sselid 3947	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
39	36, 38	xaddcld 13268	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)) ∈ ℝ*)
40		isfinite 9612	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
41	40	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42		sdomdom 8954	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
44	19, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
46	2, 3, 32, 45	omeunile 46510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
47	22, 32	feqresmpt 6933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘)))
48	47	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))))
49		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐴))
50		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐵))
51	6, 9, 35, 37, 49, 50	sge0prle 46406	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
52	48, 51	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
53	18, 34, 39, 46, 52	xrletrd 13129	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
54	13, 53	eqbrtrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ∪ cun 3915   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  {cpr 4594  ∪ cuni 4874   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ωcom 7845   ≼ cdom 8919   ≺ csdm 8920  Fincfn 8921  0cc0 11075  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216   +_𝑒 cxad 13077  [,]cicc 13316  Σ^{^}csumge0 46367  OutMeascome 46494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660  df-sumge0 46368  df-ome 46495

This theorem is referenced by:  omelesplit  46523