Theorem omeunle 46959

Description: The outer measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeunle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omeunle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Proof of Theorem omeunle

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeunle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
2		omeunle.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeunle.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4	2, 3	unidmex 45498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
5		ssexg 5251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	1, 4, 5	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		omeunle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
8		ssexg 5251	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
9	7, 4, 8	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10		uniprg 4854	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
11	6, 9, 10	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	11	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
13	12	fveq2d 6831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}))
14		iccssxr 13374	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15	1, 7	unssd 4121	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑋)
16	11, 15	eqsstrd 3949	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
17	2, 3, 16	omecl 46946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
18	14, 17	sselid 3913	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19		prfi 9224	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
20	19	elexi 3453	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
22	2, 3	omef 46939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23		elpwg 4532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
25	1, 24	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26		elpwg 4532	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
27	9, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
28	7, 27	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
29	25, 28	jca 516	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30		prssg 4750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
31	6, 9, 30	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
32	29, 31	mpbid 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
33	22, 32	fssresd 6694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
34	21, 33	sge0xrcl 46828	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
35	2, 3, 1	omecl 46946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
36	14, 35	sselid 3913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
37	2, 3, 7	omecl 46946	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
38	14, 37	sselid 3913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
39	36, 38	xaddcld 13244	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)) ∈ ℝ*)
40		isfinite 9564	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
41	40	biimpi 217	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42		sdomdom 8917	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
44	19, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
46	2, 3, 32, 45	omeunile 46948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
47	22, 32	feqresmpt 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘)))
48	47	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))))
49		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐴))
50		fveq2 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐵))
51	6, 9, 35, 37, 49, 50	sge0prle 46844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
52	48, 51	eqbrtrd 5094	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
53	18, 34, 39, 46, 52	xrletrd 13104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
54	13, 53	eqbrtrd 5094	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  {cpr 4557  ∪ cuni 4838   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5618   ↾ cres 5620  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ωcom 7806   ≼ cdom 8881   ≺ csdm 8882  Fincfn 8883  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171   +_𝑒 cxad 13052  [,]cicc 13292  Σ^{^}csumge0 46805  OutMeascome 46932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-xadd 13055  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46806  df-ome 46933

This theorem is referenced by:  omelesplit  46961