Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeunle 43729
Description: The outer measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeunle.a (𝜑𝐴𝑋)
omeunle.b (𝜑𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeunle (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))

Proof of Theorem omeunle
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeunle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 omeunle.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeunle.x . . . . . . 7 𝑋 = dom 𝑂
42, 3unidmex 42271 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
5 ssexg 5216 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
61, 4, 5syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 omeunle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
8 ssexg 5216 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
97, 4, 8syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
10 uniprg 4836 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
116, 9, 10syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1211eqcomd 2743 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
1312fveq2d 6721 . 2 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) = (𝑂 {𝐴, 𝐵}))
14 iccssxr 13018 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
151, 7unssd 4100 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑋)
1611, 15eqsstrd 3939 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
172, 3, 16omecl 43716 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
1814, 17sseldi 3899 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19 prfi 8946 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
2019elexi 3427 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
222, 3omef 43709 . . . . 5 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23 elpwg 4516 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
251, 24mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26 elpwg 4516 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
279, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
287, 27mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
2925, 28jca 515 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30 prssg 4732 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
316, 9, 30syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
3229, 31mpbid 235 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
3322, 32fssresd 6586 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
3421, 33sge0xrcl 43598 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
352, 3, 1omecl 43716 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3614, 35sseldi 3899 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
372, 3, 7omecl 43716 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
3814, 37sseldi 3899 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
3936, 38xaddcld 12891 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)) ∈ ℝ*)
40 isfinite 9267 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4140biimpi 219 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42 sdomdom 8656 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4419, 43ax-mp 5 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
462, 3, 32, 45omeunile 43718 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
4722, 32feqresmpt 6781 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘)))
4847fveq2d 6721 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))))
49 fveq2 6717 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐴))
50 fveq2 6717 . . . . 5 (𝑘 = 𝐵 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐵))
516, 9, 35, 37, 49, 50sge0prle 43614 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5248, 51eqbrtrd 5075 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5318, 34, 39, 46, 52xrletrd 12752 . 2 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5413, 53eqbrtrd 5075 1 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cun 3864  wss 3866  𝒫 cpw 4513  {cpr 4543   cuni 4819   class class class wbr 5053  cmpt 5135  dom cdm 5551  cres 5553  cfv 6380  (class class class)co 7213  ωcom 7644  cdom 8624  csdm 8625  Fincfn 8626  0cc0 10729  +∞cpnf 10864  *cxr 10866  cle 10868   +𝑒 cxad 12702  [,]cicc 12938  Σ^csumge0 43575  OutMeascome 43702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-sumge0 43576  df-ome 43703
This theorem is referenced by:  omelesplit  43731
  Copyright terms: Public domain W3C validator