Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omeunle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omeunle 41245
Description: The outer measure of the union of two sets is less or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
omeunle.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x 𝑋 = dom 𝑂
omeunle.a (𝜑𝐴𝑋)
omeunle.b (𝜑𝐵𝑋)
Assertion
Ref Expression
omeunle (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))

Proof of Theorem omeunle
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omeunle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑋)
2 omeunle.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
3 omeunle.x . . . . . . 7 𝑋 = dom 𝑂
42, 3unidmex 39736 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
5 ssexg 4939 . . . . . 6 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
61, 4, 5syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ V)
7 omeunle.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑋)
8 ssexg 4939 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
97, 4, 8syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ V)
10 uniprg 4589 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
116, 9, 10syl2anc 573 . . . 4 (𝜑 {𝐴, 𝐵} = (𝐴𝐵))
1211eqcomd 2777 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = {𝐴, 𝐵})
1312fveq2d 6337 . 2 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) = (𝑂 {𝐴, 𝐵}))
14 iccssxr 12461 . . . 4 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
151, 7unssd 3940 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑋)
1611, 15eqsstrd 3788 . . . . 5 (𝜑 {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
172, 3, 16omecl 41232 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
1814, 17sseldi 3750 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19 prfi 8395 . . . . . 6 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
2019elexi 3365 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
222, 3omef 41225 . . . . 5 (𝜑𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23 elpwg 4306 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐴𝑋))
251, 24mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26 elpwg 4306 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
279, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋𝐵𝑋))
287, 27mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
2925, 28jca 501 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30 prssg 4486 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
316, 9, 30syl2anc 573 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
3229, 31mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
3322, 32fssresd 6212 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
3421, 33sge0xrcl 41114 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
352, 3, 1omecl 41232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ (0[,]+∞))
3614, 35sseldi 3750 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ*)
372, 3, 7omecl 41232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ (0[,]+∞))
3814, 37sseldi 3750 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐵) ∈ ℝ*)
3936, 38xaddcld 12336 . . 3 (𝜑 → ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)) ∈ ℝ*)
40 isfinite 8717 . . . . . . . 8 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
4140biimpi 206 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42 sdomdom 8141 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4341, 42syl 17 . . . . . 6 ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
4419, 43ax-mp 5 . . . . 5 {𝐴, 𝐵} ≼ ω
4544a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
462, 3, 32, 45omeunile 41234 . . 3 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
4722, 32feqresmpt 6394 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘)))
4847fveq2d 6337 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))))
49 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐴))
50 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑘 = 𝐵 → (𝑂𝑘) = (𝑂𝐵))
516, 9, 35, 37, 49, 50sge0prle 41130 . . . 4 (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂𝑘))) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5248, 51eqbrtrd 4809 . . 3 (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5318, 34, 39, 46, 52xrletrd 12198 . 2 (𝜑 → (𝑂 {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
5413, 53eqbrtrd 4809 1 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴𝐵)) ≤ ((𝑂𝐴) +𝑒 (𝑂𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cun 3721  wss 3723  𝒫 cpw 4298  {cpr 4319   cuni 4575   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  cres 5252  cfv 6030  (class class class)co 6796  ωcom 7216  cdom 8111  csdm 8112  Fincfn 8113  0cc0 10142  +∞cpnf 10277  *cxr 10279  cle 10281   +𝑒 cxad 12149  [,]cicc 12383  Σ^csumge0 41091  OutMeascome 41218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-sumge0 41092  df-ome 41219
This theorem is referenced by:  omelesplit  41247
  Copyright terms: Public domain W3C validator