Theorem omeunle 46497

Description: The outer measure of the union of two sets is less than or equal to the sum of the measures, Remark 113B (c) of [Fremlin1] p. 19. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
omeunle.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
omeunle.x	⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
omeunle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
omeunle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
omeunle	⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Proof of Theorem omeunle

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omeunle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑋)
2		omeunle.o	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ OutMeas)
3		omeunle.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ∪ dom 𝑂
4	2, 3	unidmex 45028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
5		ssexg 5262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
6	1, 4, 5	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
7		omeunle.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝑋)
8		ssexg 5262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐵 ∈ V)
9	7, 4, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
10		uniprg 4874	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
11	6, 9, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} = (𝐴 ∪ 𝐵))
12	11	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) = ∪ {𝐴, 𝐵})
13	12	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}))
14		iccssxr 13333	. . . 4 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
15	1, 7	unssd 4143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑋)
16	11, 15	eqsstrd 3970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝑋)
17	2, 3, 16	omecl 46484	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ (0[,]+∞))
18	14, 17	sselid 3933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ∈ ℝ*)
19		prfi 9213	. . . . . 6 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
20	19	elexi 3459	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
22	2, 3	omef 46477	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝒫 𝑋⟶(0[,]+∞))
23		elpwg 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
24	6, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ 𝑋))
25	1, 24	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑋)
26		elpwg 4554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
27	9, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝐵 ⊆ 𝑋))
28	7, 27	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
29	25, 28	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋))
30		prssg 4770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
31	6, 9, 30	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝑋) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋))
32	29, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ⊆ 𝒫 𝑋)
33	22, 32	fssresd 6691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}):{𝐴, 𝐵}⟶(0[,]+∞))
34	21, 33	sge0xrcl 46366	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ∈ ℝ*)
35	2, 3, 1	omecl 46484	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ (0[,]+∞))
36	14, 35	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ*)
37	2, 3, 7	omecl 46484	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ (0[,]+∞))
38	14, 37	sselid 3933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝐵) ∈ ℝ*)
39	36, 38	xaddcld 13203	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)) ∈ ℝ*)
40		isfinite 9548	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ↔ {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
41	40	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≺ ω)
42		sdomdom 8905	. . . . . . 7 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≺ ω → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ Fin → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
44	19, 43	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ {𝐴, 𝐵} ≼ ω
45	44	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ≼ ω)
46	2, 3, 32, 45	omeunile 46486	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})))
47	22, 32	feqresmpt 6892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵}) = (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘)))
48	47	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) = (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))))
49		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐴))
50		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → (𝑂‘𝑘) = (𝑂‘𝐵))
51	6, 9, 35, 37, 49, 50	sge0prle 46382	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} ↦ (𝑂‘𝑘))) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
52	48, 51	eqbrtrd 5114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑂 ↾ {𝐴, 𝐵})) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
53	18, 34, 39, 46, 52	xrletrd 13064	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘∪ {𝐴, 𝐵}) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))
54	13, 53	eqbrtrd 5114	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∪ 𝐵)) ≤ ((𝑂‘𝐴) +𝑒 (𝑂‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  𝒫 cpw 4551  {cpr 4579  ∪ cuni 4858   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ωcom 7799   ≼ cdom 8870   ≺ csdm 8871  Fincfn 8872  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150   +_𝑒 cxad 13012  [,]cicc 13251  Σ^{^}csumge0 46343  OutMeascome 46470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-sumge0 46344  df-ome 46471

This theorem is referenced by:  omelesplit  46499