Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncllem2 46537
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncllem2.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncllem2.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncllem2.x 𝑋 = dom 𝑂
carageniuncllem2.a (𝜑𝐴𝑋)
carageniuncllem2.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
carageniuncllem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncllem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
carageniuncllem2.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
carageniuncllem2.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
carageniuncllem2.g 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
carageniuncllem2.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
carageniuncllem2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑀,𝑛   𝑛,𝑂   𝑆,𝑖   𝑛,𝑋   𝑖,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖,𝑛)   𝑂(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem carageniuncllem2
Dummy variables 𝑘 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncllem2.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 carageniuncllem2.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
3 carageniuncllem2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
4 carageniuncllem2.re . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
5 inss1 4237 . . . . 5 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
71, 2, 3, 4, 6omessre 46525 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
8 difssd 4137 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
91, 2, 3, 4, 8omessre 46525 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
10 rexadd 13274 . . 3 (((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
117, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
12 carageniuncllem2.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 ssinss1 4246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
151, 2unidmex 45055 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ V)
16 ssexg 5323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
173, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ V)
18 inex1g 5319 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
20 elpwg 4603 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2214, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
2322adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2523, 24fmptd 7134 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
26 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
2726ineq2d 4220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2827cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2928feq1i 6727 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋))
3125, 30mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3319adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
3428fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑍 ∧ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3532, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3635iuneq2dv 5016 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3736fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
38 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝜑
39 carageniuncllem2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
40 carageniuncllem2.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
4138, 12, 39, 40iundjiun 46475 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
4241simplrd 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4342eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4443ineq2d 4220 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
45 iunin2 5071 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4645eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4844, 47eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4948fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
5049, 7eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
5137, 50eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) ∈ ℝ)
52 carageniuncllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
531, 2, 12, 31, 51, 52omeiunltfirp 46534 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌))
5437adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
55 elpwinss 45054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧𝑍)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑧𝑍)
57 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑧)
5856, 57sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
5958adantll 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
6019ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
6159, 60, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
6261fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6362sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6463oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
6554, 64breq12d 5156 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) ↔ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6665biimpd 229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6766reximdva 3168 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6853, 67mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
69 carageniuncllem2.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7069adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7155adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧𝑍)
72 elinel2 4202 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
7372adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
7470, 12, 71, 73uzfissfz 45337 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7574adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7650ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
77 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
78 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
79 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀...𝑘) ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
8077, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ∈ Fin)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
821ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas)
833ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝐴𝑋)
844ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
85 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
8782, 2, 83, 84, 86omessre 46525 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8881, 87fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8952rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9188, 90readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
9291ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
93 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
9485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
951, 2, 3, 4, 94omessre 46525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9793, 96fsumrecl 15770 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9989adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
10098, 99readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
102 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
10397adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
104 fzfid 14014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
10596adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
106 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ∈ ℝ*)
108 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → +∞ ∈ ℝ*)
1101, 2, 14omecl 46518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
112 iccgelb 13443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
113107, 109, 111, 112syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
114113adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
115 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
116104, 105, 114, 115fsumless 15832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
11788, 103, 90, 116leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
118117ad4ant14 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
11976, 92, 101, 102, 118ltletrd 11421 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
120119ex 412 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
121120reximdv 3170 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12275, 121mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
123122rexlimdva2 3157 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12468, 123mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
12549ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
126 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
127125, 126eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
128127ex 412 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
129128reximdva 3168 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
130124, 129mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
131 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
1321adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
133 carageniuncllem2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
1343adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑋)
1354adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
13639adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐸:𝑍𝑆)
137 carageniuncllem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
138 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
139132, 133, 2, 134, 135, 12, 136, 137, 40, 138carageniuncllem1 46536 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))))
140139oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
141140adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
142131, 141breqtrd 5169 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
143142ex 412 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
144143reximdva 3168 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
145130, 144mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
14673ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
14793ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
148 inss1 4237 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴
149148a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
150132, 2, 134, 135, 149omessre 46525 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
15189adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℝ)
152150, 151readdcld 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
1531523adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
154 difssd 4137 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
155132, 2, 134, 135, 154omessre 46525 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
1561553adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
157 simp3 1139 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
158146, 153, 157ltled 11409 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
159134ssdifssd 4147 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝑋)
160 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
161160iuneq1d 5019 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
162 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...𝑘) ∈ V
163 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝑖) ∈ V
164162, 163iunex 7993 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ V
165161, 137, 164fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
166 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑛 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑛))
167166cbviunv 5040 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛)
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
169165, 168eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
170 elfzuz 13560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
17112eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) = 𝑍
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → (ℤ𝑀) = 𝑍)
173170, 172eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖𝑍)
174173ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍
175 iunss1 5006 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
178169, 177eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
179178adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
180179sscond 4146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))
181132, 2, 159, 180omessle 46513 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
1821813adant3 1133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
183146, 147, 153, 156, 158, 182le2addd 11882 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
184150recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
18589recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
186185adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℂ)
187155recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
188184, 186, 187add32d 11489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌))
189 rexadd 13274 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
190150, 155, 189syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
191190eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
192 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝜑
19339adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝐸:𝑍𝑆)
194173adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑍)
195193, 194ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
196192, 1, 133, 93, 195caragenfiiuncl 46530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
197196adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
198137, 161, 138, 197fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
199198, 197eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
200132, 133, 2, 199, 134caragensplit 46515 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
201191, 200eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
202201oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
203188, 202eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2042033adant3 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
205183, 204breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2062053exp 1120 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))))
207206rexlimdv 3153 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌)))
208145, 207mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
20911, 208eqbrtrd 5165 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907   ciun 4991  Disj wdisj 5110   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034   +𝑒 cxad 13152  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  Σcsu 15722  OutMeascome 46504  CaraGenccaragen 46506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-ac 10156  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-sumge0 46378  df-ome 46505  df-caragen 46507
This theorem is referenced by:  carageniuncl  46538
  Copyright terms: Public domain W3C validator