Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncllem2 42666
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncllem2.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncllem2.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncllem2.x 𝑋 = dom 𝑂
carageniuncllem2.a (𝜑𝐴𝑋)
carageniuncllem2.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
carageniuncllem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncllem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
carageniuncllem2.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
carageniuncllem2.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
carageniuncllem2.g 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
carageniuncllem2.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
carageniuncllem2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑀,𝑛   𝑛,𝑂   𝑆,𝑖   𝑛,𝑋   𝑖,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖,𝑛)   𝑂(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem carageniuncllem2
Dummy variables 𝑘 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncllem2.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 carageniuncllem2.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
3 carageniuncllem2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
4 carageniuncllem2.re . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
5 inss1 4208 . . . . 5 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
71, 2, 3, 4, 6omessre 42654 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
8 difssd 4112 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
91, 2, 3, 4, 8omessre 42654 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
10 rexadd 12618 . . 3 (((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
117, 9, 10syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
12 carageniuncllem2.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 ssinss1 4217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
151, 2unidmex 41173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ V)
16 ssexg 5223 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
173, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ V)
18 inex1g 5219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
20 elpwg 4547 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2214, 21mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
2322adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
24 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2523, 24fmptd 6873 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
26 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
2726ineq2d 4192 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2827cbvmptv 5165 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2928feq1i 6501 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋))
3125, 30mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
32 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3319adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
3428fvmpt2 6774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑍 ∧ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3532, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3635iuneq2dv 4939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3736fveq2d 6670 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
38 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝜑
39 carageniuncllem2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
40 carageniuncllem2.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
4138, 12, 39, 40iundjiun 42604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
4241simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4342eqcomd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4443ineq2d 4192 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
45 iunin2 4989 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4645eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4844, 47eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4948fveq2d 6670 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
5049, 7eqeltrrd 2918 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
5137, 50eqeltrd 2917 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) ∈ ℝ)
52 carageniuncllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
531, 2, 12, 31, 51, 52omeiunltfirp 42663 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌))
5437adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
55 elpwinss 41172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧𝑍)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑧𝑍)
57 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑧)
5856, 57sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
5958adantll 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
6019ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
6159, 60, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
6261fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6362sumeq2dv 15052 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6463oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
6554, 64breq12d 5075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) ↔ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6665biimpd 230 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6766reximdva 3278 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6853, 67mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
69 carageniuncllem2.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7069adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7155adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧𝑍)
72 elinel2 4176 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
7372adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
7470, 12, 71, 73uzfissfz 41455 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7574adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7650ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
77 fzfid 13334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
78 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
79 ssfi 8730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀...𝑘) ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
8077, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ∈ Fin)
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
821ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas)
833ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝐴𝑋)
844ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
85 inss1 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
8782, 2, 83, 84, 86omessre 42654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8881, 87fsumrecl 15083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8952rpred 12424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9089adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9188, 90readdcld 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
9291ad4ant14 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
93 fzfid 13334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
9485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
951, 2, 3, 4, 94omessre 42654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9793, 96fsumrecl 15083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9897adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9989adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
10098, 99readdcld 10662 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
102 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
10397adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
104 fzfid 13334 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
10596adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
106 0xr 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ∈ ℝ*)
108 pnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +∞ ∈ ℝ*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → +∞ ∈ ℝ*)
1101, 2, 14omecl 42647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
112 iccgelb 12786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
113107, 109, 111, 112syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
114113adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
115 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
116104, 105, 114, 115fsumless 15143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
11788, 103, 90, 116leadd1dd 11246 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
118117ad4ant14 748 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
11976, 92, 101, 102, 118ltletrd 10792 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
120119ex 413 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
121120reximdv 3277 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12275, 121mpd 15 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
123122rexlimdva2 3291 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12468, 123mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
12549ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
126 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
127125, 126eqbrtrd 5084 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
128127ex 413 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
129128reximdva 3278 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
130124, 129mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
131 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
1321adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
133 carageniuncllem2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
1343adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑋)
1354adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
13639adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐸:𝑍𝑆)
137 carageniuncllem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
138 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
139132, 133, 2, 134, 135, 12, 136, 137, 40, 138carageniuncllem1 42665 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))))
140139oveq1d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
141140adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
142131, 141breqtrd 5088 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
143142ex 413 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
144143reximdva 3278 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
145130, 144mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
14673ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
14793ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
148 inss1 4208 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴
149148a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
150132, 2, 134, 135, 149omessre 42654 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
15189adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℝ)
152150, 151readdcld 10662 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
1531523adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
154 difssd 4112 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
155132, 2, 134, 135, 154omessre 42654 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
1561553adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
157 simp3 1132 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
158146, 153, 157ltled 10780 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
159134ssdifssd 4122 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝑋)
160 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
161160iuneq1d 4942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
162 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...𝑘) ∈ V
163 fvex 6679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝑖) ∈ V
164162, 163iunex 7663 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ V
165161, 137, 164fvmpt 6764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
166 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑛 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑛))
167166cbviunv 4961 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛)
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
169165, 168eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
170 elfzuz 12897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
17112eqcomi 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) = 𝑍
172171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → (ℤ𝑀) = 𝑍)
173170, 172eleqtrd 2919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖𝑍)
174173ssriv 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍
175 iunss1 4929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
176174, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
178169, 177eqsstrd 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
179178adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
180179sscond 4121 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))
181132, 2, 159, 180omessle 42642 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
1821813adant3 1126 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
183146, 147, 153, 156, 158, 182le2addd 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
184150recnd 10661 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
18589recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
186185adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℂ)
187155recnd 10661 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
188184, 186, 187add32d 10859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌))
189 rexadd 12618 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
190150, 155, 189syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
191190eqcomd 2831 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
192 nfv 1908 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝜑
19339adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝐸:𝑍𝑆)
194173adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑍)
195193, 194ffvelrnd 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
196192, 1, 133, 93, 195caragenfiiuncl 42659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
197196adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
198137, 161, 138, 197fvmptd3 6786 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
199198, 197eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
200132, 133, 2, 199, 134caragensplit 42644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
201191, 200eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
202201oveq1d 7166 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
203188, 202eqtrd 2860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2042033adant3 1126 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
205183, 204breqtrd 5088 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2062053exp 1113 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))))
207206rexlimdv 3287 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌)))
208145, 207mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
20911, 208eqbrtrd 5084 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  cdif 3936  cin 3938  wss 3939  𝒫 cpw 4541   cuni 4836   ciun 4916  Disj wdisj 5027   class class class wbr 5062  cmpt 5142  dom cdm 5553  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  Fincfn 8501  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532  +∞cpnf 10664  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  cz 11973  cuz 12235  +crp 12382   +𝑒 cxad 12498  [,]cicc 12734  ...cfz 12885  ..^cfzo 13026  Σcsu 15035  OutMeascome 42633  CaraGenccaragen 42635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-ac2 9877  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-disj 5028  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-acn 9363  df-ac 9534  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-xadd 12501  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-sumge0 42507  df-ome 42634  df-caragen 42636
This theorem is referenced by:  carageniuncl  42667
  Copyright terms: Public domain W3C validator