Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  carageniuncllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem carageniuncllem2 41215
Description: The Caratheodory's construction is closed under countable union. Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carageniuncllem2.o (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
carageniuncllem2.s 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
carageniuncllem2.x 𝑋 = dom 𝑂
carageniuncllem2.a (𝜑𝐴𝑋)
carageniuncllem2.re (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
carageniuncllem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
carageniuncllem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
carageniuncllem2.e (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
carageniuncllem2.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
carageniuncllem2.g 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
carageniuncllem2.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
Assertion
Ref Expression
carageniuncllem2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑖,𝐸,𝑛   𝑛,𝐹   𝑖,𝑀,𝑛   𝑛,𝑂   𝑆,𝑖   𝑛,𝑋   𝑖,𝑍,𝑛   𝜑,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝑆(𝑛)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖,𝑛)   𝑂(𝑖)   𝑋(𝑖)   𝑌(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem carageniuncllem2
Dummy variables 𝑘 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 carageniuncllem2.o . . . 4 (𝜑𝑂 ∈ OutMeas)
2 carageniuncllem2.x . . . 4 𝑋 = dom 𝑂
3 carageniuncllem2.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
4 carageniuncllem2.re . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
5 inss1 4029 . . . . 5 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴
65a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
71, 2, 3, 4, 6omessre 41203 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
8 difssd 3937 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ 𝐴)
91, 2, 3, 4, 8omessre 41203 . . 3 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
10 rexadd 12277 . . 3 (((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
117, 9, 10syl2anc 575 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) = ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))))
12 carageniuncllem2.z . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 ssinss1 4038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑋 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋)
151, 2unidmex 39707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ V)
16 ssexg 4999 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑋𝑋 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
173, 15, 16syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ V)
18 inex1g 4996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
20 elpwg 4359 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝑋))
2214, 21mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
2322adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ 𝒫 𝑋)
24 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2523, 24fmptd 6602 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
26 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
2726ineq2d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2827cbvmptv 4944 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
2928feq1i 6243 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
3029a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋 ↔ (𝑛𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))):𝑍⟶𝒫 𝑋))
3125, 30mpbird 248 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘))):𝑍⟶𝒫 𝑋)
32 simpr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛𝑍)
3319adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
3428fvmpt2 6508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛𝑍 ∧ (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3532, 33, 34syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3635iuneq2dv 4734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
3736fveq2d 6408 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
38 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑛𝜑
39 carageniuncllem2.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸:𝑍𝑆)
40 carageniuncllem2.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑀..^𝑛)(𝐸𝑖)))
4138, 12, 39, 40iundjiun 41153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((∀𝑚𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐹𝑛) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑚)(𝐸𝑛) ∧ 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ∧ Disj 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
4241simplrd 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐹𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
4342eqcomd 2812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 𝑛𝑍 (𝐸𝑛) = 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4443ineq2d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)))
45 iunin2 4776 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) = (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛))
4645eqcomi 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐹𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4844, 47eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) = 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
4948fveq2d 6408 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
5049, 7eqeltrrd 2886 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
5137, 50eqeltrd 2885 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) ∈ ℝ)
52 carageniuncllem2.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
531, 2, 12, 31, 51, 52omeiunltfirp 41212 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌))
5437adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
55 elpwinss 39706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧𝑍)
5655adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑧𝑍)
57 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑧)
5856, 57sseldd 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
5958adantll 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑛𝑍)
6019ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ∈ V)
6159, 60, 34syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛) = (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)))
6261fveq2d 6408 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6362sumeq2dv 14652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) = Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
6463oveq1d 6885 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) = (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
6554, 64breq12d 4857 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) ↔ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6665biimpd 220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6766reximdva 3204 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 ((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘((𝑘𝑍 ↦ (𝐴 ∩ (𝐹𝑘)))‘𝑛)) + 𝑌) → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
6853, 67mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
69 carageniuncllem2.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7069adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7155adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧𝑍)
72 elinel2 3999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin) → 𝑧 ∈ Fin)
7372adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
7470, 12, 71, 73uzfissfz 40019 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7574adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
7650ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
77 fzfid 12992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
78 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
79 ssfi 8415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀...𝑘) ∈ Fin ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
8077, 78, 79syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → 𝑧 ∈ Fin)
8180adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ∈ Fin)
821ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝑂 ∈ OutMeas)
833ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → 𝐴𝑋)
844ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
85 inss1 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
8782, 2, 83, 84, 86omessre 41203 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛𝑧) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8881, 87fsumrecl 14684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
8952rpred 12082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9089adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑌 ∈ ℝ)
9188, 90readdcld 10350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
9291ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
93 fzfid 12992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
9485a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
951, 2, 3, 4, 94omessre 41203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9695adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9793, 96fsumrecl 14684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9897adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
9989adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → 𝑌 ∈ ℝ)
10098, 99readdcld 10350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
101100ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ∈ ℝ)
102 simplr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
10397adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
104 fzfid 12992 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑀...𝑘) ∈ Fin)
10596adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ ℝ)
106 0xr 10367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ*
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ∈ ℝ*)
108 pnfxr 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +∞ ∈ ℝ*
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → +∞ ∈ ℝ*)
1101, 2, 14omecl 41196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
111110adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞))
112 iccgelb 12444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ∈ (0[,]+∞)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
113107, 109, 111, 112syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
114113adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)) → 0 ≤ (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
115 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘))
116104, 105, 114, 115fsumless 14746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
11788, 103, 90, 116leadd1dd 10922 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
118117ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) ≤ (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
11976, 92, 101, 102, 118ltletrd 10478 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) ∧ 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
120119ex 399 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
121120reximdv 3203 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (∃𝑘𝑍 𝑧 ⊆ (𝑀...𝑘) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12275, 121mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
123122ex 399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
124123rexlimdva 3219 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝒫 𝑍 ∩ Fin)(𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛𝑧 (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
12568, 124mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
12649ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) = (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))))
127 simpr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
128126, 127eqbrtrd 4866 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
129128ex 399 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
130129reximdva 3204 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂 𝑛𝑍 (𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)))
131125, 130mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
132 simpr 473 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌))
1331adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑂 ∈ OutMeas)
134 carageniuncllem2.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (CaraGen‘𝑂)
1353adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴𝑋)
1364adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
13739adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐸:𝑍𝑆)
138 carageniuncllem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖))
139 simpr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘𝑍)
140133, 134, 2, 135, 136, 12, 137, 138, 40, 139carageniuncllem1 41214 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) = (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))))
141140oveq1d 6885 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
142141adantr 468 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
143132, 142breqtrd 4870 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
144143ex 399 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
145144reximdva 3204 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < (Σ𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐹𝑛))) + 𝑌) → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)))
146131, 145mpd 15 . . 3 (𝜑 → ∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
14773ad2ant1 1156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
14893ad2ant1 1156 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ∈ ℝ)
149 inss1 4029 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴
150149a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∩ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
151133, 2, 135, 136, 150omessre 41203 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
15289adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℝ)
153151, 152readdcld 10350 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
1541533adant3 1155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) ∈ ℝ)
155 difssd 3937 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝐴)
156133, 2, 135, 136, 155omessre 41203 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
1571563adant3 1155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ)
158 simp3 1161 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
159147, 154, 158ltled 10466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌))
160135ssdifssd 3947 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)) ⊆ 𝑋)
161 oveq2 6878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑘))
162161iuneq1d 4737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
163 ovex 6902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀...𝑘) ∈ V
164 fvex 6417 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸𝑖) ∈ V
165163, 164iunex 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ V
166162, 138, 165fvmpt 6499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
167 fveq2 6404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝑛 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝑛))
168167cbviunv 4751 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛)
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
170166, 169eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) = 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛))
171 elfzuz 12557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
17212eqcomi 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) = 𝑍
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → (ℤ𝑀) = 𝑍)
174171, 173eleqtrd 2887 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (𝑀...𝑘) → 𝑖𝑍)
175174ssriv 3802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍
176 iunss1 4724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀...𝑘) ⊆ 𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
177175, 176ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)
178177a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 𝑛 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑛) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
179170, 178eqsstrd 3836 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
180179adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))
181180sscond 3946 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)) ⊆ (𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))
182133, 2, 160, 181omessle 41191 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
1831823adant3 1155 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) ≤ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))))
184147, 148, 154, 157, 159, 183le2addd 10927 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
185151recnd 10349 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
18689recnd 10349 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
187186adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑌 ∈ ℂ)
188156recnd 10349 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℂ)
189185, 187, 188add32d 10544 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌))
190 rexadd 12277 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ ∧ (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘))) ∈ ℝ) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
191151, 156, 190syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
192191eqcomd 2812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))))
193138a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐺 = (𝑛𝑍 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖)))
194162adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝑍) ∧ 𝑛 = 𝑘) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
195 nfv 2005 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑖𝜑
19639adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝐸:𝑍𝑆)
197174adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → 𝑖𝑍)
198196, 197ffvelrnd 6578 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)) → (𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
199195, 1, 134, 93, 198caragenfiiuncl 41208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
200199adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖) ∈ 𝑆)
201193, 194, 139, 200fvmptd 6505 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑀...𝑘)(𝐸𝑖))
202201, 200eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
203133, 134, 2, 202, 135caragensplit 41193 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
204192, 203eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = (𝑂𝐴))
205204oveq1d 6885 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) + 𝑌) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
206189, 205eqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2072063adant3 1155 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → (((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) + (𝑂‘(𝐴 ∖ (𝐺𝑘)))) = ((𝑂𝐴) + 𝑌))
208184, 207breqtrd 4870 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍 ∧ (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌)) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
2092083exp 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))))
210209rexlimdv 3218 . . 3 (𝜑 → (∃𝑘𝑍 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) < ((𝑂‘(𝐴 ∩ (𝐺𝑘))) + 𝑌) → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌)))
211146, 210mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) + (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
21211, 211eqbrtrd 4866 1 (𝜑 → ((𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛))) +𝑒 (𝑂‘(𝐴 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))) ≤ ((𝑂𝐴) + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cdif 3766  cin 3768  wss 3769  𝒫 cpw 4351   cuni 4630   ciun 4712  Disj wdisj 4812   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5311  wf 6093  cfv 6097  (class class class)co 6870  Fincfn 8188  cc 10215  cr 10216  0cc0 10217   + caddc 10220  +∞cpnf 10352  *cxr 10354   < clt 10355  cle 10356  cz 11639  cuz 11900  +crp 12042   +𝑒 cxad 12156  [,]cicc 12392  ...cfz 12545  ..^cfzo 12685  Σcsu 14635  OutMeascome 41182  CaraGenccaragen 41184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-inf2 8781  ax-ac2 9566  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294  ax-pre-sup 10295
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-isom 6106  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-omul 7797  df-er 7975  df-map 8090  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-sup 8583  df-oi 8650  df-card 9044  df-acn 9047  df-ac 9218  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-div 10966  df-nn 11302  df-2 11360  df-3 11361  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-rp 12043  df-xadd 12159  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-seq 13021  df-exp 13080  df-hash 13334  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-sumge0 41056  df-ome 41183  df-caragen 41185
This theorem is referenced by:  carageniuncl  41216
  Copyright terms: Public domain W3C validator