Theorem onintopssconn 36634

Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onintopssconn	⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Proof of Theorem onintopssconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3917	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top))
2		eloni 6327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
3		ordtopconn 36633	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
5	4	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
7	6	ssriv 3937	1 ⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  Ord word 6316  Oncon0 6317  Topctop 22837  Conncconn 23355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500  df-topgen 17363  df-top 22838  df-bases 22890  df-cld 22963  df-conn 23356

This theorem is referenced by: (None)