Theorem onintopssconn 35313

Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onintopssconn	⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Proof of Theorem onintopssconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3963	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top))
2		eloni 6371	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
3		ordtopconn 35312	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
5	4	biimpa 477	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
7	6	ssriv 3985	1 ⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  Ord word 6360  Oncon0 6361  Topctop 22386  Conncconn 22906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-fv 6548  df-topgen 17385  df-top 22387  df-bases 22440  df-cld 22514  df-conn 22907

This theorem is referenced by: (None)