Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintopssconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onintopssconn 36419
Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onintopssconn (On ∩ Top) ⊆ Conn

Proof of Theorem onintopssconn
StepHypRef Expression
1 elin 3966 . . 3 (𝑥 ∈ (On ∩ Top) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top))
2 eloni 6392 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
3 ordtopconn 36418 . . . . 5 (Ord 𝑥 → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
54biimpa 476 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
61, 5sylbi 217 . 2 (𝑥 ∈ (On ∩ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
76ssriv 3986 1 (On ∩ Top) ⊆ Conn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2108  cin 3949  wss 3950  Ord word 6381  Oncon0 6382  Topctop 22889  Conncconn 23409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-ord 6385  df-on 6386  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-fv 6567  df-topgen 17484  df-top 22890  df-bases 22943  df-cld 23017  df-conn 23410
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator