Theorem onintopssconn 36638

Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onintopssconn	⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Proof of Theorem onintopssconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3906	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top))
2		eloni 6327	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
3		ordtopconn 36637	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
5	4	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
6	1, 5	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
7	6	ssriv 3926	1 ⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  Ord word 6316  Oncon0 6317  Topctop 22868  Conncconn 23386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-fv 6500  df-topgen 17397  df-top 22869  df-bases 22921  df-cld 22994  df-conn 23387

This theorem is referenced by: (None)