Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onintopssconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onintopssconn 35860
Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onintopssconn (On ∩ Top) ⊆ Conn

Proof of Theorem onintopssconn
StepHypRef Expression
1 elin 3960 . . 3 (𝑥 ∈ (On ∩ Top) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top))
2 eloni 6373 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
3 ordtopconn 35859 . . . . 5 (Ord 𝑥 → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
54biimpa 476 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
61, 5sylbi 216 . 2 (𝑥 ∈ (On ∩ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
76ssriv 3982 1 (On ∩ Top) ⊆ Conn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  wcel 2099  cin 3943  wss 3944  Ord word 6362  Oncon0 6363  Topctop 22782  Conncconn 23302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550  df-topgen 17416  df-top 22783  df-bases 22836  df-cld 22910  df-conn 23303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator