Theorem onintopssconn 35977

Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onintopssconn	⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Proof of Theorem onintopssconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3957	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top))
2		eloni 6375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
3		ordtopconn 35976	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
5	4	biimpa 475	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
7	6	ssriv 3977	1 ⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   ⊆ wss 3941  Ord word 6364  Oncon0 6365  Topctop 22808  Conncconn 23328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-topgen 17419  df-top 22809  df-bases 22862  df-cld 22936  df-conn 23329

This theorem is referenced by: (None)