Theorem ordtopconn 35832

Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtopconn	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem ordtopconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtop 35829	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
2		onsucconn 35831	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Conn)
3	2	ordtoplem 35828	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Conn))
4	1, 3	sylbid 239	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Conn))
5		conntop 23276	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
6	4, 5	impbid1 224	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∪ cuni 4902  Ord word 6357  Topctop 22750  Conncconn 23270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-fv 6545  df-topgen 17398  df-top 22751  df-bases 22804  df-cld 22878  df-conn 23271

This theorem is referenced by:  onintopssconn  35833