Theorem ordtopconn 36635

Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtopconn	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem ordtopconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtop 36632	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
2		onsucconn 36634	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Conn)
3	2	ordtoplem 36631	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Conn))
4	1, 3	sylbid 240	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Conn))
5		conntop 23390	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
6	4, 5	impbid1 225	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∪ cuni 4851  Ord word 6314  Topctop 22866  Conncconn 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-fv 6498  df-topgen 17395  df-top 22867  df-bases 22919  df-cld 22992  df-conn 23385

This theorem is referenced by:  onintopssconn  36636