Theorem ordtopconn 35319

Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtopconn	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem ordtopconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtop 35316	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
2		onsucconn 35318	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Conn)
3	2	ordtoplem 35315	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Conn))
4	1, 3	sylbid 239	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Conn))
5		conntop 22920	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
6	4, 5	impbid1 224	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∪ cuni 4908  Ord word 6363  Topctop 22394  Conncconn 22914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-topgen 17388  df-top 22395  df-bases 22448  df-cld 22522  df-conn 22915

This theorem is referenced by:  onintopssconn  35320