Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtopconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtopconn 35976
Description: An ordinal topology is connected. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtopconn (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))

Proof of Theorem ordtopconn
StepHypRef Expression
1 ordtop 35973 . . 3 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 𝐽))
2 onsucconn 35975 . . . 4 ( 𝐽 ∈ On → suc 𝐽 ∈ Conn)
32ordtoplem 35972 . . 3 (Ord 𝐽 → (𝐽 𝐽𝐽 ∈ Conn))
41, 3sylbid 239 . 2 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Conn))
5 conntop 23334 . 2 (𝐽 ∈ Conn → 𝐽 ∈ Top)
64, 5impbid1 224 1 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Conn))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098  wne 2930   cuni 4904  Ord word 6364  Topctop 22808  Conncconn 23328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-topgen 17419  df-top 22809  df-bases 22862  df-cld 22936  df-conn 23329
This theorem is referenced by:  onintopssconn  35977
  Copyright terms: Public domain W3C validator