Theorem ordtopt0 36425

Description: An ordinal topology is T₀. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtopt0	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem ordtopt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtop 36419	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
2		onsuct0 36424	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Kol2)
3	2	ordtoplem 36418	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Kol2))
4	1, 3	sylbid 240	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Kol2))
5		t0top 23353	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
6	4, 5	impbid1 225	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∪ cuni 4912  Ord word 6385  Topctop 22915  Kol2ct0 23330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-topgen 17490  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-t0 23337

This theorem is referenced by: (None)