Theorem ordtopt0 37445

Description: An ordinal topology is T₀. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtopt0	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem ordtopt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtop 37439	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
2		onsuct0 37444	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Kol2)
3	2	ordtoplem 37438	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Kol2))
4	1, 3	sylbid 243	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Kol2))
5		t0top 23702	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
6	4, 5	impbid1 228	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∪ cuni 4872  Ord word 6387  Topctop 23266  Kol2ct0 23679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-topgen 17664  df-top 23267  df-topon 23284  df-bases 23319  df-t0 23686

This theorem is used by: (None)