Theorem ordtopt0 37048

Description: An ordinal topology is T₀. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtopt0	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem ordtopt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtop 37042	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
2		onsuct0 37047	. . . 4 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Kol2)
3	2	ordtoplem 37041	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Kol2))
4	1, 3	sylbid 243	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Kol2))
5		t0top 23555	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
6	4, 5	impbid1 228	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∪ cuni 4870  Ord word 6360  Topctop 23119  Kol2ct0 23532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-topgen 17532  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172  df-t0 23539

This theorem is used by: (None)