Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtopt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtopt0 35835
Description: An ordinal topology is T0. (Contributed by Chen-Pang He, 8-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtopt0 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem ordtopt0
StepHypRef Expression
1 ordtop 35829 . . 3 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 𝐽))
2 onsuct0 35834 . . . 4 ( 𝐽 ∈ On → suc 𝐽 ∈ Kol2)
32ordtoplem 35828 . . 3 (Ord 𝐽 → (𝐽 𝐽𝐽 ∈ Kol2))
41, 3sylbid 239 . 2 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ Kol2))
5 t0top 23188 . 2 (𝐽 ∈ Kol2 → 𝐽 ∈ Top)
64, 5impbid1 224 1 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098  wne 2934   cuni 4902  Ord word 6357  Topctop 22750  Kol2ct0 23165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-topgen 17398  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-t0 23172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator