Theorem ordtop 34625

Description: An ordinal is a topology iff it is not its supremum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtop	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Proof of Theorem ordtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 22055	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
3		nordeq 6285	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽) → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽)
4	3	ex 413	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (∪ 𝐽 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
5	2, 4	syl5 34	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
6		onsuctop 34622	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Top)
7	6	ordtoplem 34624	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Top))
8	5, 7	impbid 211	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∪ cuni 4839  Ord word 6265  Topctop 22042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fv 6441  df-topgen 17154  df-top 22043  df-bases 22096

This theorem is referenced by:  ordtopconn  34628  ordtopt0  34631  ordcmp  34636