Theorem ordtop 36987

Description: An ordinal is a topology iff it is not its supremum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtop	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Proof of Theorem ordtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 23100	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
3		nordeq 6386	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽) → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽)
4	3	ex 418	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (∪ 𝐽 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
5	2, 4	syl5 35	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
6		onsuctop 36984	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Top)
7	6	ordtoplem 36986	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Top))
8	5, 7	impbid 215	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∪ cuni 4877  Ord word 6366  Topctop 23087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-topgen 17521  df-top 23088  df-bases 23140

This theorem is used by:  ordtopconn  36990  ordtopt0  36993  ordcmp  36998