Theorem ordtop 36638

Description: An ordinal is a topology iff it is not its supremum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtop	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Proof of Theorem ordtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 22885	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
3		nordeq 6338	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽) → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽)
4	3	ex 412	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (∪ 𝐽 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
5	2, 4	syl5 34	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
6		onsuctop 36635	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Top)
7	6	ordtoplem 36637	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Top))
8	5, 7	impbid 212	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∪ cuni 4851  Ord word 6318  Topctop 22872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-ord 6322  df-on 6323  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fv 6502  df-topgen 17401  df-top 22873  df-bases 22925

This theorem is referenced by:  ordtopconn  36641  ordtopt0  36644  ordcmp  36649