Theorem ordtop 33897

Description: An ordinal is a topology iff it is not its supremum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtop	⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Proof of Theorem ordtop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
2	1	topopn 21511	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
3		nordeq 6178	. . . 4 ⊢ ((Ord 𝐽 ∧ ∪ 𝐽 ∈ 𝐽) → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽)
4	3	ex 416	. . 3 ⊢ (Ord 𝐽 → (∪ 𝐽 ∈ 𝐽 → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
5	2, 4	syl5 34	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))
6		onsuctop 33894	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∈ On → suc ∪ 𝐽 ∈ Top)
7	6	ordtoplem 33896	. 2 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ≠ ∪ 𝐽 → 𝐽 ∈ Top))
8	5, 7	impbid 215	1 ⊢ (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ≠ ∪ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∪ cuni 4800  Ord word 6158  Topctop 21498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-ord 6162  df-on 6163  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-topgen 16709  df-top 21499  df-bases 21551

This theorem is referenced by:  ordtopconn  33900  ordtopt0  33903  ordcmp  33908