Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtop 34634
Description: An ordinal is a topology iff it is not its supremum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtop (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 𝐽))

Proof of Theorem ordtop
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . . . 4 𝐽 = 𝐽
21topopn 22066 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
3 nordeq 6284 . . . 4 ((Ord 𝐽 𝐽𝐽) → 𝐽 𝐽)
43ex 413 . . 3 (Ord 𝐽 → ( 𝐽𝐽𝐽 𝐽))
52, 4syl5 34 . 2 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 𝐽))
6 onsuctop 34631 . . 3 ( 𝐽 ∈ On → suc 𝐽 ∈ Top)
76ordtoplem 34633 . 2 (Ord 𝐽 → (𝐽 𝐽𝐽 ∈ Top))
85, 7impbid 211 1 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2110  wne 2945   cuni 4845  Ord word 6264  Topctop 22053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-rab 3075  df-v 3433  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-ord 6268  df-on 6269  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fv 6440  df-topgen 17165  df-top 22054  df-bases 22107
This theorem is referenced by:  ordtopconn  34637  ordtopt0  34640  ordcmp  34645
  Copyright terms: Public domain W3C validator