Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ordtop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtop 33841
Description: An ordinal is a topology iff it is not its supremum (union), proven without the Axiom of Regularity. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtop (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 𝐽))

Proof of Theorem ordtop
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 𝐽 = 𝐽
21topopn 21514 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝐽𝐽)
3 nordeq 6197 . . . 4 ((Ord 𝐽 𝐽𝐽) → 𝐽 𝐽)
43ex 416 . . 3 (Ord 𝐽 → ( 𝐽𝐽𝐽 𝐽))
52, 4syl5 34 . 2 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐽 𝐽))
6 onsuctop 33838 . . 3 ( 𝐽 ∈ On → suc 𝐽 ∈ Top)
76ordtoplem 33840 . 2 (Ord 𝐽 → (𝐽 𝐽𝐽 ∈ Top))
85, 7impbid 215 1 (Ord 𝐽 → (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2115  wne 3014   cuni 4824  Ord word 6177  Topctop 21501
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-ord 6181  df-on 6182  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fv 6351  df-topgen 16717  df-top 21502  df-bases 21554
This theorem is referenced by:  ordtopconn  33844  ordtopt0  33847  ordcmp  33852
  Copyright terms: Public domain W3C validator