Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orrvcoel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orrvcoel 34468
Description: If the relation produces open sets, preimage maps of a random variable are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
orrvccel.1 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4 (𝜑𝐴𝑉)
orrvcoel.5 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))
Assertion
Ref Expression
orrvcoel (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcoel
StepHypRef Expression
1 orrvccel.1 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Prob)
2 domprobsiga 34413 . . 3 (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
31, 2syl 17 . 2 (𝜑 → dom 𝑃 ran sigAlgebra)
4 retop 24782 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
54a1i 11 . 2 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6 orrvccel.2 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
71rrvmbfm 34444 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅)))
86, 7mpbid 232 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅))
9 df-brsiga 34183 . . . 4 𝔅 = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
109oveq2i 7442 . . 3 (dom 𝑃MblFnM𝔅) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
118, 10eleqtrdi 2851 . 2 (𝜑𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12 orrvccel.4 . 2 (𝜑𝐴𝑉)
13 uniretop 24783 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
14 rabeq 3451 . . . 4 (ℝ = (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
1513, 14ax-mp 5 . . 3 {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16 orrvcoel.5 . . 3 (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))
1715, 16eqeltrrid 2846 . 2 (𝜑 → {𝑦 (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))
183, 5, 11, 12, 17orvcoel 34464 1 (𝜑 → (𝑋RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436   cuni 4907   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  (,)cioo 13387  topGenctg 17482  Topctop 22899  sigAlgebracsiga 34109  sigaGencsigagen 34139  𝔅cbrsiga 34182  MblFnMcmbfm 34250  Probcprb 34409  rRndVarcrrv 34442  RV/𝑐corvc 34458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-ioo 13391  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953  df-esum 34029  df-siga 34110  df-sigagen 34140  df-brsiga 34183  df-meas 34197  df-mbfm 34251  df-prob 34410  df-rrv 34443  df-orvc 34459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator