Theorem orrvcoel 34479

Description: If the relation produces open sets, preimage maps of a random variable are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orrvcoel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
orrvcoel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 34424	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 24676	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 34455	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 34195	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7357	. . 3 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		uniretop 24677	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		rabeq 3409	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16		orrvcoel.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))
17	15, 16	eqeltrrid 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))
18	3, 5, 11, 12, 17	orvcoel 34475	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395  ∪ cuni 4856   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ran crn 5615  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  (,)cioo 13245  topGenctg 17341  Topctop 22808  sigAlgebracsiga 34121  sigaGencsigagen 34151  𝔅_ℝcbrsiga 34194  MblFnMcmbfm 34262  Probcprb 34420  rRndVarcrrv 34453  ∘_RV/𝑐corvc 34469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-ioo 13249  df-topgen 17347  df-top 22809  df-bases 22861  df-esum 34041  df-siga 34122  df-sigagen 34152  df-brsiga 34195  df-meas 34209  df-mbfm 34263  df-prob 34421  df-rrv 34454  df-orvc 34470

This theorem is referenced by: (None)