Theorem orrvcoel 32432

Description: If the relation produces open sets, preimage maps of a random variable are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
orrvccel.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
orrvccel.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orrvccel.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
orrvcoel.5	⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Assertion

Ref	Expression
orrvcoel	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑅   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem orrvcoel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orrvccel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		domprobsiga 32378	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ Prob → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑃 ∈ ∪ ran sigAlgebra)
4		retop 23925	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
6		orrvccel.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
7	1	rrvmbfm 32409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃) ↔ 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ)))
8	6, 7	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ))
9		df-brsiga 32150	. . . 4 ⊢ 𝔅ℝ = (sigaGen‘(topGen‘ran (,)))
10	9	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (dom 𝑃MblFnM𝔅ℝ) = (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,))))
11	8, 10	eleqtrdi 2849	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (dom 𝑃MblFnM(sigaGen‘(topGen‘ran (,)))))
12		orrvccel.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
13		uniretop 23926	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
14		rabeq 3418	. . . 4 ⊢ (ℝ = ∪ (topGen‘ran (,)) → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴})
15	13, 14	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} = {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴}
16		orrvcoel.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ℝ ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))
17	15, 16	eqeltrrid 2844	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ ∪ (topGen‘ran (,)) ∣ 𝑦𝑅𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))
18	3, 5, 11, 12, 17	orvcoel 32428	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐𝑅𝐴) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  (,)cioo 13079  topGenctg 17148  Topctop 22042  sigAlgebracsiga 32076  sigaGencsigagen 32106  𝔅_ℝcbrsiga 32149  MblFnMcmbfm 32217  Probcprb 32374  rRndVarcrrv 32407  ∘_RV/𝑐corvc 32422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioo 13083  df-topgen 17154  df-top 22043  df-bases 22096  df-esum 31996  df-siga 32077  df-sigagen 32107  df-brsiga 32150  df-meas 32164  df-mbfm 32218  df-prob 32375  df-rrv 32408  df-orvc 32423

This theorem is referenced by: (None)