Theorem paddunssN 40865

Description: Projective subspace sum includes the set union of its arguments. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddunssN	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem paddunssN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4124	. 2 ⊢ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)})
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
4		padd0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6	2, 3, 4, 5	paddval 40855	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
7	1, 6	sseqtrrid 3974	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  lecple 17435  joincjn 18485  Atomscatm 40320  +_𝑃cpadd 40852

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-padd 40853

This theorem is used by:  pclunN  40955  paddunN  40984  pclfinclN  41007