Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddval 39303
Description: Projective subspace sum operation value. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddval ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝐾   𝑋,𝑝,π‘ž   π‘Œ,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘Ÿ,π‘ž)   𝐡(π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   + (π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   ≀ (π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑋(π‘Ÿ)

Proof of Theorem paddval
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 260 . 2 (𝐾 ∈ 𝐡 ↔ 𝐾 ∈ 𝐡)
2 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
32fvexi 6916 . . 3 𝐴 ∈ V
43elpw2 5351 . 2 (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑋 βŠ† 𝐴)
53elpw2 5351 . 2 (π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ↔ π‘Œ βŠ† 𝐴)
6 paddfval.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 paddfval.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 paddfval.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
96, 7, 2, 8paddfval 39302 . . . . 5 (𝐾 ∈ 𝐡 β†’ + = (π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})))
109oveqd 7443 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ))
11103ad2ant1 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ))
12 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
13 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴)
14 unexg 7757 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) ∈ V)
153rabex 5338 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} ∈ V
16 unexg 7757 . . . . . . 7 (((𝑋 βˆͺ π‘Œ) ∈ V ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} ∈ V) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V)
1714, 15, 16sylancl 584 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V)
1812, 13, 173jca 1125 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V))
19183adant1 1127 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V))
20 uneq1 4157 . . . . . 6 (π‘š = 𝑋 β†’ (π‘š βˆͺ 𝑛) = (𝑋 βˆͺ 𝑛))
21 rexeq 3319 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
2221rabbidv 3438 . . . . . 6 (π‘š = 𝑋 β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})
2320, 22uneq12d 4165 . . . . 5 (π‘š = 𝑋 β†’ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) = ((𝑋 βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
24 uneq2 4158 . . . . . 6 (𝑛 = π‘Œ β†’ (𝑋 βˆͺ 𝑛) = (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
25 rexeq 3319 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
2625rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘Œ β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
2726rabbidv 3438 . . . . . 6 (𝑛 = π‘Œ β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})
2824, 27uneq12d 4165 . . . . 5 (𝑛 = π‘Œ β†’ ((𝑋 βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
29 eqid 2728 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})) = (π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
3023, 28, 29ovmpog 7586 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V) β†’ (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
3119, 30syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
3211, 31eqtrd 2768 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
331, 4, 5, 32syl3anbr 1159 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  lecple 17247  joincjn 18310  Atomscatm 38767  +𝑃cpadd 39300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-padd 39301
This theorem is referenced by:  elpadd  39304  paddunssN  39313  paddcom  39318  paddssat  39319  sspadd1  39320  sspadd2  39321
  Copyright terms: Public domain W3C validator