Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddval 38290
Description: Projective subspace sum operation value. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddfval.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddfval.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddfval.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddval ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   π‘ž,𝑝,π‘Ÿ,𝐾   𝑋,𝑝,π‘ž   π‘Œ,𝑝,π‘ž,π‘Ÿ
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘Ÿ,π‘ž)   𝐡(π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   + (π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   ∨ (π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   ≀ (π‘Ÿ,π‘ž,𝑝)   𝑋(π‘Ÿ)

Proof of Theorem paddval
Dummy variables π‘š 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 261 . 2 (𝐾 ∈ 𝐡 ↔ 𝐾 ∈ 𝐡)
2 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
32fvexi 6861 . . 3 𝐴 ∈ V
43elpw2 5307 . 2 (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑋 βŠ† 𝐴)
53elpw2 5307 . 2 (π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ↔ π‘Œ βŠ† 𝐴)
6 paddfval.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 paddfval.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 paddfval.p . . . . . 6 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
96, 7, 2, 8paddfval 38289 . . . . 5 (𝐾 ∈ 𝐡 β†’ + = (π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})))
109oveqd 7379 . . . 4 (𝐾 ∈ 𝐡 β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ))
11103ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ))
12 simpl 484 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴)
13 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴)
14 unexg 7688 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) ∈ V)
153rabex 5294 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} ∈ V
16 unexg 7688 . . . . . . 7 (((𝑋 βˆͺ π‘Œ) ∈ V ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} ∈ V) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V)
1714, 15, 16sylancl 587 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V)
1812, 13, 173jca 1129 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V))
19183adant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V))
20 uneq1 4121 . . . . . 6 (π‘š = 𝑋 β†’ (π‘š βˆͺ 𝑛) = (𝑋 βˆͺ 𝑛))
21 rexeq 3313 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
2221rabbidv 3418 . . . . . 6 (π‘š = 𝑋 β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})
2320, 22uneq12d 4129 . . . . 5 (π‘š = 𝑋 β†’ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) = ((𝑋 βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
24 uneq2 4122 . . . . . 6 (𝑛 = π‘Œ β†’ (𝑋 βˆͺ 𝑛) = (𝑋 βˆͺ π‘Œ))
25 rexeq 3313 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘Œ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
2625rexbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘Œ β†’ (βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)))
2726rabbidv 3418 . . . . . 6 (𝑛 = π‘Œ β†’ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)} = {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})
2824, 27uneq12d 4129 . . . . 5 (𝑛 = π‘Œ β†’ ((𝑋 βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
29 eqid 2737 . . . . 5 (π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)})) = (π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
3023, 28, 29ovmpog 7519 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}) ∈ V) β†’ (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
3119, 30syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋(π‘š ∈ 𝒫 𝐴, 𝑛 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ ((π‘š βˆͺ 𝑛) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ π‘š βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝑛 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
3211, 31eqtrd 2777 . 2 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
331, 4, 5, 32syl3anbr 1163 1 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) = ((𝑋 βˆͺ π‘Œ) βˆͺ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ βˆƒπ‘ž ∈ 𝑋 βˆƒπ‘Ÿ ∈ π‘Œ 𝑝 ≀ (π‘ž ∨ π‘Ÿ)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  lecple 17147  joincjn 18207  Atomscatm 37754  +𝑃cpadd 38287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-padd 38288
This theorem is referenced by:  elpadd  38291  paddunssN  38300  paddcom  38305  paddssat  38306  sspadd1  38307  sspadd2  38308
  Copyright terms: Public domain W3C validator