Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclunN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclunN 37152
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclun.p + = (+𝑃𝐾)
pclun.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclunN ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾𝑉)
2 pclun.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pclun.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
42, 3paddunssN 37062 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
52, 3paddssat 37068 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
6 pclun.c . . . 4 𝑈 = (PCl‘𝐾)
72, 6pclssN 37148 . . 3 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1368 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
9 unss 4135 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
109biimpi 219 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
11103adant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
122, 6pclssidN 37149 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
131, 11, 12syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
14 unss 4135 . . . . . 6 ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
1513, 14sylibr 237 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
16 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
17 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
18 eqid 2822 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
192, 18, 6pclclN 37145 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
201, 11, 19syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
212, 18, 3paddss 37099 . . . . . 6 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
2315, 22mpbid 235 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
242, 18psubssat 37008 . . . . 5 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
251, 20, 24syl2anc 587 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
262, 6pclssN 37148 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
271, 23, 25, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
2818, 6pclidN 37150 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
291, 20, 28syl2anc 587 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
3027, 29sseqtrd 3982 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
318, 30eqssd 3959 1 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  cun 3906  wss 3908  cfv 6334  (class class class)co 7140  Atomscatm 36517  PSubSpcpsubsp 36750  +𝑃cpadd 37049  PClcpclN 37141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-psubsp 36757  df-padd 37050  df-pclN 37142
This theorem is referenced by:  pclun2N  37153
  Copyright terms: Public domain W3C validator