Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclunN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pclunN 39072
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pclun.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
pclun.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pclunN ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) = (π‘ˆβ€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
2 pclun.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
3 pclun.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
42, 3paddunssN 38982 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (𝑋 + π‘Œ))
52, 3paddssat 38988 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
6 pclun.c . . . 4 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
72, 6pclssN 39068 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (𝑋 + π‘Œ) ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 + π‘Œ)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 + π‘Œ)))
9 unss 4183 . . . . . . . . 9 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ↔ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴)
109biimpi 215 . . . . . . . 8 ((𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴)
11103adant1 1128 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴)
122, 6pclssidN 39069 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
131, 11, 12syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
14 unss 4183 . . . . . 6 ((𝑋 βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∧ π‘Œ βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))) ↔ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
1513, 14sylibr 233 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∧ π‘Œ βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))))
16 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
17 simp3 1136 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
18 eqid 2730 . . . . . . . 8 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
192, 18, 6pclclN 39065 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βˆͺ π‘Œ) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
201, 11, 19syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
212, 18, 3paddss 39019 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑋 βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∧ π‘Œ βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))))
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ ((𝑋 βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∧ π‘Œ βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))) ↔ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))))
2315, 22mpbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
242, 18psubssat 38928 . . . . 5 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
251, 20, 24syl2anc 582 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† 𝐴)
262, 6pclssN 39068 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† (π‘ˆβ€˜(π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))))
271, 23, 25, 26syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† (π‘ˆβ€˜(π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))))
2818, 6pclidN 39070 . . . 4 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆβ€˜(π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))) = (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
291, 20, 28syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ))) = (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
3027, 29sseqtrd 4021 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 + π‘Œ)) βŠ† (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)))
318, 30eqssd 3998 1 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (π‘ˆβ€˜(𝑋 βˆͺ π‘Œ)) = (π‘ˆβ€˜(𝑋 + π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Atomscatm 38436  PSubSpcpsubsp 38670  +𝑃cpadd 38969  PClcpclN 39061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-psubsp 38677  df-padd 38970  df-pclN 39062
This theorem is referenced by:  pclun2N  39073
  Copyright terms: Public domain W3C validator