Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclunN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclunN 35919
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclun.p + = (+𝑃𝐾)
pclun.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclunN ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1167 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾𝑉)
2 pclun.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pclun.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
42, 3paddunssN 35829 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
52, 3paddssat 35835 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
6 pclun.c . . . 4 𝑈 = (PCl‘𝐾)
72, 6pclssN 35915 . . 3 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1491 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
9 unss 3985 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
109biimpi 208 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
11103adant1 1161 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
122, 6pclssidN 35916 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
131, 11, 12syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
14 unss 3985 . . . . . 6 ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
1513, 14sylibr 226 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
16 simp2 1168 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
17 simp3 1169 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
18 eqid 2799 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
192, 18, 6pclclN 35912 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
201, 11, 19syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
212, 18, 3paddss 35866 . . . . . 6 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1492 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
2315, 22mpbid 224 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
242, 18psubssat 35775 . . . . 5 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
251, 20, 24syl2anc 580 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
262, 6pclssN 35915 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
271, 23, 25, 26syl3anc 1491 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
2818, 6pclidN 35917 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
291, 20, 28syl2anc 580 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
3027, 29sseqtrd 3837 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
318, 30eqssd 3815 1 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cun 3767  wss 3769  cfv 6101  (class class class)co 6878  Atomscatm 35284  PSubSpcpsubsp 35517  +𝑃cpadd 35816  PClcpclN 35908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-psubsp 35524  df-padd 35817  df-pclN 35909
This theorem is referenced by:  pclun2N  35920
  Copyright terms: Public domain W3C validator