Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpadd2at2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpadd2at2 35766
Description: Membership in a projective subspace sum of two points. (Contributed by NM, 8-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l = (le‘𝐾)
paddfval.j = (join‘𝐾)
paddfval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddfval.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
elpadd2at2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem elpadd2at2
StepHypRef Expression
1 paddfval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 paddfval.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 paddfval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 paddfval.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
51, 2, 3, 4elpadd2at 35765 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
653adant3r3 1235 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
7 simpr3 1252 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
87biantrurd 528 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆𝐴𝑆 (𝑄 𝑅))))
96, 8bitr4d 273 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ∈ ({𝑄} + {𝑅}) ↔ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  {csn 4336   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6844  lecple 16224  joincjn 17213  Latclat 17314  Atomscatm 35222  +𝑃cpadd 35754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-lub 17243  df-join 17245  df-lat 17315  df-ats 35226  df-padd 35755
This theorem is referenced by:  pmodlem1  35805
  Copyright terms: Public domain W3C validator