MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjfo 20273
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
31, 2pjf2 20272 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
43frnd 6266 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) ⊆ 𝑇)
5 eqid 2813 . . . . . . . 8 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6 eqid 2813 . . . . . . . 8 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
75, 6, 1pjval 20268 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
87ad2antlr 709 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
98fveq1d 6413 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥))
10 eqid 2813 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
11 eqid 2813 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
12 eqid 2813 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
13 eqid 2813 . . . . . 6 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
14 phllmod 20188 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1514adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2813 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1716lsssssubg 19168 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
192, 16, 5, 11, 1pjdm2 20269 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
2019simprbda 488 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2118, 20sseldd 3806 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
222, 16lssss 19144 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
2320, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
242, 5, 16ocvlss 20230 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2523, 24syldan 581 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2618, 25sseldd 3806 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
275, 16, 12ocvin 20232 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2820, 27syldan 581 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
29 lmodabl 19117 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
3113, 30, 21, 26ablcntzd 18464 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3210, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6pj1lid 18318 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥) = 𝑥)
339, 32eqtrd 2847 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = 𝑥)
343ffnd 6260 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
3534adantr 468 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
3623sselda 3805 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑉)
37 fnfvelrn 6581 . . . . 5 (((𝐾𝑇) Fn 𝑉𝑥𝑉) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
3835, 36, 37syl2anc 575 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
3933, 38eqeltrrd 2893 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ ran (𝐾𝑇))
404, 39eqelssd 3826 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) = 𝑇)
41 dffo2 6338 . 2 ((𝐾𝑇):𝑉onto𝑇 ↔ ((𝐾𝑇):𝑉𝑇 ∧ ran (𝐾𝑇) = 𝑇))
423, 40, 41sylanbrc 574 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cin 3775  wss 3776  {csn 4377  dom cdm 5318  ran crn 5319   Fn wfn 6099  wf 6100  ontowfo 6102  cfv 6104  (class class class)co 6877  Basecbs 16071  +gcplusg 16156  0gc0g 16308  SubGrpcsubg 17793  Cntzccntz 17952  LSSumclsm 18253  proj1cpj1 18254  Abelcabl 18398  LModclmod 19070  LSubSpclss 19139  PreHilcphl 20182  ocvcocv 20218  projcpj 20258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-4 11369  df-5 11370  df-6 11371  df-7 11372  df-8 11373  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-sca 16172  df-vsca 16173  df-ip 16174  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17796  df-ghm 17863  df-cntz 17954  df-lsm 18255  df-pj1 18256  df-cmn 18399  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-lmod 19072  df-lss 19140  df-lmhm 19232  df-lvec 19313  df-sra 19384  df-rgmod 19385  df-phl 20184  df-ocv 20221  df-pj 20261
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator