MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjfo 21137
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
31, 2pjf2 21136 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡)
43frnd 6677 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) βŠ† 𝑇)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
75, 6, 1pjval 21132 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom 𝐾 β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
87ad2antlr 726 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
98fveq1d 6845 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯))
10 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2733 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2733 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
14 phllmod 21050 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 482 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1716lsssssubg 20434 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
192, 16, 5, 11, 1pjdm2 21133 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
2019simprbda 500 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2118, 20sseldd 3946 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
222, 16lssss 20412 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
2320, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
242, 5, 16ocvlss 21092 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2523, 24syldan 592 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2618, 25sseldd 3946 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
275, 16, 12ocvin 21094 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2820, 27syldan 592 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
29 lmodabl 20384 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
3113, 30, 21, 26ablcntzd 19640 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
3210, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6pj1lid 19488 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯) = π‘₯)
339, 32eqtrd 2773 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = π‘₯)
343ffnd 6670 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉)
3523sselda 3945 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
36 fnfvelrn 7032 . . . . 5 (((πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3734, 35, 36syl2an2r 684 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3833, 37eqeltrrd 2835 . . 3 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
394, 38eqelssd 3966 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇)
40 dffo2 6761 . 2 ((πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇 ↔ ((πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡ ∧ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇))
413, 39, 40sylanbrc 584 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  {csn 4587  dom cdm 5634  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  SubGrpcsubg 18927  Cntzccntz 19100  LSSumclsm 19421  proj1cpj1 19422  Abelcabl 19568  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  PreHilcphl 21044  ocvcocv 21080  projcpj 21122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-pj1 19424  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-phl 21046  df-ocv 21083  df-pj 21125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator