Theorem pjfo 21822

Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjf.k	⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
pjfo	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾‘𝑇):𝑉–onto→𝑇)

Proof of Theorem pjfo

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjf.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (proj‘𝑊)
2		pjf.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3	1, 2	pjf2 21821	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑇)
4	3	frnd 6704	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾‘𝑇) ⊆ 𝑇)
5		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (proj1‘𝑊) = (proj1‘𝑊)
7	5, 6, 1	pjval 21817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾‘𝑇) = (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
8	7	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐾‘𝑇) = (𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
9	8	fveq1d 6873	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐾‘𝑇)‘𝑥) = ((𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥))
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
13		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
14		phllmod 21737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
15	14	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
16		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
17	16	lsssssubg 21045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
18	15, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
19	2, 16, 5, 11, 1	pjdm2 21818	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
20	19	simprbda 503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
21	18, 20	sseldd 3940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
22	2, 16	lssss 21023	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
23	20, 22	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ 𝑉)
24	2, 5, 16	ocvlss 21779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ⊆ 𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
25	23, 24	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
26	18, 25	sseldd 3940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
27	5, 16, 12	ocvin 21781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g‘𝑊)})
28	20, 27	syldan 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g‘𝑊)})
29		lmodabl 20996	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
30	15, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
31	13, 30, 21, 26	ablcntzd 19915	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
32	10, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6	pj1lid 19759	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝑇(proj1‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥) = 𝑥)
33	9, 32	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐾‘𝑇)‘𝑥) = 𝑥)
34	3	ffnd 6696	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾‘𝑇) Fn 𝑉)
35	23	sselda 3939	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ 𝑉)
36		fnfvelrn 7065	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑇) Fn 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐾‘𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾‘𝑇))
37	34, 35, 36	syl2an2r 697	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((𝐾‘𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾‘𝑇))
38	33, 37	eqeltrrd 2866	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ ran (𝐾‘𝑇))
39	4, 38	eqelssd 3960	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾‘𝑇) = 𝑇)
40		dffo2 6786	. 2 ⊢ ((𝐾‘𝑇):𝑉–onto→𝑇 ↔ ((𝐾‘𝑇):𝑉⟶𝑇 ∧ ran (𝐾‘𝑇) = 𝑇))
41	3, 39, 40	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾‘𝑇):𝑉–onto→𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  {csn 4585  dom cdm 5651  ran crn 5652   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  –onto→wfo 6523  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17480  SubGrpcsubg 19174  Cntzccntz 19373  LSSumclsm 19692  proj₁cpj1 19693  Abelcabl 19839  LModclmod 20947  LSubSpclss 21018  PreHilcphl 21731  ocvcocv 21767  projcpj 21807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-lsm 19694  df-pj1 19695  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lmhm 21109  df-lvec 21190  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-phl 21733  df-ocv 21770  df-pj 21810

This theorem is referenced by: (None)