MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pjfo 21642
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)
Proof of Theorem pjfo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
31, 2pjf2 21641 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡)
43frnd 6724 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) βŠ† 𝑇)
5 eqid 2728 . . . . . . . 8 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
6 eqid 2728 . . . . . . . 8 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
75, 6, 1pjval 21637 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom 𝐾 β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
87ad2antlr 726 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
98fveq1d 6893 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯))
10 eqid 2728 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2728 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
12 eqid 2728 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2728 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
14 phllmod 21555 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1716lsssssubg 20835 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
192, 16, 5, 11, 1pjdm2 21638 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
2019simprbda 498 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2118, 20sseldd 3979 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
222, 16lssss 20813 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
2320, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
242, 5, 16ocvlss 21597 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2523, 24syldan 590 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2618, 25sseldd 3979 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
275, 16, 12ocvin 21599 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2820, 27syldan 590 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
29 lmodabl 20785 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
3113, 30, 21, 26ablcntzd 19805 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
3210, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6pj1lid 19649 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯) = π‘₯)
339, 32eqtrd 2768 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = π‘₯)
343ffnd 6717 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉)
3523sselda 3978 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
36 fnfvelrn 7084 . . . . 5 (((πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3734, 35, 36syl2an2r 684 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3833, 37eqeltrrd 2830 . . 3 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
394, 38eqelssd 3999 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇)
40 dffo2 6809 . 2 ((πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇 ↔ ((πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡ ∧ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇))
413, 39, 40sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944   βŠ† wss 3945  {csn 4624  dom cdm 5672  ran crn 5673   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  +gcplusg 17226  0gc0g 17414  SubGrpcsubg 19068  Cntzccntz 19259  LSSumclsm 19582  proj1cpj1 19583  Abelcabl 19729  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  PreHilcphl 21549  ocvcocv 21585  projcpj 21627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-pj1 19585  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lmhm 20900  df-lvec 20981  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-phl 21551  df-ocv 21588  df-pj 21630
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator