Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjfo 20545
 Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
31, 2pjf2 20544 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
43frnd 6396 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) ⊆ 𝑇)
5 eqid 2797 . . . . . . . 8 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6 eqid 2797 . . . . . . . 8 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
75, 6, 1pjval 20540 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
87ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
98fveq1d 6547 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥))
10 eqid 2797 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
11 eqid 2797 . . . . . 6 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
12 eqid 2797 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
13 eqid 2797 . . . . . 6 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
14 phllmod 20460 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2797 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1716lsssssubg 19424 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
192, 16, 5, 11, 1pjdm2 20541 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
2019simprbda 499 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2118, 20sseldd 3896 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
222, 16lssss 19402 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
2320, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
242, 5, 16ocvlss 20502 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2523, 24syldan 591 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2618, 25sseldd 3896 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
275, 16, 12ocvin 20504 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2820, 27syldan 591 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
29 lmodabl 19375 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
3113, 30, 21, 26ablcntzd 18704 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3210, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6pj1lid 18558 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥) = 𝑥)
339, 32eqtrd 2833 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = 𝑥)
343ffnd 6390 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
3523sselda 3895 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑉)
36 fnfvelrn 6720 . . . . 5 (((𝐾𝑇) Fn 𝑉𝑥𝑉) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
3734, 35, 36syl2an2r 681 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
3833, 37eqeltrrd 2886 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ ran (𝐾𝑇))
394, 38eqelssd 3915 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) = 𝑇)
40 dffo2 6469 . 2 ((𝐾𝑇):𝑉onto𝑇 ↔ ((𝐾𝑇):𝑉𝑇 ∧ ran (𝐾𝑇) = 𝑇))
413, 39, 40sylanbrc 583 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ∩ cin 3864   ⊆ wss 3865  {csn 4478  dom cdm 5450  ran crn 5451   Fn wfn 6227  ⟶wf 6228  –onto→wfo 6230  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  +gcplusg 16398  0gc0g 16546  SubGrpcsubg 18031  Cntzccntz 18190  LSSumclsm 18493  proj1cpj1 18494  Abelcabl 18638  LModclmod 19328  LSubSpclss 19397  PreHilcphl 20454  ocvcocv 20490  projcpj 20530 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-subg 18034  df-ghm 18101  df-cntz 18192  df-lsm 18495  df-pj1 18496  df-cmn 18639  df-abl 18640  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-lmhm 19488  df-lvec 19569  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-phl 20456  df-ocv 20493  df-pj 20533 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator