MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pjfo 21580
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)
Proof of Theorem pjfo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
31, 2pjf2 21579 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡)
43frnd 6716 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) βŠ† 𝑇)
5 eqid 2724 . . . . . . . 8 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
6 eqid 2724 . . . . . . . 8 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
75, 6, 1pjval 21575 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom 𝐾 β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
87ad2antlr 724 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
98fveq1d 6884 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯))
10 eqid 2724 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2724 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
12 eqid 2724 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2724 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
14 phllmod 21493 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1716lsssssubg 20797 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
192, 16, 5, 11, 1pjdm2 21576 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
2019simprbda 498 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2118, 20sseldd 3976 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
222, 16lssss 20775 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
2320, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
242, 5, 16ocvlss 21535 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2523, 24syldan 590 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2618, 25sseldd 3976 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
275, 16, 12ocvin 21537 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2820, 27syldan 590 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
29 lmodabl 20747 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
3113, 30, 21, 26ablcntzd 19769 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
3210, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6pj1lid 19613 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯) = π‘₯)
339, 32eqtrd 2764 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = π‘₯)
343ffnd 6709 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉)
3523sselda 3975 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
36 fnfvelrn 7073 . . . . 5 (((πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3734, 35, 36syl2an2r 682 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3833, 37eqeltrrd 2826 . . 3 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
394, 38eqelssd 3996 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇)
40 dffo2 6800 . 2 ((πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇 ↔ ((πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡ ∧ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇))
413, 39, 40sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941  {csn 4621  dom cdm 5667  ran crn 5668   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€“ontoβ†’wfo 6532  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  +gcplusg 17198  0gc0g 17386  SubGrpcsubg 19039  Cntzccntz 19223  LSSumclsm 19546  proj1cpj1 19547  Abelcabl 19693  LModclmod 20698  LSubSpclss 20770  PreHilcphl 21487  ocvcocv 21523  projcpj 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-ress 17175  df-plusg 17211  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19225  df-lsm 19548  df-pj1 19549  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20032  df-rng 20050  df-ur 20079  df-ring 20132  df-lmod 20700  df-lss 20771  df-lmhm 20862  df-lvec 20943  df-sra 21013  df-rgmod 21014  df-phl 21489  df-ocv 21526  df-pj 21568
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator