MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjfo 20276
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (proj‘𝑊)
pjf.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)

Proof of Theorem pjfo
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (proj‘𝑊)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
31, 2pjf2 20275 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉𝑇)
43frnd 6191 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) ⊆ 𝑇)
5 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
6 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (proj1𝑊) = (proj1𝑊)
75, 6, 1pjval 20271 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ dom 𝐾 → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
87ad2antlr 706 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾𝑇) = (𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
98fveq1d 6335 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥))
10 eqid 2771 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
11 eqid 2771 . . . . . . . 8 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
12 eqid 2771 . . . . . . . 8 (0g𝑊) = (0g𝑊)
13 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Cntz‘𝑊) = (Cntz‘𝑊)
14 phllmod 20192 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
1514adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
16 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
1716lsssssubg 19171 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1815, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
192, 16, 5, 11, 1pjdm2 20272 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ PreHil → (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑇(LSSum‘𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = 𝑉)))
2019simprbda 486 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊))
2118, 20sseldd 3753 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
222, 16lssss 19147 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑇𝑉)
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇𝑉)
242, 5, 16ocvlss 20233 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇𝑉) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2523, 24syldan 579 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (LSubSp‘𝑊))
2618, 25sseldd 3753 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ((ocv‘𝑊)‘𝑇) ∈ (SubGrp‘𝑊))
275, 16, 12ocvin 20235 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
2820, 27syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑇 ∩ ((ocv‘𝑊)‘𝑇)) = {(0g𝑊)})
29 lmodabl 19120 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
3015, 29syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑊 ∈ Abel)
3113, 30, 21, 26ablcntzd 18467 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ((Cntz‘𝑊)‘((ocv‘𝑊)‘𝑇)))
3210, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6pj1lid 18321 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝑇(proj1𝑊)((ocv‘𝑊)‘𝑇))‘𝑥) = 𝑥)
339, 32eqtrd 2805 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) = 𝑥)
343ffnd 6185 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
3534adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → (𝐾𝑇) Fn 𝑉)
3623sselda 3752 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥𝑉)
37 fnfvelrn 6501 . . . . . . 7 (((𝐾𝑇) Fn 𝑉𝑥𝑉) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
3835, 36, 37syl2anc 573 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → ((𝐾𝑇)‘𝑥) ∈ ran (𝐾𝑇))
3933, 38eqeltrrd 2851 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ ran (𝐾𝑇))
4039ex 397 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ ran (𝐾𝑇)))
4140ssrdv 3758 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → 𝑇 ⊆ ran (𝐾𝑇))
424, 41eqssd 3769 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → ran (𝐾𝑇) = 𝑇)
43 dffo2 6261 . 2 ((𝐾𝑇):𝑉onto𝑇 ↔ ((𝐾𝑇):𝑉𝑇 ∧ ran (𝐾𝑇) = 𝑇))
443, 42, 43sylanbrc 572 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) → (𝐾𝑇):𝑉onto𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  {csn 4317  dom cdm 5250  ran crn 5251   Fn wfn 6025  wf 6026  ontowfo 6028  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  0gc0g 16308  SubGrpcsubg 17796  Cntzccntz 17955  LSSumclsm 18256  proj1cpj1 18257  Abelcabl 18401  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  PreHilcphl 20186  ocvcocv 20221  projcpj 20261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-lsm 18258  df-pj1 18259  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-phl 20188  df-ocv 20224  df-pj 20264
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator