MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pjfo Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pjfo 21261
Description: A projection is a surjection onto the subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pjf.k 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
pjf.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
pjfo ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)
Proof of Theorem pjfo
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pjf.k . . 3 𝐾 = (projβ€˜π‘Š)
2 pjf.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
31, 2pjf2 21260 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡)
43frnd 6722 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) βŠ† 𝑇)
5 eqid 2732 . . . . . . . 8 (ocvβ€˜π‘Š) = (ocvβ€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . . . . 8 (proj1β€˜π‘Š) = (proj1β€˜π‘Š)
75, 6, 1pjval 21256 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ dom 𝐾 β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
87ad2antlr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) = (𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
98fveq1d 6890 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯))
10 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
11 eqid 2732 . . . . . 6 (LSSumβ€˜π‘Š) = (LSSumβ€˜π‘Š)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
13 eqid 2732 . . . . . 6 (Cntzβ€˜π‘Š) = (Cntzβ€˜π‘Š)
14 phllmod 21174 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ LMod)
16 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
1716lsssssubg 20561 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
1815, 17syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
192, 16, 5, 11, 1pjdm2 21257 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ PreHil β†’ (𝑇 ∈ dom 𝐾 ↔ (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (𝑇(LSSumβ€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = 𝑉)))
2019simprbda 499 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2118, 20sseldd 3982 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
222, 16lssss 20539 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
2320, 22syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† 𝑉)
242, 5, 16ocvlss 21216 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 βŠ† 𝑉) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2523, 24syldan 591 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
2618, 25sseldd 3982 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
275, 16, 12ocvin 21218 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
2820, 27syldan 591 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (𝑇 ∩ ((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)) = {(0gβ€˜π‘Š)})
29 lmodabl 20511 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Abel)
3015, 29syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ π‘Š ∈ Abel)
3113, 30, 21, 26ablcntzd 19719 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ 𝑇 βŠ† ((Cntzβ€˜π‘Š)β€˜((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡)))
3210, 11, 12, 13, 21, 26, 28, 31, 6pj1lid 19563 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((𝑇(proj1β€˜π‘Š)((ocvβ€˜π‘Š)β€˜π‘‡))β€˜π‘₯) = π‘₯)
339, 32eqtrd 2772 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) = π‘₯)
343ffnd 6715 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉)
3523sselda 3981 . . . . 5 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
36 fnfvelrn 7079 . . . . 5 (((πΎβ€˜π‘‡) Fn 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3734, 35, 36syl2an2r 683 . . . 4 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((πΎβ€˜π‘‡)β€˜π‘₯) ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
3833, 37eqeltrrd 2834 . . 3 (((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ ran (πΎβ€˜π‘‡))
394, 38eqelssd 4002 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇)
40 dffo2 6806 . 2 ((πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇 ↔ ((πΎβ€˜π‘‡):π‘‰βŸΆπ‘‡ ∧ ran (πΎβ€˜π‘‡) = 𝑇))
413, 39, 40sylanbrc 583 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝑇 ∈ dom 𝐾) β†’ (πΎβ€˜π‘‡):𝑉–onto→𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627  dom cdm 5675  ran crn 5676   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€“ontoβ†’wfo 6538  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  0gc0g 17381  SubGrpcsubg 18994  Cntzccntz 19173  LSSumclsm 19496  proj1cpj1 19497  Abelcabl 19643  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  PreHilcphl 21168  ocvcocv 21204  projcpj 21246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-pj1 19499  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lmhm 20625  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-phl 21170  df-ocv 21207  df-pj 21249
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator