Theorem phssip 21973

Description: The inner product (as a function) on a subspace is a restriction of the inner product (as a function) on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
phssip.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
phssip.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
phssip.i	⊢ · = (·if‘𝑊)
phssip.p	⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
phssip	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Proof of Theorem phssip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
3		phssip.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)
4	1, 2, 3	ipffval 21963	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦))
5		phllmod 21945	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		phssip.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssubg 21241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		phssip.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
10	9	subgbas 19349	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
11	8, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
12		eqidd 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
13	11, 11, 12	mpoeq123dv 7499	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
14		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	subgss 19346	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
16	8, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17		resmpo 7544	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
18	16, 16, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
19		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	9, 19, 2	ssipeq 21971	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
22	21	oveqd 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
23	22	mpoeq3dv 7503	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
24	13, 18, 23	3eqtr4rd 2806	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
25	4, 24	eqtrid 2807	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
26		phssip.i	. . . . 5 ⊢ · = (·if‘𝑊)
27	14, 19, 26	ipffval 21963	. . . 4 ⊢ · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
29	28	reseq1d 5970	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
30	25, 29	eqtr4d 2798	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  ·_𝑖cip 17442  SubGrpcsubg 19339  LModclmod 21144  LSubSpclss 21215  PreHilcphl 21939  ·_ifcipf 21940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-ip 17455  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-mgp 20370  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lvec 21387  df-phl 21941  df-ipf 21942

This theorem is used by: (None)