Theorem phssip 20775

Description: The inner product (as a function) on a subspace is a restriction of the inner product (as a function) on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
phssip.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
phssip.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
phssip.i	⊢ · = (·if‘𝑊)
phssip.p	⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
phssip	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Proof of Theorem phssip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
3		phssip.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)
4	1, 2, 3	ipffval 20765	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦))
5		phllmod 20747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		phssip.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssubg 20134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	sylan 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		phssip.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
10	9	subgbas 18674	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
12		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
13	11, 11, 12	mpoeq123dv 7328	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	subgss 18671	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
16	8, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17		resmpo 7372	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
18	16, 16, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
19		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	9, 19, 2	ssipeq 20773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
22	21	oveqd 7272	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
23	22	mpoeq3dv 7332	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
24	13, 18, 23	3eqtr4rd 2789	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
25	4, 24	eqtrid 2790	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
26		phssip.i	. . . . 5 ⊢ · = (·if‘𝑊)
27	14, 19, 26	ipffval 20765	. . . 4 ⊢ · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
29	28	reseq1d 5879	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
30	25, 29	eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883   × cxp 5578   ↾ cres 5582  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  ·_𝑖cip 16893  SubGrpcsubg 18664  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  PreHilcphl 20741  ·_ifcipf 20742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lvec 20280  df-phl 20743  df-ipf 20744

This theorem is referenced by: (None)