Theorem phssip 21858

Description: The inner product (as a function) on a subspace is a restriction of the inner product (as a function) on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
phssip.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
phssip.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
phssip.i	⊢ · = (·if‘𝑊)
phssip.p	⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
phssip	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Proof of Theorem phssip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
3		phssip.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)
4	1, 2, 3	ipffval 21848	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦))
5		phllmod 21830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		phssip.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssubg 21128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		phssip.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
10	9	subgbas 19240	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
11	8, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
12		eqidd 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
13	11, 11, 12	mpoeq123dv 7494	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
14		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	subgss 19237	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
16	8, 15	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17		resmpo 7539	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
18	16, 16, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
19		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	9, 19, 2	ssipeq 21856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
21	20	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
22	21	oveqd 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
23	22	mpoeq3dv 7498	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
24	13, 18, 23	3eqtr4rd 2811	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
25	4, 24	eqtrid 2812	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
26		phssip.i	. . . . 5 ⊢ · = (·if‘𝑊)
27	14, 19, 26	ipffval 21848	. . . 4 ⊢ · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
29	28	reseq1d 5979	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
30	25, 29	eqtr4d 2803	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  Basecbs 17291   ↾_s cress 17312  ·_𝑖cip 17337  SubGrpcsubg 19230  LModclmod 21031  LSubSpclss 21102  PreHilcphl 21824  ·_ifcipf 21825

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-ip 17350  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lvec 21274  df-phl 21826  df-ipf 21827

This theorem is used by: (None)