Theorem phssip 21567

Description: The inner product (as a function) on a subspace is a restriction of the inner product (as a function) on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
phssip.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
phssip.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
phssip.i	⊢ · = (·if‘𝑊)
phssip.p	⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
phssip	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Proof of Theorem phssip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
3		phssip.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)
4	1, 2, 3	ipffval 21557	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦))
5		phllmod 21539	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		phssip.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssubg 20863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		phssip.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
10	9	subgbas 19062	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
12		eqidd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
13	11, 11, 12	mpoeq123dv 7464	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	subgss 19059	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
16	8, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17		resmpo 7509	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
18	16, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
19		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	9, 19, 2	ssipeq 21565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
22	21	oveqd 7404	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
23	22	mpoeq3dv 7468	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
24	13, 18, 23	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
25	4, 24	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
26		phssip.i	. . . . 5 ⊢ · = (·if‘𝑊)
27	14, 19, 26	ipffval 21557	. . . 4 ⊢ · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
29	28	reseq1d 5949	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
30	25, 29	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   × cxp 5636   ↾ cres 5640  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ·_𝑖cip 17225  SubGrpcsubg 19052  LModclmod 20766  LSubSpclss 20837  PreHilcphl 21533  ·_ifcipf 21534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-mgp 20050  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-lvec 21010  df-phl 21535  df-ipf 21536

This theorem is referenced by: (None)