Theorem phssip 21597

Description: The inner product (as a function) on a subspace is a restriction of the inner product (as a function) on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
phssip.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
phssip.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
phssip.i	⊢ · = (·if‘𝑊)
phssip.p	⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)

Assertion

Ref	Expression
phssip	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Proof of Theorem phssip

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑋)
3		phssip.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (·if‘𝑋)
4	1, 2, 3	ipffval 21587	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦))
5		phllmod 21569	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
6		phssip.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	6	lsssubg 20848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8	5, 7	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
9		phssip.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
10	9	subgbas 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
12		eqidd 2729	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
13	11, 11, 12	mpoeq123dv 7501	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
14		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15	14	subgss 19089	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
16	8, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
17		resmpo 7546	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
18	16, 16, 17	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
19		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
20	9, 19, 2	ssipeq 21595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
21	20	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (·𝑖‘𝑋) = (·𝑖‘𝑊))
22	21	oveqd 7443	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦) = (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
23	22	mpoeq3dv 7505	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
24	13, 18, 23	3eqtr4rd 2779	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑋), 𝑦 ∈ (Base‘𝑋) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑋)𝑦)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
25	4, 24	eqtrid 2780	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
26		phssip.i	. . . . 5 ⊢ · = (·if‘𝑊)
27	14, 19, 26	ipffval 21587	. . . 4 ⊢ · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
28	27	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → · = (𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)))
29	28	reseq1d 5988	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)) = ((𝑥 ∈ (Base‘𝑊), 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦)) ↾ (𝑈 × 𝑈)))
30	25, 29	eqtr4d 2771	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑃 = ( · ↾ (𝑈 × 𝑈)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949   × cxp 5680   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  ·_𝑖cip 17245  SubGrpcsubg 19082  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  PreHilcphl 21563  ·_ifcipf 21564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-ip 17258  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lvec 20995  df-phl 21565  df-ipf 21566

This theorem is referenced by: (None)