MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2di 21659
Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
ip2di.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
ip2di.2 (𝜑𝐴𝑉)
ip2di.3 (𝜑𝐵𝑉)
ip2di.4 (𝜑𝐶𝑉)
ip2di.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2di (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2di
StepHypRef Expression
1 ip2di.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 ip2di.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ip2di.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 phllmod 21648 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 ip2di.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
7 ip2di.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
8 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 ipdir.g . . . . 5 + = (+g𝑊)
108, 9lmodvacl 20873 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
14 ipdir.p . . . 4 = (+g𝐹)
1512, 13, 8, 9, 14ipdir 21657 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
161, 2, 3, 11, 15syl13anc 1374 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
1712, 13, 8, 9, 14ipdi 21658 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
181, 2, 6, 7, 17syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
1912, 13, 8, 9, 14ipdi 21658 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
201, 3, 6, 7, 19syl13anc 1374 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
2112phlsrng 21649 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
22 srngring 20847 . . . . . 6 (𝐹 ∈ *-Ring → 𝐹 ∈ Ring)
23 ringcmn 20279 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
241, 21, 22, 234syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ CMnd)
25 eqid 2737 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2612, 13, 8, 25ipcl 21651 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
271, 3, 6, 26syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
2812, 13, 8, 25ipcl 21651 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐷𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
291, 3, 7, 28syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3025, 14cmncom 19816 . . . . 5 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3124, 27, 29, 30syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3220, 31eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3318, 32oveq12d 7449 . 2 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3412, 13, 8, 25ipcl 21651 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
351, 2, 6, 34syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3612, 13, 8, 25ipcl 21651 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐷𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
371, 2, 7, 36syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3825, 14cmn4 19819 . . 3 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ ((𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3924, 35, 37, 29, 27, 38syl122anc 1381 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
4016, 33, 393eqtrd 2781 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  ·𝑖cip 17302  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230  *-Ringcsr 20839  LModclmod 20858  PreHilcphl 21642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-rhm 20472  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-phl 21644
This theorem is referenced by:  cph2di  25241
  Copyright terms: Public domain W3C validator