Theorem ip2di 21659

Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
ip2di.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
ip2di.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2di.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ip2di.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ip2di.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ip2di	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2di

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2di.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		ip2di.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ip2di.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		phllmod 21648	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ip2di.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		ip2di.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
8		phllmhm.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ipdir.g	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10	8, 9	lmodvacl 20873	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
14		ipdir.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
15	12, 13, 8, 9, 14	ipdir 21657	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
16	1, 2, 3, 11, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
17	12, 13, 8, 9, 14	ipdi 21658	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
18	1, 2, 6, 7, 17	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
19	12, 13, 8, 9, 14	ipdi 21658	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)))
20	1, 3, 6, 7, 19	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)))
21	12	phlsrng 21649	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
22		srngring 20847	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → 𝐹 ∈ Ring)
23		ringcmn 20279	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
24	1, 21, 22, 23	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CMnd)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
26	12, 13, 8, 25	ipcl 21651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
27	1, 3, 6, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
28	12, 13, 8, 25	ipcl 21651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
29	1, 3, 7, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
30	25, 14	cmncom 19816	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
31	24, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
32	20, 31	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
33	18, 32	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
34	12, 13, 8, 25	ipcl 21651	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
35	1, 2, 6, 34	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
36	12, 13, 8, 25	ipcl 21651	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
37	1, 2, 7, 36	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
38	25, 14	cmn4 19819	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ ((𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
39	24, 35, 37, 29, 27, 38	syl122anc 1381	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
40	16, 33, 39	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Scalarcsca 17300  ·_𝑖cip 17302  CMndccmn 19798  Ringcrg 20230  *-Ringcsr 20839  LModclmod 20858  PreHilcphl 21642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-rhm 20472  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lmhm 21021  df-lvec 21102  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-phl 21644

This theorem is referenced by:  cph2di  25241