Theorem ip2di 21634

Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
ip2di.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
ip2di.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2di.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ip2di.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ip2di.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ip2di	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2di

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2di.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		ip2di.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ip2di.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		phllmod 21623	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ip2di.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		ip2di.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
8		phllmhm.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ipdir.g	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10	8, 9	lmodvacl 20864	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
14		ipdir.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
15	12, 13, 8, 9, 14	ipdir 21632	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
16	1, 2, 3, 11, 15	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
17	12, 13, 8, 9, 14	ipdi 21633	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
18	1, 2, 6, 7, 17	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
19	12, 13, 8, 9, 14	ipdi 21633	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)))
20	1, 3, 6, 7, 19	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)))
21	12	phlsrng 21624	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
22		srngring 20817	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → 𝐹 ∈ Ring)
23		ringcmn 20257	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
24	1, 21, 22, 23	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CMnd)
25		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
26	12, 13, 8, 25	ipcl 21626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
27	1, 3, 6, 26	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
28	12, 13, 8, 25	ipcl 21626	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
29	1, 3, 7, 28	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
30	25, 14	cmncom 19767	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
31	24, 27, 29, 30	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
32	20, 31	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
33	18, 32	oveq12d 7379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
34	12, 13, 8, 25	ipcl 21626	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
35	1, 2, 6, 34	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
36	12, 13, 8, 25	ipcl 21626	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
37	1, 2, 7, 36	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
38	25, 14	cmn4 19770	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ ((𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
39	24, 35, 37, 29, 27, 38	syl122anc 1382	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
40	16, 33, 39	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  +_gcplusg 17214  Scalarcsca 17217  ·_𝑖cip 17219  CMndccmn 19749  Ringcrg 20208  *-Ringcsr 20809  LModclmod 20849  PreHilcphl 21617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-rhm 20446  df-staf 20810  df-srng 20811  df-lmod 20851  df-lmhm 21012  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-phl 21619

This theorem is referenced by:  cph2di  25187