Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ip2di.1 |
. . 3
β’ (π β π β PreHil) |
2 | | ip2di.2 |
. . 3
β’ (π β π΄ β π) |
3 | | ip2di.3 |
. . 3
β’ (π β π΅ β π) |
4 | | phllmod 21050 |
. . . . 5
β’ (π β PreHil β π β LMod) |
5 | 1, 4 | syl 17 |
. . . 4
β’ (π β π β LMod) |
6 | | ip2di.4 |
. . . 4
β’ (π β πΆ β π) |
7 | | ip2di.5 |
. . . 4
β’ (π β π· β π) |
8 | | phllmhm.v |
. . . . 5
β’ π = (Baseβπ) |
9 | | ipdir.g |
. . . . 5
β’ + =
(+gβπ) |
10 | 8, 9 | lmodvacl 20351 |
. . . 4
β’ ((π β LMod β§ πΆ β π β§ π· β π) β (πΆ + π·) β π) |
11 | 5, 6, 7, 10 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (π β (πΆ + π·) β π) |
12 | | phlsrng.f |
. . . 4
β’ πΉ = (Scalarβπ) |
13 | | phllmhm.h |
. . . 4
β’ , =
(Β·πβπ) |
14 | | ipdir.p |
. . . 4
⒠⨣ =
(+gβπΉ) |
15 | 12, 13, 8, 9, 14 | ipdir 21059 |
. . 3
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ π΅ β π β§ (πΆ + π·) β π)) β ((π΄ + π΅) , (πΆ + π·)) = ((π΄ , (πΆ + π·)) ⨣ (π΅ , (πΆ + π·)))) |
16 | 1, 2, 3, 11, 15 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ (π β ((π΄ + π΅) , (πΆ + π·)) = ((π΄ , (πΆ + π·)) ⨣ (π΅ , (πΆ + π·)))) |
17 | 12, 13, 8, 9, 14 | ipdi 21060 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ (π΄ β π β§ πΆ β π β§ π· β π)) β (π΄ , (πΆ + π·)) = ((π΄ , πΆ) ⨣ (π΄ , π·))) |
18 | 1, 2, 6, 7, 17 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ (π β (π΄ , (πΆ + π·)) = ((π΄ , πΆ) ⨣ (π΄ , π·))) |
19 | 12, 13, 8, 9, 14 | ipdi 21060 |
. . . . 5
β’ ((π β PreHil β§ (π΅ β π β§ πΆ β π β§ π· β π)) β (π΅ , (πΆ + π·)) = ((π΅ , πΆ) ⨣ (π΅ , π·))) |
20 | 1, 3, 6, 7, 19 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (π β (π΅ , (πΆ + π·)) = ((π΅ , πΆ) ⨣ (π΅ , π·))) |
21 | 12 | phlsrng 21051 |
. . . . . 6
β’ (π β PreHil β πΉ β *-Ring) |
22 | | srngring 20325 |
. . . . . 6
β’ (πΉ β *-Ring β πΉ β Ring) |
23 | | ringcmn 20008 |
. . . . . 6
β’ (πΉ β Ring β πΉ β CMnd) |
24 | 1, 21, 22, 23 | 4syl 19 |
. . . . 5
β’ (π β πΉ β CMnd) |
25 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΉ) =
(BaseβπΉ) |
26 | 12, 13, 8, 25 | ipcl 21053 |
. . . . . 6
β’ ((π β PreHil β§ π΅ β π β§ πΆ β π) β (π΅ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
27 | 1, 3, 6, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β (π΅ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
28 | 12, 13, 8, 25 | ipcl 21053 |
. . . . . 6
β’ ((π β PreHil β§ π΅ β π β§ π· β π) β (π΅ , π·) β (BaseβπΉ)) |
29 | 1, 3, 7, 28 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (π β (π΅ , π·) β (BaseβπΉ)) |
30 | 25, 14 | cmncom 19585 |
. . . . 5
β’ ((πΉ β CMnd β§ (π΅ , πΆ) β (BaseβπΉ) β§ (π΅ , π·) β (BaseβπΉ)) β ((π΅ , πΆ) ⨣ (π΅ , π·)) = ((π΅ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ))) |
31 | 24, 27, 29, 30 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (π β ((π΅ , πΆ) ⨣ (π΅ , π·)) = ((π΅ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ))) |
32 | 20, 31 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ (π β (π΅ , (πΆ + π·)) = ((π΅ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ))) |
33 | 18, 32 | oveq12d 7376 |
. 2
β’ (π β ((π΄ , (πΆ + π·)) ⨣ (π΅ , (πΆ + π·))) = (((π΄ , πΆ) ⨣ (π΄ , π·)) ⨣ ((π΅ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ)))) |
34 | 12, 13, 8, 25 | ipcl 21053 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ π΄ β π β§ πΆ β π) β (π΄ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
35 | 1, 2, 6, 34 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (π β (π΄ , πΆ) β (BaseβπΉ)) |
36 | 12, 13, 8, 25 | ipcl 21053 |
. . . 4
β’ ((π β PreHil β§ π΄ β π β§ π· β π) β (π΄ , π·) β (BaseβπΉ)) |
37 | 1, 2, 7, 36 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (π β (π΄ , π·) β (BaseβπΉ)) |
38 | 25, 14 | cmn4 19588 |
. . 3
β’ ((πΉ β CMnd β§ ((π΄ , πΆ) β (BaseβπΉ) β§ (π΄ , π·) β (BaseβπΉ)) β§ ((π΅ , π·) β (BaseβπΉ) β§ (π΅ , πΆ) β (BaseβπΉ))) β (((π΄ , πΆ) ⨣ (π΄ , π·)) ⨣ ((π΅ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ))) = (((π΄ , πΆ) ⨣ (π΅ , π·)) ⨣ ((π΄ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ)))) |
39 | 24, 35, 37, 29, 27, 38 | syl122anc 1380 |
. 2
β’ (π β (((π΄ , πΆ) ⨣ (π΄ , π·)) ⨣ ((π΅ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ))) = (((π΄ , πΆ) ⨣ (π΅ , π·)) ⨣ ((π΄ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ)))) |
40 | 16, 33, 39 | 3eqtrd 2777 |
1
β’ (π β ((π΄ + π΅) , (πΆ + π·)) = (((π΄ , πΆ) ⨣ (π΅ , π·)) ⨣ ((π΄ , π·) ⨣ (π΅ , πΆ)))) |