MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2di 20384
Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
ip2di.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
ip2di.2 (𝜑𝐴𝑉)
ip2di.3 (𝜑𝐵𝑉)
ip2di.4 (𝜑𝐶𝑉)
ip2di.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2di (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2di
StepHypRef Expression
1 ip2di.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 ip2di.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ip2di.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 phllmod 20373 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 ip2di.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
7 ip2di.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
8 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 ipdir.g . . . . 5 + = (+g𝑊)
108, 9lmodvacl 19269 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
14 ipdir.p . . . 4 = (+g𝐹)
1512, 13, 8, 9, 14ipdir 20382 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
161, 2, 3, 11, 15syl13anc 1440 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
1712, 13, 8, 9, 14ipdi 20383 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
181, 2, 6, 7, 17syl13anc 1440 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
1912, 13, 8, 9, 14ipdi 20383 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
201, 3, 6, 7, 19syl13anc 1440 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
2112phlsrng 20374 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
22 srngring 19244 . . . . . 6 (𝐹 ∈ *-Ring → 𝐹 ∈ Ring)
23 ringcmn 18968 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
241, 21, 22, 234syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ CMnd)
25 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2612, 13, 8, 25ipcl 20376 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
271, 3, 6, 26syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
2812, 13, 8, 25ipcl 20376 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐷𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
291, 3, 7, 28syl3anc 1439 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3025, 14cmncom 18595 . . . . 5 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3124, 27, 29, 30syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3220, 31eqtrd 2814 . . 3 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3318, 32oveq12d 6940 . 2 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3412, 13, 8, 25ipcl 20376 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
351, 2, 6, 34syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3612, 13, 8, 25ipcl 20376 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐷𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
371, 2, 7, 36syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3825, 14cmn4 18598 . . 3 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ ((𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3924, 35, 37, 29, 27, 38syl122anc 1447 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
4016, 33, 393eqtrd 2818 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  Scalarcsca 16341  ·𝑖cip 16343  CMndccmn 18579  Ringcrg 18934  *-Ringcsr 19236  LModclmod 19255  PreHilcphl 20367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-ghm 18042  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-rnghom 19104  df-staf 19237  df-srng 19238  df-lmod 19257  df-lmhm 19417  df-lvec 19498  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-phl 20369
This theorem is referenced by:  cph2di  23414
  Copyright terms: Public domain W3C validator