Theorem ip2di 20846

Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
ip2di.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
ip2di.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2di.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
ip2di.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
ip2di.5	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ip2di	⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2di

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip2di.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ PreHil)
2		ip2di.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		ip2di.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		phllmod 20835	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		ip2di.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
7		ip2di.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑉)
8		phllmhm.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9		ipdir.g	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10	8, 9	lmodvacl 20137	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
11	5, 6, 7, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12		phlsrng.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
14		ipdir.p	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
15	12, 13, 8, 9, 14	ipdir 20844	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
16	1, 2, 3, 11, 15	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
17	12, 13, 8, 9, 14	ipdi 20845	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
18	1, 2, 6, 7, 17	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
19	12, 13, 8, 9, 14	ipdi 20845	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)))
20	1, 3, 6, 7, 19	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)))
21	12	phlsrng 20836	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
22		srngring 20112	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ *-Ring → 𝐹 ∈ Ring)
23		ringcmn 19820	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
24	1, 21, 22, 23	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CMnd)
25		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
26	12, 13, 8, 25	ipcl 20838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
27	1, 3, 6, 26	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
28	12, 13, 8, 25	ipcl 20838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
29	1, 3, 7, 28	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
30	25, 14	cmncom 19403	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
31	24, 27, 29, 30	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
32	20, 31	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
33	18, 32	oveq12d 7293	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) ⨣ (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
34	12, 13, 8, 25	ipcl 20838	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
35	1, 2, 6, 34	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
36	12, 13, 8, 25	ipcl 20838	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
37	1, 2, 7, 36	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
38	25, 14	cmn4 19406	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ ((𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
39	24, 35, 37, 29, 27, 38	syl122anc 1378	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐵 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))
40	16, 33, 39	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐵 , 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Scalarcsca 16965  ·_𝑖cip 16967  CMndccmn 19386  Ringcrg 19783  *-Ringcsr 20104  LModclmod 20123  PreHilcphl 20829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-ghm 18832  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-rnghom 19959  df-staf 20105  df-srng 20106  df-lmod 20125  df-lmhm 20284  df-lvec 20365  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-phl 20831

This theorem is referenced by:  cph2di  24371