MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2di 21590
Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
ip2di.1 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
ip2di.2 (𝜑𝐴𝑉)
ip2di.3 (𝜑𝐵𝑉)
ip2di.4 (𝜑𝐶𝑉)
ip2di.5 (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2di (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))

Proof of Theorem ip2di
StepHypRef Expression
1 ip2di.1 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ PreHil)
2 ip2di.2 . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
3 ip2di.3 . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 phllmod 21579 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
51, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 ip2di.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
7 ip2di.5 . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
8 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
9 ipdir.g . . . . 5 + = (+g𝑊)
108, 9lmodvacl 20770 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝑉𝐷𝑉) → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
13 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
14 ipdir.p . . . 4 = (+g𝐹)
1512, 13, 8, 9, 14ipdir 21588 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉 ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
161, 2, 3, 11, 15syl13anc 1369 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))))
1712, 13, 8, 9, 14ipdi 21589 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
181, 2, 6, 7, 17syl13anc 1369 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)))
1912, 13, 8, 9, 14ipdi 21589 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐵𝑉𝐶𝑉𝐷𝑉)) → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
201, 3, 6, 7, 19syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)))
2112phlsrng 21580 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
22 srngring 20744 . . . . . 6 (𝐹 ∈ *-Ring → 𝐹 ∈ Ring)
23 ringcmn 20230 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ CMnd)
241, 21, 22, 234syl 19 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ CMnd)
25 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
2612, 13, 8, 25ipcl 21582 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
271, 3, 6, 26syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
2812, 13, 8, 25ipcl 21582 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐵𝑉𝐷𝑉) → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
291, 3, 7, 28syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3025, 14cmncom 19765 . . . . 5 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3124, 27, 29, 30syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3220, 31eqtrd 2765 . . 3 (𝜑 → (𝐵 , (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶)))
3318, 32oveq12d 7437 . 2 (𝜑 → ((𝐴 , (𝐶 + 𝐷)) (𝐵 , (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3412, 13, 8, 25ipcl 21582 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐶𝑉) → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
351, 2, 6, 34syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))
3612, 13, 8, 25ipcl 21582 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐷𝑉) → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
371, 2, 7, 36syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹))
3825, 14cmn4 19768 . . 3 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹)) ∧ ((𝐵 , 𝐷) ∈ (Base‘𝐹) ∧ (𝐵 , 𝐶) ∈ (Base‘𝐹))) → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
3924, 35, 37, 29, 27, 38syl122anc 1376 . 2 (𝜑 → (((𝐴 , 𝐶) (𝐴 , 𝐷)) ((𝐵 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
4016, 33, 393eqtrd 2769 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) , (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐷)) ((𝐴 , 𝐷) (𝐵 , 𝐶))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  Scalarcsca 17239  ·𝑖cip 17241  CMndccmn 19747  Ringcrg 20185  *-Ringcsr 20736  LModclmod 20755  PreHilcphl 21573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-ghm 19176  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-rhm 20423  df-staf 20737  df-srng 20738  df-lmod 20757  df-lmhm 20919  df-lvec 21000  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-phl 21575
This theorem is referenced by:  cph2di  25179
  Copyright terms: Public domain W3C validator