MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2di 21573
Description: Distributive law for inner product. (Contributed by NM, 17-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.g + = (+gβ€˜π‘Š)
ipdir.p ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
ip2di.1 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
ip2di.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
ip2di.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
ip2di.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
ip2di.5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ip2di (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐢 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢))))

Proof of Theorem ip2di
StepHypRef Expression
1 ip2di.1 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 ip2di.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 ip2di.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 phllmod 21562 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
51, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 ip2di.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
7 ip2di.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ 𝑉)
8 phllmhm.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
9 ipdir.g . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘Š)
108, 9lmodvacl 20758 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐢 + 𝐷) ∈ 𝑉)
115, 6, 7, 10syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 + 𝐷) ∈ 𝑉)
12 phlsrng.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
13 phllmhm.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
14 ipdir.p . . . 4 ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
1512, 13, 8, 9, 14ipdir 21571 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ (𝐢 + 𝐷) ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐢 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 + 𝐷)) ⨣ (𝐡 , (𝐢 + 𝐷))))
161, 2, 3, 11, 15syl13anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐢 + 𝐷)) = ((𝐴 , (𝐢 + 𝐷)) ⨣ (𝐡 , (𝐢 + 𝐷))))
1712, 13, 8, 9, 14ipdi 21572 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 , (𝐢 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
181, 2, 6, 7, 17syl13anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 , (𝐢 + 𝐷)) = ((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐴 , 𝐷)))
1912, 13, 8, 9, 14ipdi 21572 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐡 , (𝐢 + 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)))
201, 3, 6, 7, 19syl13anc 1370 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 , (𝐢 + 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)))
2112phlsrng 21563 . . . . . 6 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
22 srngring 20732 . . . . . 6 (𝐹 ∈ *-Ring β†’ 𝐹 ∈ Ring)
23 ringcmn 20218 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
241, 21, 22, 234syl 19 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CMnd)
25 eqid 2728 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΉ) = (Baseβ€˜πΉ)
2612, 13, 8, 25ipcl 21565 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
271, 3, 6, 26syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
2812, 13, 8, 25ipcl 21565 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
291, 3, 7, 28syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3025, 14cmncom 19753 . . . . 5 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) β†’ ((𝐡 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢)))
3124, 27, 29, 30syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐡 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢)))
3220, 31eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 , (𝐢 + 𝐷)) = ((𝐡 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢)))
3318, 32oveq12d 7438 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 , (𝐢 + 𝐷)) ⨣ (𝐡 , (𝐢 + 𝐷))) = (((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐡 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢))))
3412, 13, 8, 25ipcl 21565 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
351, 2, 6, 34syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3612, 13, 8, 25ipcl 21565 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
371, 2, 7, 36syl3anc 1369 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ))
3825, 14cmn4 19756 . . 3 ((𝐹 ∈ CMnd ∧ ((𝐴 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐴 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ)) ∧ ((𝐡 , 𝐷) ∈ (Baseβ€˜πΉ) ∧ (𝐡 , 𝐢) ∈ (Baseβ€˜πΉ))) β†’ (((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐡 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢))))
3924, 35, 37, 29, 27, 38syl122anc 1377 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐴 , 𝐷)) ⨣ ((𝐡 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢))) = (((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢))))
4016, 33, 393eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝐡) , (𝐢 + 𝐷)) = (((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐷)) ⨣ ((𝐴 , 𝐷) ⨣ (𝐡 , 𝐢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Scalarcsca 17236  Β·π‘–cip 17238  CMndccmn 19735  Ringcrg 20173  *-Ringcsr 20724  LModclmod 20743  PreHilcphl 21556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-ghm 19168  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-rhm 20411  df-staf 20725  df-srng 20726  df-lmod 20745  df-lmhm 20907  df-lvec 20988  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-phl 21558
This theorem is referenced by:  cph2di  25148
  Copyright terms: Public domain W3C validator