MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdir 20777
Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipdir ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2821 . . . . . 6 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
51, 2, 3, 4phllmhm 20770 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
653ad2antr3 1186 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7 lmghm 19797 . . . 4 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
9 simpr1 1190 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
10 simpr2 1191 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
11 ipdir.g . . . 4 + = (+g𝑊)
12 ipdir.p . . . . 5 = (+g𝐹)
13 rlmplusg 19962 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
1412, 13eqtri 2844 . . . 4 = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
153, 11, 14ghmlin 18357 . . 3 (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
168, 9, 10, 15syl3anc 1367 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
17 phllmod 20768 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
183, 11lmodvacl 19642 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
1917, 18syl3an1 1159 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
20193adant3r3 1180 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
21 oveq1 7157 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
22 ovex 7183 . . . 4 (𝑥 , 𝐶) ∈ V
2321, 4, 22fvmpt3i 6767 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
2420, 23syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
25 oveq1 7157 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
2625, 4, 22fvmpt3i 6767 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
279, 26syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
28 oveq1 7157 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
2928, 4, 22fvmpt3i 6767 . . . 4 (𝐵𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3010, 29syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3127, 30oveq12d 7168 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
3216, 24, 313eqtr3d 2864 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  cmpt 5138  cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  Scalarcsca 16562  ·𝑖cip 16564   GrpHom cghm 18349  LModclmod 19628   LMHom clmhm 19785  ringLModcrglmod 19935  PreHilcphl 20762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-sets 16484  df-plusg 16572  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-ghm 18350  df-lmod 19630  df-lmhm 19788  df-lvec 19869  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-phl 20764
This theorem is referenced by:  ipdi  20778  ip2di  20779  ipsubdir  20780  phlssphl  20797  ocvlss  20810  lsmcss  20830  cphdir  23803
  Copyright terms: Public domain W3C validator