MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdir 20259
Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipdir ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2765 . . . . . 6 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
51, 2, 3, 4phllmhm 20252 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
653ad2antr3 1241 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7 lmghm 19303 . . . 4 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
9 simpr1 1248 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
10 simpr2 1250 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
11 ipdir.g . . . 4 + = (+g𝑊)
12 ipdir.p . . . . 5 = (+g𝐹)
13 rlmplusg 19470 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
1412, 13eqtri 2787 . . . 4 = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
153, 11, 14ghmlin 17929 . . 3 (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
168, 9, 10, 15syl3anc 1490 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
17 phllmod 20250 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
183, 11lmodvacl 19146 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
1917, 18syl3an1 1202 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
20193adant3r3 1235 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
21 oveq1 6849 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
22 ovex 6874 . . . 4 (𝑥 , 𝐶) ∈ V
2321, 4, 22fvmpt3i 6476 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
2420, 23syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
25 oveq1 6849 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
2625, 4, 22fvmpt3i 6476 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
279, 26syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
28 oveq1 6849 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
2928, 4, 22fvmpt3i 6476 . . . 4 (𝐵𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3010, 29syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3127, 30oveq12d 6860 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
3216, 24, 313eqtr3d 2807 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cmpt 4888  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  +gcplusg 16214  Scalarcsca 16217  ·𝑖cip 16219   GrpHom cghm 17921  LModclmod 19132   LMHom clmhm 19291  ringLModcrglmod 19443  PreHilcphl 20244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-sets 16137  df-plusg 16227  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-ghm 17922  df-lmod 19134  df-lmhm 19294  df-lvec 19375  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-phl 20246
This theorem is referenced by:  ipdi  20260  ip2di  20261  ipsubdir  20262  phlssphl  20279  ocvlss  20292  lsmcss  20312  cphdir  23283
  Copyright terms: Public domain W3C validator