Theorem ipdir 21588

Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipdir	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	phllmhm 21581	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6	5	3ad2antr3 1187	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7		lmghm 20928	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
9		simpr1 1191	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		simpr2 1192	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11		ipdir.g	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		ipdir.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
13		rlmplusg 21099	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
14	12, 13	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
15	3, 11, 14	ghmlin 19184	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
16	8, 9, 10, 15	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
17		phllmod 21579	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
18	3, 11	lmodvacl 20770	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
19	17, 18	syl3an1 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
20	19	3adant3r3 1181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
21		oveq1 7426	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
22		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑥 , 𝐶) ∈ V
23	21, 4, 22	fvmpt3i 7009	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
24	20, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
25		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
26	25, 4, 22	fvmpt3i 7009	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
27	9, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
28		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
29	28, 4, 22	fvmpt3i 7009	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
30	10, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
31	27, 30	oveq12d 7437	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
32	16, 24, 31	3eqtr3d 2773	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +_gcplusg 17236  Scalarcsca 17239  ·_𝑖cip 17241   GrpHom cghm 19175  LModclmod 20755   LMHom clmhm 20916  ringLModcrglmod 21069  PreHilcphl 21573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-plusg 17249  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-ghm 19176  df-lmod 20757  df-lmhm 20919  df-lvec 21000  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-phl 21575

This theorem is referenced by:  ipdi  21589  ip2di  21590  ipsubdir  21591  phlssphl  21608  ocvlss  21621  lsmcss  21641  cphdir  25177