Theorem ipdir 20328

Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipdir	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	phllmhm 20321	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6	5	3ad2antr3 1187	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7		lmghm 19796	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
9		simpr1 1191	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		simpr2 1192	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11		ipdir.g	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		ipdir.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
13		rlmplusg 19961	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
14	12, 13	eqtri 2821	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
15	3, 11, 14	ghmlin 18355	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
16	8, 9, 10, 15	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
17		phllmod 20319	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
18	3, 11	lmodvacl 19641	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
19	17, 18	syl3an1 1160	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
20	19	3adant3r3 1181	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
21		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
22		ovex 7168	. . . 4 ⊢ (𝑥 , 𝐶) ∈ V
23	21, 4, 22	fvmpt3i 6750	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
24	20, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
25		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
26	25, 4, 22	fvmpt3i 6750	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
27	9, 26	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
28		oveq1 7142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
29	28, 4, 22	fvmpt3i 6750	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
30	10, 29	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
31	27, 30	oveq12d 7153	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
32	16, 24, 31	3eqtr3d 2841	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Scalarcsca 16560  ·_𝑖cip 16562   GrpHom cghm 18347  LModclmod 19627   LMHom clmhm 19784  ringLModcrglmod 19934  PreHilcphl 20313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-ghm 18348  df-lmod 19629  df-lmhm 19787  df-lvec 19868  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-phl 20315

This theorem is referenced by:  ipdi  20329  ip2di  20330  ipsubdir  20331  phlssphl  20348  ocvlss  20361  lsmcss  20381  cphdir  23810