MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdir 20825
Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g + = (+g𝑊)
ipdir.p = (+g𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipdir ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdir
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2 phllmhm.h . . . . . 6 , = (·𝑖𝑊)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 eqid 2739 . . . . . 6 (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
51, 2, 3, 4phllmhm 20818 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶𝑉) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
653ad2antr3 1188 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7 lmghm 20274 . . . 4 ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
86, 7syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
9 simpr1 1192 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐴𝑉)
10 simpr2 1193 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → 𝐵𝑉)
11 ipdir.g . . . 4 + = (+g𝑊)
12 ipdir.p . . . . 5 = (+g𝐹)
13 rlmplusg 20447 . . . . 5 (+g𝐹) = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
1412, 13eqtri 2767 . . . 4 = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
153, 11, 14ghmlin 18820 . . 3 (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
168, 9, 10, 15syl3anc 1369 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
17 phllmod 20816 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
183, 11lmodvacl 20118 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
1917, 18syl3an1 1161 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
20193adant3r3 1182 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
21 oveq1 7275 . . . 4 (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
22 ovex 7301 . . . 4 (𝑥 , 𝐶) ∈ V
2321, 4, 22fvmpt3i 6874 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
2420, 23syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
25 oveq1 7275 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
2625, 4, 22fvmpt3i 6874 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
279, 26syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
28 oveq1 7275 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
2928, 4, 22fvmpt3i 6874 . . . 4 (𝐵𝑉 → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3010, 29syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
3127, 30oveq12d 7286 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → (((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ((𝑥𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
3216, 24, 313eqtr3d 2787 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) (𝐵 , 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  cmpt 5161  cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  +gcplusg 16943  Scalarcsca 16946  ·𝑖cip 16948   GrpHom cghm 18812  LModclmod 20104   LMHom clmhm 20262  ringLModcrglmod 20412  PreHilcphl 20810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-plusg 16956  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-ghm 18813  df-lmod 20106  df-lmhm 20265  df-lvec 20346  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-phl 20812
This theorem is referenced by:  ipdi  20826  ip2di  20827  ipsubdir  20828  phlssphl  20845  ocvlss  20858  lsmcss  20878  cphdir  24350
  Copyright terms: Public domain W3C validator