MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipdir 21059
Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.g + = (+gβ€˜π‘Š)
ipdir.p ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipdir ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐢)))

Proof of Theorem ipdir
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 phllmhm.h . . . . . 6 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
3 phllmhm.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) = (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))
51, 2, 3, 4phllmhm 21052 . . . . 5 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐢 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
653ad2antr3 1191 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)))
7 lmghm 20507 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š LMHom (ringLModβ€˜πΉ)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š GrpHom (ringLModβ€˜πΉ)))
86, 7syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š GrpHom (ringLModβ€˜πΉ)))
9 simpr1 1195 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 simpr2 1196 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
11 ipdir.g . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
12 ipdir.p . . . . 5 ⨣ = (+gβ€˜πΉ)
13 rlmplusg 20681 . . . . 5 (+gβ€˜πΉ) = (+gβ€˜(ringLModβ€˜πΉ))
1412, 13eqtri 2761 . . . 4 ⨣ = (+gβ€˜(ringLModβ€˜πΉ))
153, 11, 14ghmlin 19018 . . 3 (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢)) ∈ (π‘Š GrpHom (ringLModβ€˜πΉ)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΄) ⨣ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
168, 9, 10, 15syl3anc 1372 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 + 𝐡)) = (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΄) ⨣ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)))
17 phllmod 21050 . . . . 5 (π‘Š ∈ PreHil β†’ π‘Š ∈ LMod)
183, 11lmodvacl 20351 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
1917, 18syl3an1 1164 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
20193adant3r3 1185 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉)
21 oveq1 7365 . . . 4 (π‘₯ = (𝐴 + 𝐡) β†’ (π‘₯ , 𝐢) = ((𝐴 + 𝐡) , 𝐢))
22 ovex 7391 . . . 4 (π‘₯ , 𝐢) ∈ V
2321, 4, 22fvmpt3i 6954 . . 3 ((𝐴 + 𝐡) ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 + 𝐡)) = ((𝐴 + 𝐡) , 𝐢))
2420, 23syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜(𝐴 + 𝐡)) = ((𝐴 + 𝐡) , 𝐢))
25 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ , 𝐢) = (𝐴 , 𝐢))
2625, 4, 22fvmpt3i 6954 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΄) = (𝐴 , 𝐢))
279, 26syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΄) = (𝐴 , 𝐢))
28 oveq1 7365 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐡 β†’ (π‘₯ , 𝐢) = (𝐡 , 𝐢))
2928, 4, 22fvmpt3i 6954 . . . 4 (𝐡 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
3010, 29syl 17 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅) = (𝐡 , 𝐢))
3127, 30oveq12d 7376 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΄) ⨣ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ↦ (π‘₯ , 𝐢))β€˜π΅)) = ((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐢)))
3216, 24, 313eqtr3d 2781 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝑉)) β†’ ((𝐴 + 𝐡) , 𝐢) = ((𝐴 , 𝐢) ⨣ (𝐡 , 𝐢)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  Scalarcsca 17141  Β·π‘–cip 17143   GrpHom cghm 19010  LModclmod 20336   LMHom clmhm 20495  ringLModcrglmod 20646  PreHilcphl 21044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-plusg 17151  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-ghm 19011  df-lmod 20338  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-phl 21046
This theorem is referenced by:  ipdi  21060  ip2di  21061  ipsubdir  21062  phlssphl  21079  ocvlss  21092  lsmcss  21112  cphdir  24585
  Copyright terms: Public domain W3C validator