Theorem ipdir 21945

Description: Distributive law for inner product (right-distributivity). Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.g	⊢ + = (+g‘𝑊)
ipdir.p	⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipdir	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))

Proof of Theorem ipdir

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlsrng.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		phllmhm.h	. . . . . 6 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
3		phllmhm.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))
5	1, 2, 3, 4	phllmhm 21938	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
6	5	3ad2antr3 1209	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)))
7		lmghm 21306	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 LMHom (ringLMod‘𝐹)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)))
9		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
11		ipdir.g	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
12		ipdir.p	. . . . 5 ⊢ ⨣ = (+g‘𝐹)
13		rlmplusg 21469	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
14	12, 13	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ ⨣ = (+g‘(ringLMod‘𝐹))
15	3, 11, 14	ghmlin 19435	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶)) ∈ (𝑊 GrpHom (ringLMod‘𝐹)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
16	8, 9, 10, 15	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)))
17		phllmod 21936	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
18	3, 11	lmodvacl 21150	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
19	17, 18	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
20	19	3adant3r3 1203	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉)
21		oveq1 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 + 𝐵) → (𝑥 , 𝐶) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
22		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (𝑥 , 𝐶) ∈ V
23	21, 4, 22	fvmpt3i 6999	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
24	20, 23	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘(𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶))
25		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐴 , 𝐶))
26	25, 4, 22	fvmpt3i 6999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
27	9, 26	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) = (𝐴 , 𝐶))
28		oveq1 7427	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐶) = (𝐵 , 𝐶))
29	28, 4, 22	fvmpt3i 6999	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
30	10, 29	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵) = (𝐵 , 𝐶))
31	27, 30	oveq12d 7438	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐴) ⨣ ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥 , 𝐶))‘𝐵)) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))
32	16, 24, 31	3eqtr3d 2804	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 + 𝐵) , 𝐶) = ((𝐴 , 𝐶) ⨣ (𝐵 , 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431  ·_𝑖cip 17433   GrpHom cghm 19427  LModclmod 21135   LMHom clmhm 21294  ringLModcrglmod 21447  PreHilcphl 21930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-plusg 17441  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-ghm 19428  df-lmod 21137  df-lmhm 21297  df-lvec 21378  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-phl 21932

This theorem is used by:  ipdi  21946  ip2di  21947  ipsubdir  21948  phlssphl  21965  ocvlss  21978  lsmcss  21998  cphdir  25526